Del 1. Standard overføringsfunksjoner (25%)

Transkript

1 Eksamensdato: 8. desember 2015 HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Fakultet for teknologi Fag: Faglærer: Løsningsforslag versjon 2 TELE2001 Reguleringsteknikk Fredrik Dessen Del 1. Standard overføringsfunksjoner (25%) I disse oppgavene skal du finne fram til- eller undersøke overføringsfunksjoner basert på figurer som du finner i vedleggene. Oppgave 1.1. (6%) Ta utgangspunkt i frekvensresponsen i vedlegg 1 og finn overføringsfunksjonen som denne representerer. Frekvensresponsen i vedlegg 1 har disse generelle trekkene. Røde markeringer. Fase går fra 0 ved lave frekvenser, og til -90 ved høye frekvenser. Amplitude går fra en konstant verdi ved lave frekvenser, og får en stadig mindre verdi ved høye frekvenser. Dette siste går asymptotisk mot en stigning på -20dB per dekade. Frekvensen i skjæringspunktet mellom asymptotene i amplitudeplottet faller sammen med -3dB-punktet, og med -45 -punktet i faseplottet Dette peker i retning av at det er snakk om en første ordens prosess uten transportforsinkelse, som dermed kan beskrives av 1 Forsterkningsfaktoren K finnes ved å se på asymptotisk verdi av amplitudeplottet ved lave frekvenser. Dette avleses til 12dB. Dermed må K = 4. Tidskonstanten T er den inverse av frekvensen hvor a) asymptotene krysser hverandre, b) amplitude har falt med -3dB til 9dB og c) fase har falt med -45. Frekvensen avleses til ω = rad/sek, som gir T = 3.1sek. Vi får dermed svaret

2 Løsningsforslag for eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk desember 2015 Side 2 Oppgave 1.2. (3%) Ta fortsatt utgangspunkt i vedlegg 1. Prosessen representert ved denne frekvensresponsen påtrykkes følgende inngangssignal: sin der 0.1 og 0.7 rad/s Hva blir utgangssignalet y(t) etter at inngangssignalet har fått lov å stå på en stund? Frekvensresponser viser per definisjon amplitude og frekvens for samlingen av alle utgangssignaler som følge av tilsvarende inngangssignaler sin Dette gjelder enkeltvis for vilkårlige frekvenser. Det er en forutsetning at inngangssignalet har stått på lenge. Siden systemet er lineært vil utgangssignalet kunne skrives sin Vi trenger bare å lese av amplitude og fase ved 0.7 rad/s, og finner en amplitude på 4.6dB = 1.7, og en fase på = -64. Amplituden må multipliseres med A = 0.1. Vi får ; 0.7 rad/s ; rad Påtegninger i vedlegg 1 er i grønt. Oppgave 1.3. (8%) Ta utgangspunkt i frekvensresponsen i vedlegg 2 for å finne overføringsfunksjonen som denne representerer. Frekvensresponsen i vedlegg 2 har disse generelle trekkene. Røde markeringer. Fase går fra 0 ved lave frekvenser, og faller uten begrensning ved høye frekvenser. Dette er den store forskjellen fra oppgave 1.1. Amplitude går fra en konstant verdi ved lave frekvenser, og får en stadig mindre verdi ved høye frekvenser. Dette siste går asymptotisk mot en stigning på -20dB per dekade. Frekvensen i skjæringspunktet mellom asymptotene i amplitudeplottet faller sammen med -3dB-punktet, men ikke med -45 -punktet i faseplottet Dette peker i retning av at det er snakk om en første ordens prosess med transportforsinkelse, som dermed kan beskrives av 1 Forsterkningsfaktoren K finnes ved å se på asymptotisk verdi av amplitudeplottet ved lave frekvenser. Dette avleses til 12dB. Dermed må K = 4. Tidskonstanten T er den inverse av frekvensen hvor a) asymptotene krysser hverandre og b) amplitude har falt med -3dB til 9dB. Frekvensen avleses til ω = 0.1 rad/sek, som gir T = 10 sek. Faseforskyvningen ut over det den ville ha vært for en ren første ordens prosess representeres ved

