AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE

Transkript

1 AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE Eme: Diskret matematikk Gruppe(r): Eksamesoppgave består av: Atall sider (ikl forside): 5 Emekode: FO 9A Dato: 69 Atall oppgaver: Fagasvarlig: Ulf Uttersrud Eksamestid: 9 Atall vedlegg: Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skreve hjelpemidler samt hådholdt kalkulator som ikke kommuiserer trådløst Kadidate må selv kotrollere at oppgavesettet er fullstedig Ved evetuelle uklarheter i oppgavetekste skal du redegjøre for de forutsetiger du legger til gru for løsige Utarbeidet av (faglærer): Ulf Uttersrud Kotrollert av (e av disse): Ae lærer Sesor Studieleder/ Fagkoordiator Studieleders/ Fagkoordiators uderskrift: Avdelig for igeiørutdaig Postboks St Olavs plass Oslo tlf: 5 faks: 5 5 iu@hioo

2 Alle de oppgavee teller likt Det er ikke slik at lette oppgaver kommer først og vaskelige til slutt Bruk derfor ikke for mye tid på e oppgave du ikke får til Prøv istede e y oppgave Alle svar skal begrues! Det ka for eksempel skje ved at du tar med mellomregiger eller gir adre former for argumetasjo Ku et svar ute oe begruelse er ormalt verdiløst Oppgave a) Utsagee p, q, r, s og t er gitt ved p : «Jeg er tørst» q : «Glasset er tomt» r : «Jeg er tørst og glasset er ikke tomt» s : «Hvis jeg ikke er tørst, så er glasset ikke tomt» t : «Glasset er tomt bare hvis jeg ikke er tørst» Skriv de sammesatte utsagee r, s, t, r og s t ved hjelp av p, q og logiske operatorer Skriv dem på så ekel form som mulig, dvs ved færrest mulig logiske operatorer b) La p, q og r være vilkårlige logiske utsag Avgjør om de to sammesatte utsagee ( p q) r og p ( q r) er ekvivalete eller ikke Svaret skal begrues Oppgave a) La A, B og C være vilkårlige megder Lag et Ve-diagram der du skraverer megde ( A B) ( B C) b) Fi (og uttrykk ved hjelp av A, B, C og megdeoperasjoer) de megde som svarer til de skraverte dele av Ve-diagrammet uder:

3 Oppgave La A være megde av alle bitsekveser (eg: bit strigs) med legde 8 For eksempel er og to slike bitsekveser La N være de aturlige tallee, dvs N = {,,,, } a) La fuksjoe f : A N være defiert ved at f (a) for hver a A er lik atallet biter i bitsekvese a Fi verdimegde til f? Er f e-tile? Er f på? Begru svaree b) La A k = { a A f ( a) = k} Fi atallet elemeter i megde Ak for hver k =,,,,, dvs fi A for k =,,,, k c) Skriv opp de åtte første radee i Pascals trekat Husk at første (øverste rad) ku består av tallet Oppgave a) Gitt tallet 5 Fi tallet på biær, oktal og heksadesimal form b) Fi primtallsfaktoriserige til 57 c) Tallsystemer med, 8, eller 6 som grutall er i valig bruk Me et hvilket som helst positivt heltall g ka være grutall i et tallsystem Fi det positive heltallet g som er slik at sifree til 5 i tallsystemet med g som grutall blir 6, dvs 5 = 6 g Oppgave 5 Gitt matrisee A =, B = og C = a) For at et matriseprodukt skal være defiert stilles det bestemte krav til dimesjoee til de to matrisee i produktet Avgjør hvilke av disse matriseproduktee som er defiert: AB, BA, AC, CA, BC, CB Sett opp hvilke dimesjo produktet får for de matriseproduktee som er defiert b) Reg ut matriseproduktee AB og BA Oppgave 6 a) Fi summe av de aritmetiske rekke b) Fi summe k ( ) = + ( ) + ( ) + ( ) + ( k= ) ved å bruke formele for summe av e geometrisk rekke c) Det te harmoiske tallet H er gitt ved H = + / + / + + / La s = H + H + H + + H og t = ( + )( H + ) Vis at s = t for = og = Vis ved iduksjo at s = t for alle

4 Oppgave 7 Her skal vi se på permutasjoer av tallee,,,, 5 a) Hvor mage permutasjoer har tallet først? b) Hvor mage permutasjoer har først og på midte? c) Hvor mage permutasjoer har først eller på midte eller 5 bakerst? Oppgave 8 Gitt differesligige a a a, >, a =, a 6 = = a) Fi a, a og a b) Fi e formel for a c) Fi a ved å sette i i formele for a Oppgave 9 Matrise M edefor er matrise til e relasjo R på megde A = { a, b, c, d } R M R = a) Sett opp R som e megde av par av elemeter fra A b) Teg grafe til R c) Er R e partiell ordig? d) Fi alle par ( x, y ) av elemeter fra A slik at det går e vei i grafe til R fra x til y med legde

5 Oppgave Figure over viser rommee i et hus Det er fem rom med av A, B, C, D og E I hvert rom er det et atall dører (markert på figure med åpiger) For eksempel er det fem dører i rom A Noe dører går ut av huset (til F) og oe går til adre rom For eksempel er det to dører fra A til F og videre e dør fra A til hvert av rommee B, C og D a) La hvert av rommee (A, B, C, D, E) og utedørs (F) være pukter i e graf med døree som kater mellom puktee Teg grafe b) Sett opp grade til hvert av de seks puktee i grafe c) Er det mulig å starte i et av rommee eller evetuelt utedørs og så gå gjeom hver dør øyaktig é gag? 5