DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk. Løsningsforslag Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp)

Transkript

1 DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Løsningsforslag Eksamen i MIK3, Systemidentifikasjon ( sp) Dato: torsdag 6 desember Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun standard enkel kalkulator, Citizen SR-7X, HP3S, Casio FX8 eller TI-3. Løsningsforslag Innhold Diskretisering av førsteordenssystem Estimering av en konstant 3 Forvarming av prosesstrøm 5 4 Blokkdiagram 7 5 ARMAX-modell 7

2 Diskretisering av førsteordenssystem (Antall poeng for denne oppgaven er 5).a (5 poeng) Her har en G(s) = y(s) u(s) = 3s + =.33 s (.) Setter dette inn i første formel på formelarket og får { h(z) = ( z )Z [L t=t (s +.33)s} k (.) På formelarket er det oppgitt to transformasjonspar og en kan da finne L{ e ct } = L{} L{e ct } = s c + s = c (s + c)s (.3) Vi setter inn c =.33 over og bruker T =.5 som gitt i oppgaven og får } h(z) = ( z )Z [{ e.33t t=.5k (.4) = ( z )(Z[ Z[e k/ ) (.5) ( = ( z ) z ) (.6) z e / = z ( e / ) = ( e / ) (.7) z e / z e /.599 = (.8) z.9 Estimering av en konstant (Antall poeng for denne oppgaven er 3) I denne oppgaven har en et Kalmanfilter i sin aller enkleste form. Dette er som del 3. i notat med utledning av Kalman-filter, og vi gjentar da det som står der her. En har nå ingen pådrag, prosessen er konstant og inneholder en tilstand (det er konstanten) som måles i hvert tidsssteg. Det er målestøy men ikke prosesstøy. Modellen er da x(k + ) = x(k) (.) y(k) = x(k) + w(k) (.)

3 En har D =, Φ =, E[w(k) =, og (R = R(), R(l) =) E[w(k+l)w T (k) = σ δ l. En starter ved tidssteg k = og måler da verdien y(). Nå settes initialverdiene for Kalman-filteret, naturlig nok velges ˆx() = y(), men ˆP () er kanskje litt vanskeligere å sette, det skal være kovariansmatrisa for (aposteriori) avviket, altså differansen mellom virkelig verdi og estimatet, dermed er det variansen for målefeilen som skal brukes ˆP () = σ. For neste tidssteg startes Kalman-filteret, for k = får vi fra ligningene gitt i siste del i oppgaven. x() = Φˆx() = ˆx() = y() (.3) P () = ˆP () = σ (.4) K() = σ (σ + σ ) = / (.5) ˆx() = x() + K()[y() Dx() (.6) = y() + y() + y() [y() y() = (.7) ˆP () = ( /) P () = σ (.8) og så for neste k, (k = ), får vi x() = ˆx() = (y() + y()) (.9) P () = ˆP () = σ (.) K() = σ ( σ + σ ) = / 3/ = 3 (.) ˆx() = x() + K()[y() Dx() (.) = (y() + y()) + ( y() + y() ) y() 3 (.3) = y() + y() + y() 3 y() 6 y() 6 (.4) y() + y() + y() = 3 (.5) ˆP () = ( /3) σ = 3 σ (.6) og så videre for en generell k ( ) har vi x(k) = ˆx(k ) (.7) P (k) = ˆP (k ) (.8) 3

4 K(k) = P (k)/(p (k) + σ ) = P (k) P (k) + σ (.9) ˆx(k) = x(k) + K(k)[y(k) Dx(k) (.) = ( K(k))x(k) + K(k)y(k) (.) = σ ˆx(k ) + P (k) y(k) (.) P (k) + σ P (k) + σ ˆP (k) = ( K(k))P (k) = σ P (k) P (k) + σ (.3) Med induksjon og utgangspunktet at ˆP (k) = σ vises at dette gjelder generelt. k+ for k = (og for k = ) så ˆP (k) = = σ P (k) P (k) + σ = σ ˆP (k ) ˆP (k ) + σ (.4) σ σ k σ k + σ = = σ k + Altså gjelder det for alle k. Vi får da for K(k) k σ4 k+ k σ (.5) (.6) og for ˆx(k) K(k) = P (k) P (k) + σ = k σ k σ + σ = k + (.7) ˆx(k) = ˆx(k ) + [y(k) ˆx(k ) = k ˆx(k ) + k + k + k + y(k) = k y(n), (.8) k + n= der også siste overgang kan vises med induksjon. Resultatet av Kalman-filter skulle ikke være overraskende ut fra det en ellers vet om estimering av en fast verdi ut fra flere likeverdige målinger. Det fine med Kalman-filter, både her og generelt, er at en kan beregne et estimat etter hver måling, og at estimatet er optimalt etter hver måling. 4

