HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi"

Sara Løkken
4 år siden
Visninger:

1 HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Målform: Bokmål Eksamensdato: 7.mai 24 Varighet/eksamenstid: 5 timer Emnekode: TELE 23 Emnenavn: Signalbehandling Klasse(r): 2EI 2EE Studiepoeng: Faglærer(e): (navn og telefonnr på eksamensdagen) Håkon Grønning tlf Ingrid Kvakland tlf Kontaktperson(adm.) (fylles ut ved behov kun ved kursemner) Hjelpemidler: Kalkulator Citizen SR27X, Casio fx-82es, Casio fx-82es plus Oppgavesettet består av: (antall oppgaver og antall sider inkl. forside) Vedlegg består av: (antall sider) 5 oppgaver over sider inkludert forsiden og 4 sider vedlegg. 4 sider formler. Merknad: Oppgaveteksten kan beholdes av studenter som sitter eksamenstiden ut. NB! Les gjennom hele oppgavesettet før du begynner arbeidet, og disponer tiden. Dersom noe virker uklart i oppgavesettet, skal du gjøre dine egne antagelser og forklare dette i besvarelsen. Lykke til!

2 Oppgave (36 %) Et signal x ( t ) er gitt som π x ( t) = 4cos(2π 2 t 3 ). a) Skisser signalet x ( ) t og merk av karakteristiske størrelser og verdier på figuren. Ta med så mange detaljer som mulig. Angi frekvensen f, amplituden A og fasen ϕ. (Merk: skisser betyr at selve kurven ikke trenger å være super-nøyaktig.) b) Hvor stor tidsforskyving representerer faseleddet i uttrykket for x ( t )? Et annet signal x ( t ) er gitt som ( ) e j(2π 6 t ) e j (2π 6 t ) 2 x2 t = +. c) Finn et reelt sinusformet uttrykk for x ( t ). 2 (Hint: uttrykket skal være på samme form som gitt for x ( t ) ) d) Skisser frekvensspekteret til x ( t ) som et linjespekter. Merk av frekvensen 2 f 2, amplituden A 2 og fasen ϕ 2 på figuren. e) Vi danner et tredje signal x3( t) = x ( t) + x2( t). Skisser frekvensspekteret til x ( t ) som 3 et linjespekter. Merk av frekvensene, amplitudene og fasene på figuren. Du får bruk for figuren under i resten av oppgaven: f) Anta at x ( ) 3 t punktprøves som vist i figuren over. («punktprøving» = «sampling») Det er gitt at punktprøvingsfrekvensen f s = 2 khz. - Hva blir de to diskrete vinkelfrekvensene ˆω og ˆω 2 for de to signalkomponentene i x [ n ]? 3 - Skriv opp et uttrykk for det diskrete signalet x [ n ]. 3 2

3 g) - Hva sier Nyquists/Shanons punktprøvingsteorem? Anta nå at vi endrer punktprøvingsfrekvensen til f s = 5 khz. - Hvilken konsekvens får det når vi punktprøver x ( ) 3 t med den nye f = 5 khz? s h) Vi rekonstruerer det punktprøvde signalet x [ ] 3 n med den ideelle diskret-tilkontinuerlig (D-to-C) konverteren vist over. Fortsatt gjelder at f s = 5 khz. Hvilke frekvenskomponenter har da det rekonstruerte signalet y ( t )? 3 i) Skriv opp et uttrykk for y ( t )! 3 3