3 Løsningsforslag for eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk desember 2015 Side 3 Transportforsinkelsen kan dermed finnes for en vilkårlig frekvens ω som Vi starter med å tegne opp fasen for en ren første ordens prosess i vedlegg 2. Det er mange måter å gjøre dette på. Den enkleste er sannsynligvis å overføre fasekurven fra vedlegg 1. Det er videre markert at fasen ligger 1 radian (57 ) under denne referansefasen ved frekvensen ω = 1.0 rad/sek. Dermed får vi 1 rad 1.0 sek 1.0 rad/sek I tillegg er det markert hvor fasen ligger 2 radianer (114 ) under. Her finner vi frekvensen ω = 2.0 rad/sek, og dermed 2 rad 1.0 sek 2.0 rad/sek Med stor nøyaktighet kommer vi altså fram til samme resultat. Dette tyder på at avlesningene er nøyaktige nok, samtidig som det øker sannsynligheten for at det faktisk er snakk om en transportforsinkelse, og ikke f. eks. en Padé-approksimasjon. Sluttresultatet blir dermed at Oppgave 1.4. (8%) Ta utgangspunkt i sprangresponsen i vedlegg 3, og finn overføringsfunksjonen som denne representerer. Sprangresponsen i vedlegg 3 har disse generelle trekkene. Røde markeringer. Responsen starter umiddelbart etter spranget En avrunding (ikke knekk) der hvor responsen starter Innsvingningsforløp på rundt 7 halvperioder Innsvingning (stabilisering) til en ny stasjonær verdi Dette peker i retning av at det er snakk om en andre ordens prosess med komplekskonjugerte poler uten transportforsinkelse. Overføringsfunksjonen kan dermed beskrives av 1 2 I vedlegg 3 er det påført hvordan vi finner fram til følgende verdier: ΔX = = 50 % ΔU = = 20 %

4 Løsningsforslag for eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk desember 2015 Side 4 = = 27 % TP = 28/22 = 1.27 sek δ = 0.54 Av dette får vi beregnet ln ln Δ 50 Δ Sjekkpunkt: Fra fig. 5.9 (Innsvingningsforløp og dempekonstanter) ser vi at en relativ dempning på ca. 0.2 stemmer noenlunde med at innsvingningsforløpet er på rundt 7 halvperioder. Vi kan til slutt skrive overføringsfunksjonen som Del 2. Eksperimentell modellering av prosess (15%) Prosessen som skal undersøkes her er beskrevet i vedlegg 4. Den kan deles opp i de tre elementene i figur V4.2, men det viser seg umulig å skille disse fra hverandre for å finne separate sprang- eller frekvensresponser for dem. I vedlegg 5 vises sprangresponser for hele prosessen i ett, tatt opp ved to forskjellige vannhastigheter. Oppgave 2.1. (7%) Ta utgangspunkt i sprangresponsene i vedlegg 5 for å finne overføringsfunksjonen til varmeelement, rør og temperaturmåler i ett. Finn to overføringsfunksjoner, tilsvarende de to forskjellige strømningshastighetene. Sprangresponsene i vedlegg 5 har disse generelle trekkene. Røde markeringer. Det går en tid etter spranget før noe skjer. En avrunding (ikke knekk) der hvor responsen starter Innsvingningsforløp uten oversving Innsvingning (stabilisering) til en ny stasjonær verdi Dette peker i retning av at det er snakk om en andre ordens prosess med reelle poler og med transportforsinkelse. Overføringsfunksjonene kan dermed beskrives av 1 1 I stedet for å innføre flere symboler eller indekser behandles de to tilfellene mest mulig under ett. Tidspunktene hvor spranget starter, og hvor ting begynner å skje på responskurven er avmerket med hver sin røde vertikale hjelpelinje. Avstanden mellom

