1. Åpen sløyfefunksjon når den langsomme digitale regulatoren er en P-regulator.

Transkript

1 D:\Per\Fag\Styresys\SANNOV\11LØSØV5.wd Fag SO507E Styresystemer Løsning heimeøving 5 Sanntid HIST-AFT Mars2011 PHv Utleveres: Ogave 1 A) Analogisering og frevensanalyse. 1. Åen sløyfefunsjon når den langsomme digitale regulatoren er en P-regulator. >> Hr=tf([1],[1],'iodelay',1.5) ex(-1.5*s) * 1 For rosessen må vi rydde litt først: >> H=tf([0.2],[10 1 0],'iodelay',2) 0.2 ex(-2*s) * s^2 + s >> Ho=Hr*H 0.2 ex(-3.5*s) * s^2 + s NB! Det har ommet en feil/endring fra og med versjonmatlab 7.4. Tidsforsinelsen til Ho å 3,5 lasseres ie i bare i iodelay, men også i oututdelay. For å sjee hele LTImodellen an du brue funsjonen get som vist under. >> get(ho) num: {[ ]} den: {[10 1 0]} iodelay: 2 Variable: 's' Ts: 0 InutDelay: 0

2 Løsningsforslag heimeøving 5 i Sanntid 2 OututDelay: 1.5 InutName: {''} OututName: {''} InutGrou: [1x1 struct] OututGrou: [1x1 struct] Name: '' Notes: {} UserData: [] Det gir dermed feil resultat å brue Ho.iodelay for å finne den samla tidsforsinelsen til Ho! For å finne den samla tidsforsinelsen i en LTI-modell må du brue funsjonen totaldelay(ho): >> totaldelay(ho) ans = Dette an vi brue i hmbode: >> hmbode(ho.num{1},ho.den{1}, tau,totaldelay(ho)); Av bodediagrammet ser vi at faseryssfrevensen ù 180 = 0,16 og at forsteringsmarginen ÄK = 3,6 db. 2) Kritis forstering: Kritis eriodetid: 3) Anbefalte verdier for P-regulator: K = 0,5 K = 0,5*1,5 0,75

3 Løsningsforslag heimeøving 5 i Sanntid 3 Anbefalte verdier for PI-regulator: K = 0,45 K = 0,45*1,5 0,7 T = 0,85 T = 0,85*39 33[se] B) Disretisering og ollassering. 1. Disretiser rosessen med styevis onstant innsignal og Matlab: LTI-modell i s-lanet for rosessen fant vi under A)1. Nå disretiseres denne: >> Hz=c2d(H,1,'zoh') z z^(-2) * z^ z Samling time: 1 i Dette betyr: Overføringsfunsjonen for langsom P-regulator: H R = K z. Når K =1 får vi H R = 1/z. Denne an vi srive o som LTI-funsjon direte: >> Hrz=tf([1],[1 0],1) 1 - z Åen sløyfefunsjon blir nå: >> Hoz=Hrz*Hz z z^(-2) * z^ z^ z Dette betyr: 3. Følgeforholdet y/r i z-lanet: I Matlab finner vi følgeforholdet ved å brue feedbac når vi jenner h 0: >> K=1; NB! Hus at du må gi K en verdi før du bruer den som en variabel i Matlab. >> Hcz=feedbac(K*Hoz,1,-1)

4 Løsningsforslag heimeøving 5 i Sanntid z z^ z^ z^ z Det arateristise olynomet er nevneren i følgeforholdet. >> nevner=hcz.den{1} nevner = K =1 gir disse olene (egenverdiene) med Matlab: [oler]=roots(nevner) Svar: oler = i i i i Sløyfa er stabil om alle olar ligger innafor enhetssirelen. I Matlab an dette gjøres med: [absz]=abs(oler) Svar: absz = Absoluttverdien til alle olene er mindre enn 1. Dermed er sløyfa stabil. 7. Kritis forstering er den verdien å K som gir et olar aurat å enhetssirelen og resten av olene innafor enhetssirelen. Dette sjees rast i Matlab med følgende om vi allered har Hoz fra unt 2 over. %Sett verdi å K: K=1; %Hcz blir nå: Hcz=feedbac(K*Hoz,1,-1) %Det arateristise olynomet blir: nevner=hcz.den{1} %Finn olene: [oler]=roots(nevner) %Finn absoluttverdiene: [absz]=abs(oler) Med litt røving og feiling vil K = 1,6 vise seg å være for mye og K = 1,5 litt for lite. K = 1,51 gir disse røttene og absoluttverdiene:

