Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning.

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning."

Ingvald Nilsen
7 år siden
Visninger:

Stavanger, 6. august 013 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE500 Signalbehandling, 013. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. Innhold 5.

1 Stavanger, 6. august 013 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE500 Signalbehandling, 013. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. Innhold 5.1 Implementering av IIR filter Filter gitt ved nullpunkt Filterdesign Sirkulær konvolusjon Diskret Fouriertransformasjon Løsningsforslag, øving Implementering av IIR filter Et tidsdiskret, lineært og kausalt system er gitt ved differanselikningen y(n) 3 4 y(n 1) y(n ) = x(n) + 1 x(n 1) 3 y(n) = x(n) x(n 1) y(n 1) 1 y(n ) 8 Karl Skretting, Institutt for data- og elektroteknikk (IDE), Universitetet i Stavanger (UiS), 4036 Stavanger. Sentralbord Direkte E-post: karl.skretting@uis.no.

2 Direkte form I: x(n) 1/3 y(n) 3/4 1/8 Direkte form II: x(n) 3/4 1/8 1/3 y(n) Kaskade med første-ordens seksjoner: Y (z)(1 3 4 z z ) = X(z)( z 1 ) H(z) = Y (z) X(z) = z z z Finner polene: (.grads ligning: z 3z + 1 = 0), 4 8 som gir p 1 = 1 og p 4 = 1, og vi har H(z) = ( z 1 ) (1 1 4 z 1 )(1 1 z 1 ) Faktorenes rekkefølge er likegyldig så en måte å implementere dette på er x(n) + + y(n) 1/4 1/3 1/

3 Parallell med første-ordens seksjoner: H(z) = Vi finner konstantene: ( z 1 ) (1 1 4 z 1 )(1 1 z 1 ) = A z 1 + A 1 1 z 1 A 1 = z z 1 =4 A 1 = 7/3 A = z z 1 = Dermed kan figuren her tegnes som: A = 10/3 H(z) = 7/3 10/ z z 1 x(n) 1/4 7/3 y(n) 1/ 10/3 5. Filter gitt ved nullpunkt Vi har et filter med alle poler i origo og følgende nullpunkt: z 1 = 1, z = 3 4 ej π 3, z 3 = 3 4 e j π 3 = z, z 4 = 4 3 ej π 3 = 1/z 3, z 5 = 4 3 e j π 3 = 1/z = z 4. a) Pol-nullpunkt plott lages i Matlab z1 = 1; z = (3/4)*exp(j*pi/3); z3 = conj(z); z4 = 1/z3; z5 = 1/z; zplane([z1 z z3 z4 z5], zeros(5,1)); % merk kolonnevektorer Alle poler i origo gir at dette er et FIR-filter. Det er et høypass-filter siden lave frekvenser blir dempet av nullpunktene, spesielt blir DC-komponent fjernet fordi det er et nullpunkt i 1. 3

4 b) Filteret har lineær fase fordi det er et FIR-filter og for alle nullpunkt er også punktet reflektert om enhetssirkelen et nullpunkt, altså z i et nullpunkt gir at også 1/zi er et nullpunkt. Ved doble eller triple (eller mer) nullpunkt må de kunne ordnes parvis slik at dette gjelder. Hvis nullpunktene også er slik at hvis z i et nullpunkt så er også zi (den konjungerte) et nullpunkt, da har filteret reelle koeffisienter. Ved doble eller triple (eller mer) nullpunkt må de kunne ordnes parvis slik at dette gjelder. Hvis det er poler (utenom 0) så må også disse parvis kunne ordnes som komplekskonjungerte par for å få reelle koeffisienter, men det blir da IIR-filter. c) Anitsymmetri betyr (når filteret har lengde 6, grad 5, slik som her): h(3) = h(), h(4) = h(1) og h(5) = h(0). x(n) 1 + h(0) h(1) h() y(n) + d) Ved å multiplisere sammen faktorer med komplekskonjungerte nullpunkt først så kommer en raskt til reelle koeffisienter og da får en så H(z) = (1 z 1 )(1 z )(1 z 3 )(1 z 4 )(1 z 5 ) H(z)z 5 = (z z 1 )(z z )(z z 3 )(z z 4 )(z z 5 ) = (z 1)(z 3 4 ejπ/3 )(z 3 4 e jπ/3 )(z 4 3 ejπ/3 )(z 4 3 e jπ/3 ) = (z 1)(z 3 4 (ejπ/3 + e jπ/3 )z )(z 4 3 (ejπ/3 + e jπ/3 )z ) = (z 1)(z 3 4 ( cos π/3)z )(z 4 16 ( cos π/3)z ) H(z)z 5 = (z 1)(z 3 4 z )(z 4 3 z ) 4

