Kapittel 9: Mer kombinatorikk

Transkript

1 MAT00 Disret Matemati Forelesig : Mer ombiatori Roger Atose Istitutt for iformati, Uiversitetet i Oslo Kapittel 9: Mer ombiatori 5. april 009 (Sist oppdatert: :06) MAT00 Disret Matemati 5. april 009 Pla for dage Ordet utvalg Mer om permutasjoer og ordet utvalg ) Mer om ombiasjoer velg r ( r P r Biomialoeffisietee Pascals treat Geeraliserig av første vadratsetig (a + b) a + ab + b Oppsummerig av ombiatorise prisipper Esempler og oppgaver Vi sal å se på det som alles ordet utvalg fra e megde. Esempel Oppgave: I et baresire er det med 0 bar. Det er lov til å opplyse om hvem som to de tre første plassee, mes reste ie sal rageres. Hvor mage forsjellige resultatlister a ma få? MAT00 Disret Matemati 5. april 009 MAT00 Disret Matemati 5. april 009 4

2 Ordet utvalg Esempel (Fortsatt) Løsig: Det fis 0 mulige viere, deretter 9 mulige adreplasser og til sist 8 mulige tredjeplasser. Det fis altså forsjellige resultatlister. Legg mere til at ! (0 )! Vi sal å defiere dette mer geerelt og brue otasjoe 0 P for dette tallet. MAT00 Disret Matemati 5. april Defiisjo La r og være aturlige tall sli at r. Med! P r meer vi ( r)! Mer P r forteller oss hvor mage måter vi a tree r elemeter i reefølge ut fra e megde med elemeter på. Når r bruer vi at 0!. Da får vi P! ( )!! 0!!! Det er som forvetet, side det er! permutasjoer av e megde med elemeter i. MAT00 Disret Matemati 5. april Ordet utvalg Kombiasjoer Esempel E idrettsleder har syv løpere i stalle si, og sal velge ut fire av dem til å delta i e stafett. I et stafettlag spiller reefølge stor rolle, især om idrettsgree er lagre og det er to etapper i lassis og to i fristil. Da er det 7 P 4 7!! forsjellige mulige lagutta. agir hvor mage delmegder med elemeter det fies av e megde med elemeter Vi har tidligere vist dette ved idusjo. Det er også mulig å vise dette ret ombiatoris, som vi sal gjøre sart. Slie tall alles blat aet for biomialoeffisieter. MAT00 Disret Matemati 5. april MAT00 Disret Matemati 5. april 009 8

3 Ata at vi sal fordele tre orasje hatter, bar. 4 5, på fem Kombiasjoer Teorem Hver ombiasjo svarer til e delmegde av {,,, 4, 5}. Atall måter å velge tre bar på i reefølge er 5 P Her vil hver ombiasjo av hatter, f.es. {,, 4}, bli telt! 6 gager, som 4, 4, 4, 4, 4, og 4. Hvis vi sal ta høyde for dette, så må vi dele på 6. Atall måter å fordele hattee er derfor 60/6 0, som er ( 5 ). La A være e megde med elemeter, og la 0. Da fies det forsjellige delmegder B av A. MAT00 Disret Matemati 5. april MAT00 Disret Matemati 5. april Kombiasjoer Bevis (Nytt, og fritt for idusjo) Atall måter å velge elemeter i reefølge fra A på er P! ( )! For hver delmegde B med elemeter, så fis det! forsjellige ordede utvalg fra A som gir oss B. Da må atall megder B med elemeter være P!! ( )!! MAT00 Disret Matemati 5. april 009 Kombiasjoer Legg mere til at Hvorfor det? ( ) ( ) For ( esempel, hvis vi har e megde med 0 elemeter, så er det 0 8) delmegder med 8 elemeter. For hver sli megde, så har vi også e megde med elemeter. Vi a f.es. lage e fusjo som til ehver delmegde av størrelse 8 gir e delmegde av størrelse. Dee fusjoe vil være både surjetiv og ijetiv. ) Derfor har vi at ( ( 0 8) 0 Atall delmegder av størrelse må være li atall delmegder av størrelse. Det er lie mage måter å velge elemeter på som det er å måter å velge bort elemeter på. MAT00 Disret Matemati 5. april 009

4 Biomialoeffisietee Tallee ( ) alles blat aet for biomialoeffisieter. Følgede (reursive) sammeheg var utgagsputet for et tidligere idusjosbevis: + Biomialoeffisietee Tre,, av fem hatter,, sal være orasje. Hvor mage måter a dette gjøres på? ( ) ( ) ( ) Hvis de første hatte er orasje, så må to av de fire resterede hattee være orasje.det er ( 4 ) 6 måter å gjøre dette på. Hvorfor er det sli? La oss se på et esempel. Hvis de første hatte er svart, så må tre av de fire resterede hattee være orasje. Det er ( 4 ) 4 måter å gjøre dette på. MAT00 Disret Matemati 5. april 009 MAT00 Disret Matemati 5. april Biomialoeffisietee Pascals treat Dette forteller oss at det er to evivalete måter å defiere biomialoeffisietee på: Ved hjelp av faultetsfusjoe og brø:! ( )!! Pascals treat er e måte å srive opp alle biomialoeffisietee på ved hjelp av formele ( ) ( ) ( ) + Ved reursjo: + Hus at Vi får følgede bilde. 0 MAT00 Disret Matemati 5. april MAT00 Disret Matemati 5. april 009 6