5 Løsningsforslag for eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk desember 2015 Side 5 disse avleses for å finne. Tangenten i det bratteste punktet på responskurven er avmerket med en rød skrå hjelpelinje. Baselinjen for responskurven er avmerket med en rød horisontal linje. Skjæringspunktet mellom tangenten og baselinjen brukes for å finne. Asymptoten for sluttverdien til responskurven er avmerket med en ny rød horisontal linje. Tidspunktet hvor responskurven har gått 63% av veien fra baselinjen til sluttverdien er avmerket med en tredje rød vertikal linje. Vi finner som markert i figuren, eller som. er også markert i figuren. Forsterkning er gitt av Δ /Δ, som begge er markert i figuren. Vannhastighet 1 m 3 /s Her leser vi av ΔX = 8.2 grader og ΔU = 3.0 grader, dermed K = 8.2/3.0 = 2.73 τ 3.15 sek T sek T sek Det er naturlig å avrunde til to siffers nøyaktighet, så vi får til slutt Vannhastighet 3 m 3 /s Her leser vi av ΔX = 2.7 grader og ΔU = 3.0 grader, dermed K = 2.7/3.0 = 0.90 τ 1.0 sek T sek T sek Det er naturlig å avrunde til to siffers nøyaktighet, så vi får til slutt Det kan til slutt bemerkes at denne metoden å finne tidskonstanter på ikke er spesielt nøyaktig, og egentlig best når. Dette kan antagelig ikke sies å være tilfelle denne gangen.

6 Løsningsforslag for eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk desember 2015 Side 6 Oppgave 2.2. (4%) Hvilke to modellparametere forandrer seg tydeligst når strømningen endres? Hvilke andre størrelser endres tydelig? Hvordan stemmer alt dette med ditt inntrykk av virkemåten til en slik prosess? Disse momentene bør være med: Forsterkningen K og transportforsinkelsen τ forandrer seg tydeligst. I begge tilfeller er det snakk om reduksjon med en faktor på ca. 3 når vannhastigheten øker med samme faktor. Vi ser også at startverdiene (før spranget) er forskjellige, og at sluttverdiene (etter spranget) er forskjellige. Når vannmengden økes med en faktor på 3 blir det 3 ganger så mye vann å varme opp, så det er naturlig at temperaturøkningen bare blir på en tredjedel. Dette gjelder også temperaturen før spranget. Altså: mer gjennomstrømning gir kaldere vann. Når det gjelder transportforsinkelsen, så vil 3 ganger så mye vann medføre at vannet går 3 ganger så fort gjennom røret, og kommer tilsvarende fortere fram til temperaturmåleren. Dermed reduseres forsinkelsen. Oppgave 2.3. (4%) Forklar sprangresponsmetoden, slik den benyttes for å finne kritisk forsterkning og -periodetid for en prosess. Finn kritisk forsterkning og -periodetid for begge sprangresponsene i vedlegg 5. Sprangresponsmetoden kan utføres i en prosess som er i gang, og innebærer at man endrer pådragsverdien i et sprang fra en verdi til en ny verdi. Trekk ved responsen til dette spranget benyttes til å finne størrelsene ekvivalent transportforsinkelse og ekvivalent integraltid, som igjen benyttes til å beregne kritisk forsterkning og periodetid. Ekvivalent transportforsinkelse finnes i vedlegg 5 som summen av den virkelige transportforsinkelsen og den minste tidskonstanten. Altså Ekvivalent integrasjonstid finnes ved å studere tangenten til det bratteste punktet på responskurven, og merke av tiden det tar for denne linjen å stige like mye som størrelsen til spranget. Dette er tegnet inn med grønt i vedlegg 5. Kritisk forsterkning og periodetid finnes så med formlene 2 og 4