5 H(z)z 5 = (z 1)(z z )( 5 1 z + 1) H(z)z 5 = z z z z z 1 H(z) = z z z z 4 z 5 Matlab poly-kommandoen kan gi samme svar, eller en kan bruke conv for å konvolere polynomene med hverandre. z1 = 1; z = (3/4)*exp(j*pi/3); z3 = conj(z); z4 = 1/z3; z5 = 1/z; h = poly([z1 z z3 z4 z5]); h3 = conv([1 z],[1,z3]); h45 = conv([1 z4],[1,z5]); h345 = conv(h3, h45); h1345 = conv([1,-1], h345); 5.3 Filterdesign Bestem koeffisientene i et lineær fase FIR-filter der filterlengden er M = 4. Anta at en har symmetri (ikke antisymmetri) i koeffisientene. H r er den reelle funksjonen slik den er definert i likning i læreboka Den er reell, men kan bli negativ, og skrives som H r (ω) = M 1 h(n) cos(ω(n M 1 )) (1) Symmetri for FIR-filter med lengde M betyr at h(n) = h(m 1 n). Vi ønsker symmetrisk FIR med lengde M = 4 (gir lineær fase) og H r (0) = 1 og H r (π/))1/. En har for M partall og like symmetri at H(e jω M 1 jω ) = e M 1 M 1 h(n) cos(ω(n ) der fra og utover er H r. Her har vi kun to ledd og får for de to ønskede verdier. 1 H r (ω) = h(n) cos(ω(n 3 )) H r (0) = 1 gir h(0) cos(ω 3 1 ) + h(1) cos(ω ) h(0) cos(0) + h(1) cos(0) = 1 5

6 H r (π/) = 1/ gir h(0) + h(1) = 1/ h(0) cos( 3 4 h(0) 1 π) + h(1) cos( 1π) = 1/ h(1) = 1/ h(0) + h(1) = 1/ h(0) + h(1) = 1 4 Legges disse to ligningne sammen får en h(1) = h(1) = 1 8 ( + ) Fra første ligning har en h(0) = 1/ h(1) = 1 8 ( ) Dermed får vi {h(n)} = 1 8 {( ) ( + ) ( + ) ( )} 5.4 Sirkulær konvolusjon Gitt to diskrete firkantpulser { 1, 0 n N 1 x 1 (n) = x (n) = a) Vi har formelen for sirkulær konvolusjon (modulo N) som kan brukes direkte x 3 (n) = x 1 (n) N x (n) = k=0 x 1 (k)x (n k) N Vi ser at x (n k) N = x (n) = 1 for alle k og n = 0, 1,..., N 1. Det gir x 3 (n) = k=0 x 1 (k)1 = N, n = 0, 1,..., N 1 6

7 Altså { N, 0 n N 1 x 3 (n) = Eller vi kan gå via diskret Fourier transform (DFT) Vi tar DFT og får X 1 (k) = X (k) = = X 3 (k) = X 1 (k) X (k) x(n)e j π N kn, k = 0, 1,..., N 1 e j π N kn = (e j π N k ) n Her har vi sum av endelig geometrisk rekke med a som det inni parentesen, og summen er N når a = 1 og (1 a N )/(1 a) når a 1. Her har vi a = 1 når k = 0 og a 1 for de andre verdier av k, men alltid har en at a N = 1 og dermed { N, k = 0 X 1 (k) = X (k) = Dermed Med invers DFT får vi så X 3 (k) = X 1 (k) X (k) = x 3 (m) = 1 N k=0 Denne summen har kun bidrag for k = 0 { N, k = 0 X 3 (k)e j π N km, m = 0, 1,..., N 1 x 3 (m) = 1 N X 3(0)e j π N 0 = 1 N N e 0, m = 0, 1,..., N 1 { N, 0 m N 1 x 3 (m) = 7

8 b) x 1 (n) x (n) 1 n n x 3 (n) n Diskret Fouriertransformasjon Den diskrete Fouriertransformasjonen av et signal x(n) er gitt ved X(k) = a) Fouriertransformen er definert som X(e jω ) = x(n)e jωn, πkn j x(n)e N, k = 0,..., N 1 () n= π < ω π Merk at vi like godt kan definere område for ω som 0 ω < π, det viktige er at hele enhetssirkelen er med. Eller når x(n) er endelig med lengde N X(e jω ) = x(n)e jωn, π < ω π Sammenligner vi med DFT uttrykket ser vi at DFT representerer nøyaktige punktprøver (sampler) av den egentlige Fouriertransformen. Det tas N punktprøver med mellomrom π, altså N punkt jevnt fordelt på enhetssirkelen. N Til lengre x(n) er, altså til større N er, til tettere vil punktprøvene av Fouriertransformen være og DFT blir mer og mer lik den kontinuerlige (i ω) Fouriertransformen. 8

9 b) Zero-padding vil si å utvide en sekvens ved å fylle på med nullere etter at sekvensen er slutt. La x(n) være oppgitt for n [0, L 1], sekvensen kan utvides til lengde N > L ved a sette x(n) = 0 for L < N. Når man så beregner DFT over N punkt får man flere (tettere) punktprøver av Fouriertransformen i intervallet [0, π]. Dette gir gjerne et bedre (mer kontinuerlig) inntrykk av Fouriertransformen. En annen grunn er at vi ofte ønsker å gjøre en N-punkts DFT der N = m fordi en da kan bruke spesielt hurtige og beregningseffektive algoritmer, Fast Fourier Transform (FFT). Matlab eksempel x = [1/8, 0, -1/5, 1/3, /3, 1, /3, 1/3, -1/5, 0, 1/8]; X = fft(x); X64 = fft(x,64); 9

Like dokumenter

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning.

Stavanger,. oktober 3 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE5 Signalbehandling, 3. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. Innhold 4. Frekvensrespons for system.....................