5 ( 6 0 ) ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 4) 5 ) 0 ( 4 5) ) Vi fier igje mage jete tallreer i Pascals treat De aturlige tallee:,,,4,5,6,... De såalte triagulære tallee:,,6,0,5,,... Toerpotesee:,,4,8,6,,... Kvadrattallee:,4,9,6,5,... Fiboacci-tallee (selv om de er godt gjemt):,,,,5,8,,,... Og mage flere... MAT00 Disret Matemati 5. april Pascals treat MAT00 Disret Matemati 5. april Tilbae til biomialoeffisietee Tilbae til biomialoeffisietee Teorem (Geeraliserig av. vadratsetig) Neste alle vet at (a + b) 0. Alle vet at (a + b) a + b. Mage vet at (a + b) a + ab + b. De fleste a rege ut at (a + b) a + a b + ab + b. Noe greier til og med å rege ut at (a + b) 4 a 4 + 4a b + 6a b + 4ab + b 4. Noe bør begye å ae at det er e sammeheg med Pascals treat. Side (a + b) 5 a 5 + 5a 4 b + 0a b + 0a b + 5ab 4 + b 5 blir de aelse bereftet. For alle tall a og b og alle hele tall 0 har vi (a + b) a + a b + a b + ( ) ( ) a b + + ab + b 0 a b MAT00 Disret Matemati 5. april MAT00 Disret Matemati 5. april 009 0

6 Tilbae til biomialoeffisietee Bevis (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) }{{} foreomster Hvis vi multipliserer dette ut, så får vi ledd. Hvert ledd består av fatorer, hvor hver fator er ete a eller b, f.es. abaa b. Hvis B A {,..., }, så lar vi B svare til leddet hvor fator ummer i er b hvis i B og a ellers. F.es. vil {, 4, 5} svare til leddet b a a b 4 b 5 a 6 a Hvert ledd ommer fra e og bare e megde B; det vi har besrevet er e surjetiv og ijetiv fusjo fra potesmegde av A til leddee vi får år vi reger ut (a + b). Tilbae til biomialoeffisietee Bevis (Fortsatt) Det fis ( ) delmegder av A med elemeter. Da fis det ( ) ledd med b er og a er. Disse leddee ordes til a b Dette er øyatig leddet med ides i teoremet. Side er vilårlig må formele i teoremet gi oss verdie på (a + b). Dette avslutter beviset. MAT00 Disret Matemati 5. april 009 MAT00 Disret Matemati 5. april 009 Oppsummerig av regeprisipper Først e lite digresjo om store tall Ordet utvalg med repetisjo: r Hvor mage biære tall av legde 5 fis det? Det er 5. Ordet utvalg ute repetisjo: P r På hvor mage måter a vi tree to ort fra e ortsto? Det er 5 P Permutasjoer:! På hvor mage måter a vi stoe om ordet LAKS? Det er 4! 4 4. Kombiasjoer: ( ) Hvor mage delmegder av {a, b, c, d, e} har to elemeter? Det er ( ) Vi sal se på oe flere esempler. I ombiatori ommer vi fort opp i veldig store tall. Bredde til et hårstrå: 0 6 atomer. Atomer i e vadråpe: 0 atomer. Atomer i uiverset: 0 80 atomer. Atall forfedre 65 geerasjoer tilbae atall atomer i uiverset. Og disse tallee er gase små... Allievel a vi represetere dem og rege på dem ute store problemer. MAT00 Disret Matemati 5. april 009 MAT00 Disret Matemati 5. april 009 4

7 Esempel På hvor mage forsjellige måter a vi gå fra A til B i dette 8 gager 4-ruteettet? Vi må gå ett steg av gage og u oppover eller til høyre. B Esempel Vi sjeer at det stemmer for gager -ruteettet: A Hvor mage slie stier er det? Dee stie a represeteres som. Dette er et ord på teg over alfabetet {, } hvor fire av tegee er og åtte av tegee er. Hvor mage slie ord er det? Det er ( ) MAT00 Disret Matemati 5. april Atall ord blir i dette tilfellet: ( ) 4 som stemmer MAT00 Disret Matemati 5. april Oppgave Esempel På hvor mage forsjellige måter a vi gå fra A til B i dee -ube? Vi må gå ett steg av gage og u oppover, til høyre eller iover? A B (Dette ble også evt på forrige forelesig i et itrodusjosesempel om uler og boser.) På hvor mage ulie måter a de 6 arateree A til F gis til 0 studeter? Vi ie er iteressert i hvile arater e bestemt studet får, me u atallet av hver arater i fordelige. Det er 6 muligheter for hver av de 0 studetee. Ka vi brue multipliasjosprisippet og si at svaret er 6 0? Nei La oss lage 6 båser og putte studetee i hver si bås avhegig av hvile arater de får. MAT00 Disret Matemati 5. april MAT00 Disret Matemati 5. april 009 8

8 Esempel studeter per arater, og ige stry a represeteres sli: Esempel Fordelige a represeteres sli: At alle stryer a represeteres sli: Esempel Mer geerelt har vi + Hvor mage slie ombiasjoer fis det? Av 5 teg må 5 være røde streer. Atall muligheter må være ( 5 5 ) som gir hvor mage forsjellige måter vi a fordele idetise elemeter i forsjellige beholdere på. Dette alles også for uordet utvalg med repetisjo. MAT00 Disret Matemati 5. april MAT00 Disret Matemati 5. april Grafteori Neste gag begyer vi med grafteori. E graf består av oder og ater: Oppgave: larer dere å tege dee på et ar ute å løfte blyate og ute å gå over e at to gager? MAT00 Disret Matemati 5. april 009