4 Oppgave 2 (6 %).8 ECG-signal.6 Absoluttverdi til DFT av ECG-signal amplitude.2 amplitude tid [s] frekvens [Hz] Figur 2. ECG-signal uten støy. Til venstre: en periode av ECG-signalet i tidsplanet. Til høyre: DFTanalyse av ECG-signalet. (Vi har egentlig foretatt en 52-punkt DFT, men bare de 6 første verdiene er vist i plottet.).8 ECG-signal med søy.6 Absoluttverdi til DFT av ECG-signal amplitude amplitude tid [s] frekvens [Hz] Figur 2.2 ECG-signal med støy. Til venstre: en periode av ECG-signalet med støy i tidsplanet. Til høyre: DFT-analyse av ECG-signalet med støy. (Vi har egentlig foretatt en 52-punkt DFT, men bare de 6 første verdiene er vist i plottet.) Figurene viser en periode av et punktprøvd ECG-signal. Signalet er punktprøvd med f s =52 punktprøver pr. sekund og det er nøyaktig 52 punktprøver i en periode av signalet. Vi ønsker å bruke et lineær fase FIR-filter for å forbedre signalet i Figur 2.2 slik at det blir mest mulig likt signalet i Figur 2.. 4

5 Figur 2.3 Del av filterdesignverktøyet «sptool» i Matlab. a) Forklar ut fra informasjon gitt i Figur 2. og Figur 2.2 hvorfor det her kan være passende å velge filter med følgende parametere, se Figur 2.3: Passbåndfrekvens Fpass = 22Hz, stopbåndfrekvens Fstop = 3Hz, passbåndrippel Apass = db og stoppbåndsdemping Astop = 4dB. b) Hvordan påvirkes filterorden hvis vi velger Fpass = 25Hz (i stedet for 22Hz) mens de andre parameterne fortsatt er som gitt i punkt a). c) Anta at vi har valgt å bruke et lineær fase FIR-filter der orden er 28. Hvor mange koeffisienter (eller «tapper») er det i filteret? Hva blir tidsforsinkelsen i filtret når punktprøvingsfrekvensen fs = 52Hz? d) I Figur 2. er amplituden for noen av frekvenskomponentene over 3Hz forskjellig fra null, selv om det ikke er så tydelig. (Dette gjelder for eksempel ved 5-52Hz.) Hvorfor vil det ikke være teoretisk mulig å gjenskape ECG-signalet perfekt når vi samtidig skal fjerne den uønskede støyen? 5

6 e) I DFT-plottene vist i figurene sammenfaller frekvensen f=hz med DFT-koeffisient k= og så videre. Finn et uttrykk for frekvensen f gitt av DFT-koeffisienten k, DFT-lengden N og samplingsfrekvensen f s. Anta at vi øker DFT-lengden til N=24, hvilken frekvens tilsvarer DFT-koeffisient k= da? 6

7 Oppgave 3 (2%) Gitt signalet s(t) vist i figur Firkantpulstog s(t).8 s(t) Tid [s] Figur 3. Signalet s(t) Signalet er periodisk og kan uttrykkes i ei kompleks Fourierrekke på formen j2π fkt = ak. k= x( t) e a) Hvilken verdi har f og a i Fourierrekka for s(t)? b) π k πk j 4 Fourierkoeffisientene for s(t) er gitt av : ak = sin( ) e πk 2 Skisser amplitudespekteret og fasespekteret til s(t). c) Uttrykk s(t) som ei reell Fourierrekke (trigonometrisk Fourierrekke) hvor du tar med ledd til og med 5.harmoniske. 7

8 d) Signalet s(t) filtreres med tre filter som vist i figur 3.2. H (jω) y (t) s(t) H 2 (jω) y 2 (t) H 3 (jω) y 3 (t) Figur 3.2 Filterbank som filtrerer s(t). for ω 2π H (jω) er et ideelt LP-filter gitt ved H( jω) = for ω > 2π for 2π ω 4π H 2 (ω) er et ideelt BP-filter gitt ved H 2( jω) = ellers π for ω 2 H 3 (ω) er et ideelt HP-filter gitt ved H3( jω) = π for ω > 2 Finn et uttrykk for og skisser y (t), y 2 (t) og y 3 (t). 8