7 Løsningsforslag for eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk desember 2015 Side 7 Vannhastighet 1 m 3 /s = 3.6 sek og = 1.9 sek (avlest) og sek Vannhastighet 3 m 3 /s = 1.5 sek og = 5.7 sek (avlest) og sek Del 3. Frekvensanalyse (28%) Etter at forsøkene ovenfor ble utført, ble prosessen endret noe. Det ble også bestemt at den skal gå med en konstant vanntilførsel på 1 m 3 /s. Prosessen kan nå beskrives av Bode-diagrammet i vedlegg 6 og 7. Disse to vedleggene er identiske. Beskrivelsen i vedlegg 4 er fortsatt gyldig. Oppgave 3.1. (3%) Ved å tilføre flere elementer både i figur V4.1 og figur V4.2 i vedlegg 4, vis hvordan en regulator bør kobles inn i prosessen. Tegn inn signal for ønsket vanntemperatur og nominelt pådrag i blokkdiagrammet. I figur V4.1 er det påført en temperaturregulator (TC) som tar signal fra temperaturmåleren (TT) og sender pådragsverdi til styreboksen for varmeelementet I figur V4.2 er regulatoren (Reg) tegnet inn. Denne reagerer på avviket mellom ønsket verdi r og målt verdi y. Det er også tegnet inn et nominelt pådrag u0. Oppgave 3.2. (6%) Personalet ønsker først å stille inn en PI-regulator ved hjelp av Ziegler og Nichols metode. Hvilke verdier kommer de til å finne? Illustrer fremgangsmåten din med påtegnelser i vedlegg 6. Ziegler og Nichols metode utføres i en prosess som er i drift. Forsøkene utføres med en ren P-regulator. Proporsjonalforsterkningen økes til det punktet hvor det oppstår en nærmest udempet, men ikke økende svingning i prosessen. Denne verdien på proporsjonalforsterkningen kalles kritisk forsterkning, Kk. Periodetiden på svingningen som oppstår kalles kritisk periodetid, Tk. Parametrene for en PI-regulator finnes nå av 0.45 og 0.85 Når er sløyfeforsterkningen akkurat så stor at amplitudekurven til overføringsfunksjonen i vedlegg 6 er lik 1 samtidig som fasekurven er -180 grader. Som markert i rødt oppstår dette ved en forsterkning som må reduseres med 4.4dB.

8 Løsningsforslag for eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk desember 2015 Side db 0.6 Svingefrekvensen som oppstår er også markert i Bode-diagrammet og avlest til 0.6. Kritisk periodetid finnes nå som sek 10sek 0.6 Dermed finnes regulatorparametrene som og sek Oppgave 3.3. (9%) Hva blir parametrene i en PI-regulator som er stilt inn etter metoden beskrevet i kapittel 8 i læreboka, men uten å kontrollere forsterkningsmargin? Illustrer fremgangsmåten din med påtegnelser i vedlegg 6. Forespurte metode baserer seg på at man skal finne en ønsket kryssfrekvens basert på en ønsket regulatortype og en ønsket fasemargin. I dette tilfellet er det ønskelig med en PI-regulator. I tillegg oppgis det i vedlegg 4 at et innsvingningsforløp av typen minimum forstyrrelse er ønskelig. Dette siste kan typisk oppnås (som det står innledningsvis i kap. 8) med en fasemargin på Δ 45 og en forsterkningsmargin på12 db. Ønsket kryssfrekvens finnes der hvor 160 Δ 115 Denne vinkelen er markert med en grønn horisontal linje i vedlegg 6. Linjen krysser fasekurven ved ø Denne frekvensen er markert med en grønn vertikal linje, og det er altså ved denne frekvensen vi ønsker at amplitudekurven skal krysse 0dBlinjen. I utgangspunktet avleses ø 8.2dB. I følge den forespurte metoden bestemmes nå regulatorparametrene ved ø 1dB 9.2dB 0.35 og sek ø 0.34 Det bemerkes at tallene -160º og 1dB ovenfor er spesifikke for en PI-regulator dimensjonert etter forespurt metode.