5 3 Forvarming av prosesstrøm (Antall poeng for denne oppgaven er 5+5 = 3) 3.a (5 poeng) Energibalansen for varmeelement. du = dt t m c p, T = m c p, T m c p, T = Q i ha(t T ) = hat + hat + Q i T = ha T + ha T + Q i m c p, m c p, m c p, T = α T + α T + Q i (3.) m c p, der α = ha m c p, Energibalansen for prosessmediet. du = dt t m c p, T = m c p, T m c p, T = F c p, (T i T ) + ha(t T ) T = = hat (F c p, + ha)t + F c p, T i ha T ( F + m c p, m ha m c p, )T + F m T i T = α T ( + α )T + T i (3.) der α = ha og = m m c p, F En kan legge merke til at tidskonstanten er så mange sekund det går for å skifte ut hele massen av prosessmediet. En setter x = [ T T [ T, ẋ = T [ Qi, u = T i (3.3) og får da kontinuerlig tilstandsrommodell, på ønsket form uten støyledd, som [ [ α α ẋ = α (α + ) m x + c p, u y = [ x + [ u. Matrisene er da A = [ α α α (α + ) D = [ E = [. B = [ m c p, 5

6 3.b (5 poeng) Euler-forover-diskretisering av en kontinuerlig tilstandsrommodell er i læreboka ligninger.9 og.9 side 5. En har da Φ = I + AT og Γ = BT der T er tidssteget. Den diskrete tilstandsrommodellen x(k + ) = Φx(k) + Γu(k) har da Φ = [ + [ α α α (α + ) og Γ = [ m c p, [ α T α T = T α T (α + )T [ m T = c p, T T Støyleddet Ωv(k), der en gjerne har valgt Ω = I og tilpasser variansene for v og v slik at de passer med prosessen, må være med for å ta hensyn til modellfeil og unøyaktigheter som skyldes at modellen er enklere enn virkeligheten. Det er ikke urimelig å tenke seg at inngangstemperaturen kan variere noe, at det kan være varmetap til omgivelsene, og at varmeoverføringen mellom element og mediet ikke er helt nøyaktig. Alle disse forholdene kan variere med tiden, ofte på en ukjent og uforutsigbar måte, og tas gjerne best med i modellen som støy. De her nevnte forhold påvirker hvor store variansene for v og v bør være, det er da ikke urimelig å anta at variansen for v bør være en del større enn variansen for v, alle de nevnte forhold påvirker x men kun ett påvirker x direkte. På den annen side, hvis m er mye større enn m så vil det gi større treghet for x og dermed behov for mindre varians på v. Hvis modellen skal brukes med Kalman-filter er Støyleddet Ωv(k) viktig, det brukes som viktigste tuningsparameter for estimatoren, og velges slik at estimatoren blir rask uten å virre for mye... 6

7 4 Blokkdiagram (Antall poeng for denne oppgaven er ) 4.a ( poeng) Ved å kalle signalet etter siste forsinkelseblokk for x(z) så har en at signalet mellom forsinkelseblokkene er zx(z) og signalet før første forsinkelseblokk er z x(z). Dermed får vi for første summering u(z) + ax(z) = z x(z) eller u(z) = (z a)x(z). For andre summering har vi bx(z) + zx(z) = y(z) eller y(z) = (z + b)x(z). Dermed får vi h(z) = y(z) u(z) = z + b z a = z + bz. (4.) az 5 ARMAX-modell (Antall poeng for denne oppgaven er = 5) En generell ARMAX-modell er gitt som Ay(z) = Bu(z) + Ce(z) (5.) der A, B og C er polynom i z (eller z ). Ay(z) er AR-leddet, Ce(z) er MAleddet og Bu(z) er X-leddet. ARMAX står for Auto-Regessive Moving Average with exogenous input. Gitt y(k) = a y(k ) a y(k ) + e(k) + c e(k ) (5.) y(k) = b u(k) + b u(k ) + e(k) + c e(k ) + c e(k ) (5.3) y(k) = a y(k ) a 3 y(k 3) + e(k) (5.4) 7

8 5.a (5 poeng). Modellen i ligning 5. har A-ledd og C-ledd og er dermed en ARMAmodell.. Modellen i ligning 5.3 har B-ledd og C-ledd og er dermed en ARMAXmodell, en tar med AR-del i navnet selv om det her ikke er med noen AR-ledd og det kanskje derfor er riktigere å kalle dette en MAX-modell. (begge forslag bør få full score). 3. Modellen i ligning 5.4 har kun A-ledd og er dermed en AR-modell. 5.b (5 poeng). Modellen i ligning 5. har orden.. Modellen i ligning 5.3 har orden, det er som sagt ikke med noen ARledd og det er disse som gir orden for modellen. 3. Modellen i ligning 5.4 har orden 3, A(z) blir et tredjegradspolynom og har dermed tre nullpunkt og modellen har dermed orden tre selv om det kun er to frie koeffisienter i polynomet. 5.c (5 poeng). For modellen i ligning 5. blir regressorvektoren φ T (k) = [ y(k ) y(k ) e(k ).. For modellen i ligning 5.3 blir regressorvektoren φ T (k) = [u(k) u(k ) e(k ) e(k ). 3. For modellen i ligning 5.4 blir regressorvektoren φ T (k) = [ y(k ) y(k 3). 8