9 Oppgave 4 (6 %) a).2 Diskret sekvens x[n]).8 x[n] Figur 4. Diskret sekvens x[n] Den diskrete sekvensen x[n] i figur 4. skal analyseres for å finne en spektrumsrepresentasjon av x[n]. Hva er sekvensens periode? b) En fft-analyse i Matlab gir følgende resultat: X=fft(x(6:9),4) n X = 2. +.i. +.i. +.i. -.i Tegn opp amplitudespekteret og fasespekteret til x[n]. Angi aktuelle tallverdier for diskret vinkelfrekvens på aksen. c) Finn et funksjonsuttrykk for x[n]. Sett inn verdier for n og vis at resultatet stemmer med figur 4.. d) Anta at sekvensen x[n] har fremkommet med å punktprøve et analogt båndbegrenset signal med punksprøvingsfrekvens f s =2Hz. Anta ideell sampling. Finn et funksjonsuttrykk for det analoge signalet. 9

10 Oppgave 5 (2 %) Gitt et LTI-system som vist i figur 5.. x(t) h(t) y(t) Figur 5. Analogt LTI-system a) Systemet er spesifisert med h( t) = δ ( t ) +,5 δ ( t 2). På inngangen påtrykkes inngangssignalet x( t) = δ ( t). Skisser utgangssignalet y( t ). b) Det samme systemet påtrykkes nå inngangssignalet x(t) som vist i figur 5.2. Skisser utgangssignalet. Merk av karakteristiske størrelser på aksene. Figur 5.2 Inngangssignal x(t) c) Gitt et LTI-system som vist i figur 5.3. Systemet er spesifisert med h[ n] = δ[ n ] +,5 δ[ n 2]. På inngangen påtrykkes inngangssignalet x[ n] = δ[ n] + δ[ n ] + δ[ n 2]. Finn et uttrykk for og skisser utgangssignalet y[ n ]. x[n] h[n] y[n] Figur 5.3 Diskret LTI-system

11 Vedlegg

12 Vedlegg 2 Komplekse Fourierrekker: Analyse: T j2π fkt ak = x( t) e d t T = k= j2π Syntese: x( t) ak e f kt Diskret tid Fouriertransformasjon (frekvensresponsen til FIR-filter): M M j ˆ ω j ˆ ωk j ˆ ωk = k = k= k= H(e ) b e h[ k]e Diskret Fouriertransformasjon: N n= 2π k n -j N X[k] = x[n] e for k N Invers diskret Fouriertransformasjon: k= 2π k n j N N x[n] = X[k] e for n N N 2

13 Vedlegg 3-3

14 Vedlegg 4 FOURIERTRANSFORMASJONEN FOR ANALOGE OG DISKRETE SYSTEMER: For analoge LTI-system gjelder: t= H( j ω) = h(t) e dt = H( j ω) e t= jωt j H( j ω ) hvor H(jω) er systemets frekvensrespons og h(t) er systemets impulsrespons. S( j ω) = R(j ω) H(j ω) r(t) h(t) s(t) s(t) = r(t) h(t) = r( τ )h(t τ )dτ τ = R(jω) H(jω) S(jω) For sinusformede signal gjelder: r(t) = sin( ω t) s(t) = H( j ω ) sin( ω t + H( j ω )) For diskrete LTI-system gjelder: ( j ˆ ω j H e ) H e = h(n) e = H e e (DiskretTidFourierTransform) n= ( j ˆ ω ˆ ˆ ) j ω n ( j ω ) n= hvor H( e j ˆ ω ) er systemets frekvensrespons og h(n) er systemets enhetspulsrespons. j ˆ ω j ˆ ω j ˆ ω S(e ) = R(e ) H(e ) s(n) = r(n) h(n) = r(k)h(n k) k= r(n) h(n) s(n) For sinusformede sekvenser gjelder: r(n) = sin( ˆ ω n) s(n) = H(e ) sin( ˆ ω n + H(e )) j ˆ ω j ˆ ω 4

Like dokumenter

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Målform: Eksamensdato: 14.5.213 Varighet/eksamenstid: Emnekode: Emnenavn: 5 timer EDT24T Signalbehandling Klasse(r): 2EI 2EE Studiepoeng: 1 Faglærer(e):