Førsteordens lineære differensiallikninger

Transkript

1 Førsteordens lineære differensiallininger Begrepet førsteordens lineære differensiallininger er ie sielig definert i Sinus R. Denne artielen omhandler det temaet. En førsteordens lineær differensiallining er en lining som an srives på formen y + f( ) y = g( ) der f og g er to funsjoner. Når vi sal løse en sli lining, finner vi først en funsjon F som er en antiderivert til f. Det er en funsjon F sli at F ( ) = f( ). Nå multipliserer vi med lihetstegnet i differensialliningen. Vi aller F( ) e på begge sidene av F( ) e en integrerende fator. Det gir y e + f( ) y e = g( ) e F( ) F( ) F( ) Hvis funsjonen f er en onstant funsjon sli at f() = a, an vi velge F() = a. Vi multipliserer da med e a sli vi lærer i apittel 8. i Sinus R. Denne metoden vi lærer her, er dermed i samsvar med metoden i apittel 8.. fordi ( ) Den venstre siden i liningen ovenfor er nå li ( y e F ) ( ) ( ) = + = + ( ) F( ) F( ) F( ) F( ) F( ) y e y e y e y e y e F = y e + y e f( ) = y e + f( ) y e Dermed an vi omforme liningen til F ( ) y e = g( ) e ( ) F( ) F( ) F( ) F( ) F( ) Det gir F( ) F( ) y e = g( ) e d Vi finner dermed løsningen ved å regne ut integralet på høyre side og deretter dividere med e F().

2 EKSEMPEL Løs differensialliningen y' + y = 4 Løsning: Her er f() =. Som antiderivert velger vi F() =. Vi multipliserer dermed med begge sidene av lihetstegnet. Det gir e på y ' e + ye = 4e ( ye ) = 4e ye = 4e d Vi finner integralet ved substitusjon og setter u =. Det gir u u 4e d = e d = e du = e + C = e + C der C er en vilårlig onstant. Innsatt ovenfor gir det ye = e + C e y = + Ce Hvile lineære differensiallininger an en R-elev i prasis løse? Hvis vi sal brue metoden ovenfor, må vi for det første unne bestemme F(). Videre må vi F( ) unne regne ut integralet g ( ) e d. Når larer elevene det? Hvis f() er en onstant a, blir F() = a og integralet blir a g ( ) e d Når larer elevene å løse dette? Hvis g() er en onstant, larer elevene å finne integralet direte. Hvis g() er et polynom av grad n, larer eleven å finne integralet ved å utføre delvis integrasjon n ganger. I prasis må no polynomet være av grad eller høyst. Det er deet på side 33 i Sinus R.

3 F( ) Noen ganger an vi løse integralet g ( ) e d direte ved substitusjon. Da må g ( ) = F ( ) = f( ) der er en onstant. Liningen i esempelet foran er av den typen. Men en sli lining er separabel. Den an omformes sli: y + f( ) y = g( ) y + f( ) y = f( ) y = f( ) y f( ) y = ( y) f( ) y = f( ) y Slie lininger an vi løse med metoden fra apittel 8.3 i Sinus R. Liningen i esempelet foran løser vi sli: y' + y = 4 y' = 4 y y = ( y) dy = y d dy = d y dy = y y C ln = + y = e + C' C' y e e = ± y = ± y = + Ce C' e e d ' Vi an også løse integralet F( ) g ( ) e d ved først å utføre en substitusjon og deretter en delvis integrasjon. Det er nærmest utenelig at elever får så sammensatte differensiallininger til esamen. Liningen y + y = 3

4 Her må elevene bestemme integralet 3 e d. Det må de først omforme til u ue du og deretter finne dette integralet ved delvis integrasjon. Slie lininger er ie deet av det som står i Sinus R. Vi ser på det som uatuelt esamensstoff. Det er ett tilfelle til der elevene an lare å bestemme F( ) = ln. Da er f( ) = og liningen er F( ) g ( ) e d. Det er når y + y = g( ) F( ) ln ln Da er e = e = ( e ) =. Den integrerende fatoren blir dermed, og integralet blir g ( ) d. Hvis g() er et polynom, finner de integralet direte. Hvis g er en annen type funsjon, an de noen ganger finne integralet ved å utføre delvis integrasjon ganger. Vi ser på et esempel der g() er et polynom. EKSEMPEL Løs differensialliningen y + y = 4+ 3 Løsning: Her er f( ) =. Vi velger F( ) = ln = ln = ln. Den integrerende fatoren er F( ) ln e = e = Vi multipliserer med på begge sidene lihetstegnet. Det gir y + y = ( y) = = (4 + 3 ) 3 y d 4 3 y C = + + C = + + y

5 Konlusjon: De aller fleste lineære differensialliningene som er atuelle til esamen i R, an løses med metodene fra Sinus R. Et mulig unnta er lininger av typen y + y = g( ). Den løser vi ved å brue som integrerende fator. Vi legger ut et lite sriv tilpasset elever på nettsidene til Sinus R under delapitlet 8..