9 Løsningsforslag for eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk desember 2015 Side 9 Oppgave 3.4. (10%) Noen foreslår en PI-regulator med Kp = 0.3 og Ti = 8. Tegn overføringsfunksjonen til denne regulatoren i Bode-diagrammet i vedlegg 7. Tegn også inn h0(s) (den åpne sløyfens overføringsfunksjon), og kommenter til slutt valget av regulatorparametere og regulatortype. Kp = 0.3 tilsvarer en dB. Ti = 8 tilsvarer en frekvens på rad/sek. Overføringsfunksjonen til regulatoren er tegnet med grønt i vedlegg 7. Dette er gjort ved først å tegne inn asymptotene, deretter 3dB-punktet til amplituden og minus 45- graderspunktet til fasen. Kurvene har mange fellestrekk med frekvensresponsen i vedlegg 1, så noen ekstra punkter er hentet derfra. Spesielt er det viktig å være nøyaktig i frekvensområdet 0.3 til 0.7 rad/s. Den åpne sløyfens overføringsfunksjon finnes ved å a) summere db-verdiene til regulator og prosess, samt b) summere faseplottene til regulator og prosess. Resultatet er vist i rødt i vedlegg 7. Fasen kom dessverre i grønt. Vi ser fra dette at nevnte regulator gir stabilitetsmarginer (blå markeringer) Δ 5 Δφ 63 Dette kan omtrent tilsvare en innsvingning av typen minimum areal. Vi kan oppnå minimum forstyrrelse med å redusere forsterkningen med 4dB. Stasjonært avvik vil nok bli ganske stort om vi ikke har integralvirkning (så det må vi ha). Fasen detter ganske bratt ved, så det er usikkert om en differensialvirkning vil gi mye bidrag. Vi kan anta at valget er gjennomtenkt på dette punktet. Del 4. Polanalyse (16%) Vi går nå over til en annen prosess. Noen har satt opp og løst karakteristiske ligninger for den lukkede sløyfen for forskjellige regulatorer. Se vedlegg 8. Oppgave 4.2. (8%) Bruk tabell V8.1 i vedlegg 8 sammen med Ziegler og Nichols håndregler til å komme fram til en PI regulator for prosessen. Vi ser at et polpar går fra å ha negative til å ha positive realdeler når proporsjonalforsterkningen nærmer seg ser ut til å være et rimelig estimat. Når disse polene ligger på den imaginære aksen ser det ut til at imaginærdelene i absoluttverdi vil være ganske nøyaktig 2.0 rad/s. Kritisk periodetid blir dermed sek Ziegler og Nichols håndregler gir oss dermed og sek

10 Løsningsforslag for eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk desember 2015 Side 10 Oppgave 4.2. (8%) Noen foreslår en PI-regulator med Kp = 1 og Ti = Bruk tabellene V8.2 til V8.5 i vedlegg 8 til å vurdere disse parametrene, og til å komme med et bedre forslag. Det er ønskelig med et innsvingningsforløp av typen minimum forstyrrelse, og ellers en raskest mulig respons. Vi befinner oss i så fall i kolonnen hvor Kp = 1, og midt mellom tabell V8.3 og V8.4. Vi ser ett komplekskonjugert polpar og anslår at dette har verdiene Svingefrekvensen finner vi umiddelbart som 0.91 rad/s Relativ dempning blir Dette skulle tilsvare en innsvingning av typen minimum areal. Det er ønskelig med et innsvingningsforløp av typen minimum forstyrrelse, og ellers en raskest mulig respons. Hvis vi utelukkende ser på dette polparet må vi ha en relativ dempning for disse som er i området Vi bør imidlertid også huske på de to reelle polene. Den langsomste av disse representeres ved frekvensen rad/s 2 Svingningen representert ved svingefrekvensen kan representeres relativt til 1/T2 som 0.91/ Hvis vi ser f. eks. på frekvensresponsen for det 1. ordens systemet i vedlegg 1, ser vi at det er snakk om ca. 9 db dempning for frekvenser som ligger på 2.4 ganger knekkfrekvensen. Dette skulle redusere svingningene med en faktor Det kan derfor være at systemet likevel er bra nok dempet. Dette støttes av det faktum at den foreslåtte regulatoren har en proporsjonalforsterkning som allerede er redusert til bortimot halvparten av det vi fikk som resultat i oppgave 4.1. Det er dermed vanskelig å si ut fra tilgjengelig informasjon hvordan regulatoren evt. kan forbedres. Ved å studere tabellene kan vi likevel si at En økning av integraltiden vil øke dempningen noe, men samtidig øke T2 En reduksjon av proporsjonalforsterkningen vil øke dempningen merkbart, men samtidig øke T2 og redusere β