5 Løsningsforslag heimeøving 5 i Sanntid 5 oler = absz = i i i i Polaret z 1,2 = ± j ommer nært no til enhetssirelen (absz=1.0001) Kritis forstering blir dermed K =K =1,51 8. Polaret z 1,2 = ± j ommer nært no til enhetssirelen (absz=1.0001) Polene i z-lanet renes over til oler i s-lanet med s=ln(z)/h (Matlab an ta logaritmen til omlese tall): Matlabode: h=1; [s_oler]=log(oler)/h Svar: s_oler = i i i i i Ved ritise tilfelle så er á = 0 og ù = â. I vårt tilfelle blir dermed ù 180 0,16 rad/se 9. Anbefalte verdier for P-regulator: K = 0,5 K = 0,5*1,51 0,76 Anbefalte verdier for PI-regulator: K = 0,45 K = 0,45*1,51 0,7 Må finne T = 2ð/ù 180 = 2ð/0,16 = 39[se] T = 0,85 T = 0,85*39 33[se] i C) Disretisering og frevensanalyse. Overføringsfunsjonen for den åne sløyfa, H 0(z) når den langsomme digitale regulatoren er en P-regulator med K=1 har vi fra unt B2): Vi an da enten brue bode direte ved å sette: bode(hoz); Eller vi an brue hdbode ved første å brue delay2z(hoz) for å få gjort inludert tidsforsinelsen i nevneren i overføringsfunsjonen for deretter å brue hdbode. >> Hoz2=delay2z(Hoz)

6 Løsningsforslag heimeøving 5 i Sanntid z z^ z^ z^3 Bruer hdbode når K = 1: h=1; >> hdbode(hoz2.num{1},hoz2.den{1},1); Av bodediagrammet å neste side ser vi at faseryssfrevensen ù 180 = 0,16 og at forsteringsmarginen ÄK = 3,5 db. 2) Kritis forstering: Kritis eriodetid: 3) Anbefalte verdier for P-regulator: K = 0,5 K = 0,5*1,5 0,75 Anbefalte verdier for PI-regulator: K = 0,45 K = 0,45*1,5 0,7 T = 0,85 T = 0,85*39 33[se] i

7 Løsningsforslag heimeøving 5 i Sanntid 7 Sidesrang: For å få helt ritig faseforsyving ved veldig lave frevenser er det vitig å ha med tilstreelig mange dsimaler ved manuell innsetting av tallverdiene som sal brues for å tene o bodediagrammet basert å overføringsfunsjonen til den åne sløyfa i z-lanet. I utgangsuntet har vi i denne ogava regulering av en tan. Tanen har en integratorvirning og dermed en stasjonær forstering li uendelig. Hvis det hele tida går mer vatn inn i tanen enn det som går ut vil nivået teoretis sett stige mot uendelig. I vireligheten blir den full og vatnet renner over anten til slutt. Sal vi få samme integratorvirning i z-lanet så må den åne overføringsfunsjonen med bare P-regulator også ha en stasjonær forstering å uendelig. Dette finner vi ut ved å la z gå mot 1 i den åne overføringsfunsjonen. Svaret blir ie uendelig. Derimot blir stasjonær forstering her negativ. Det betyr at faseforsyvinga ved veldig lav frevens starter å Bruer vi derimot flere desimaler får vi: Her får vi en integratorvirning. I dette tilfelle vil faseforsyving ved veldig lav frevens starte å -90 Sidesrang slutt.

8 Løsningsforslag heimeøving 5 i Sanntid 8 D) Simulering av sløyfa medsimulin: Diagrammet over viser omtrent stående svingninger ved en P-forstering å 1,5. Periodetida å svingningene er 40 seund. Dermed har vi K = 1,5 og T = 40 se. Forslag til innstilling av PI-regulator blir da: K = 0,45*K = 0,45*1,5 0,7 T i = 0,85*T = 0,85*40 34[se] Simulering av sløyfa med PI-regulator og verdiene over gir følgende forlø ved srang i referansen fra 0,25 til 0,5:

9 Løsningsforslag heimeøving 5 i Sanntid 9 Innsvingningsforløet er svært urolig. Tilnærma minimum amlitude. Her er det nødvendig med etterjusteringer. F es redusere K noe og øe T en del. E) Sammenlining av resultatene: De forsjellig metodene gir omtrent samme resultat. Men som vi ser av simuleringa blir verdiene vi finner ie helt bra for PI-regulatoren. En sielig frevensanalyse basert å rav til fasemargin og forsteringsmargin ville no gitt et bedre resultat i Mer at metoden med analogisering av den disret regulatoren og metoden med disretisering av rosessen gir omtrent helt samme resultat ved frevensanalyse. Det er omtrent ie mulig å sille de to frevensresonsene fra hverandre i Bodediagrammet.