11 Løsningsforslag for eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk desember 2015 Side 11 Del 5. Overføringsfunksjoner (16%) Oppgave 5.1. (4%) Hva er den viktigste betingelsen for at det skal gi mening å bruke Laplace-transformerte overføringsfunksjoner? Hvis denne betingelsen ikke er oppfylt, men du likevel ønsker å bruke overføringsfunksjoner, hva kan du ofte gjøre for å få til dette? Hva må du spesielt ha i tankene når et slikt system analyseres? Laplace-transformerte overføringsfunksjoner forutsetter lineære systemer Hvis man likevel ønsker å bruke overføringsfunksjoner må prosessens dynamiske ligninger lineariseres Når man analyserer et slikt system må man passe på at man er innenfor gyldighetsområdet for lineariseringen. Dette kan dreie seg om å være bevisst på hva som skjer i forbindelse med metningsfenomener, eller f. eks. å holde seg i rimelig nærhet av det arbeidspunktet som lineariseringen er utført rundt. Oppgave 5.2. (4%) Studer vedlegg 9. Hva blir overføringsfunksjonen fra referanse r til måling y når systemet er regulert som angitt? Svar kreves både for den generelle prosessen og det konkrete tilfellet. Svaret skal forenkles, men må være eksakt. Overføringsfunksjonen det spørres om kalles gjerne følgeforholdet. Denne omtales som i boka, men også ofte som. Vi starter med at 1 Det generelle tilfellet Det lengste vi kan gå i det generelle tilfellet er å sette inn Svaret blir derfor 1 Det konkrete tilfellet Vi kan splitte i en teller og nevner, hhv. og slik at 1 Ved å studere overføringsfunksjonene for det konkrete tilfellet ser vi at 1 1 1

12 Løsningsforslag for eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk desember 2015 Side 12 Dermed får vi Hvis vi setter inn tallverdier får vi Det er ikke nødvendig å gå lenger enn dette. Det ble bedt om et eksakt svar, derfor er ikke 80/13 regnet ut. Oppgave 5.3. (4%) Studer vedlegg 9. Hva blir overføringsfunksjonen fra forstyrrelse v til måling y når systemet er regulert som angitt? Svar kreves både for den generelle prosessen og det konkrete tilfellet. Svaret skal forenkles, men må være eksakt. Det generelle tilfellet Vi kan sette opp følgende basert på blokkdiagrammet i figur V9.1. Siden vi skal finne overføringsfunksjonen fra v til y kan vi sette w og r lik null, og får 1 1 Det konkrete tilfellet Vi kan splitte i en teller og nevner, hhv. og slik at 1 1 Ved å studere overføringsfunksjonene for det konkrete tilfellet ser vi at Dermed får vi

13 Løsningsforslag for eksamen i TELE2001 Reguleringsteknikk desember 2015 Side Hvis vi setter inn tallverdier får vi Det er ikke nødvendig å gå lenger enn dette. Det ble bedt om et eksakt svar, derfor er ikke 80/13 regnet ut. Oppgave 5.3. (4%) Studer vedlegg 9. Hva blir stasjonært avvik når r = 0.5, v = 1.3 og w = 1.1? Hvilke av disse tre inngangsverdiene er med å påvirke stasjonært avvik? Hva blir stasjonær måling? Hvilke verdier påvirker stasjonær måling? Vi kan benytte oss av såkalt stasjonær forsterkning for de forskjellige blokkene. Disse blir ut fra definisjonen i kap. 3.3 i boka lim lim lim Nå inneholder fortsatt en integrator. Skal det i det hele tatt være mulig å oppnå en stasjonær tilstand må inngangen på denne integratoren være null. Dette blir altså en forutsetning. Vi går bakover fra dette punktet og ser at da må 1.1. Dermed får vi stasjonært avvik som Vi ser ut fra dette at det bare er forstyrrelsen w som påvirker stasjonært avvik. Stasjonær måling finnes videre ved at, eller. Dette gir Vi ser ut fra dette at i tillegg til forstyrrelsen w påvirker referansen r den endelige måleverdien. Dette er jo naturlig i et fungerende reguleringssystem. Selv om det ikke spørres om det, er det viktig å merke seg at v ikke påvirker hverken stasjonært avvik eller -måling. Lærdommen ligger i å merke seg hvilken side av integratoren forstyrrelsen kommer på. Hvis regulatoren hadde hatt integralvirkning ville heller ikke w ha innvirket på stasjonært avvik eller stasjonær måling.

14

15

16

17

18

19

20

21

22