Oppgave 1. X 1 B(n 1, p 1 ) X 2. Vi er interessert i forskjellen i andeler p 1 p 2, som vi estimerer med. p 1 p 2 = X 1. n 1 n 2.

Transkript

1 Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 17 november 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk Tapir forlag Oppgave 1 a Feilraten har endret seg fra 226% til 137% Vi ønsker å sette opp en hypotesetest for å teste om feilraten har endret seg etter treningsprogrammet Vi lar antall feil som gjøres før og etter treningsprogrammet betegnes med hhv X 1 og X 2, som vi antar er statistisk uavhengige og binomisk fordelt gitt ved X 1 B, p 1 og X 2 B, p 2 Vi er interessert i forskjellen i andeler p 1 p 2, som vi estimerer med Estimatorer: p 1 = X 1, p 2 = X 2 Egenskaper: E p 1 p 2 = E p 1 E p 2 = p 1 p 2 p 1 p 2 = X 1 X 2 Var p 1 p 2 = Var p 1 + Var p 2 = p 11 p 1 + p 21 p 2 p 1 og p 2 er begge tilnærmet normalfordelte og de er uavhengige Vi kan da slutte at også p 1 p 2 er tilnærmet normalfordelt Altså: p 1 p 2 p 1 p 2 p1 1 p 1 + p 21 p 2 N 0, 1, tilnærmet Nevneren standardavviket til p 1 p 2 kan tilnærmes med: p ŜD p 1 p 2 = 1 1 p 1 + p 21 p 2 1

2 Om vi har grunnlag for å hevde at p 1 p 2 er forskjellig fra 0 avgjøres ved å regne ut teststørrelsen: Z = p 1 p 2 p 1 p 2 N 0, 1 ŜD p 1 p 2 Hypotesetest for å teste om feilraten har endret seg etter treningen: Data: = 1781 og = 2706 H 0 : p 1 p 2 = 0 versus H 1 : p 1 p 2 0 Utfall av p 1 p 2 : = Utfall av ŜD p 1 p 2 : Z observert = = 74 = Den kritiske verdi for en normalfordelig er 196 for et 5% signifikans nivå Den observerte verdi er større enn den kritiske, hvilket betyr at vi forkaster nyllhypotesen på et 5% signifikansnivå Det er grunnlag i dataene til å hevde at feilraten har endret seg Men noen av dere er antagelig primært interesserte i å teste om treningen gir forbedring, dvs en ønsker å utføre den ensidige testen: H 0 : p 1 p 2 = 0 versus H 1 : p 1 p 2 > 0 Den kritiske verdi for en normalfordeling er 165 for et 5% signifikans nivå ved en ensidig hypotesetest Den observerte verdi er større enn den kritiske, hvilket betyr at vi forkaster nyllhypotesen på et 5% signifikansnivå Det er grunnlag i dataene til å hevde at feilraten har økt b Konfidensintervall: P L θ U = 1 α Intervallet L, U inneholder virkelig verdi til parameter θ med sannsynlighet 1 α Konfidensintervall for endringen i feilrate p 1 p 2 : Vi har: Medfører: Derfor: p 1 p 2 p 1 p 2 ŜD p 1 p 2 N 0, 1, P z α/2 p 1 p 2 p 1 p 2 ŜD p 1 p 2 L tilnærmet z α/2 1 α {}}{ P p 1 p 2 z α/2 ŜD p 1 p 2 p 1 p 2 p 1 p 2 + z α/2 ŜD p 1 p 2 }{{} U 2 1 α

3 Vi har altså at L, U er et tilnærmet 1 α100% konfidensintervall for differansen p 1 p 2 Kritisk verdi til hørende et 95% konfidensintervall α = 005 er z 005/2 = 196 Derfor, konfidensintervall: , = 007, 011 Vi ser at null ikke er inneholdt i konfidensintervallet Dette bekrefter vår påstand om å forkaste nullhypotesen i oppgave a på et 5% signifikansnivå Se lærebok og forelesningsnotater for tolkning av konfidensintervall Oppgave 2 a Vi lar Y ij betegne brussalget for sesong i, i = 1, 2, 3, der j indekser observasjonsnummer, j = 1, 2, 3, 4 Vi lar forventet salg for de tre sesongene betegnes med µ 1, µ 2 og µ 3 En naturlig modell for dette tilfellet vil være at forventet brussalg er normalfordelt med samme varians σ 2, men mulig ulik forventningsverdi for de tre sesongene: der E ij N 0, σ 2 for alle i og j Y ij = µ i + E ij, Ide bak en variansanalyse: se lærebok eller forelesningsnotater b Vi vil teste hypotesen om at forventet salg for de tre sesongene er like eller om minst en forventing er forskjellig: H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 versus H 1 : minst en µ i forskjellig Her er det naturlig å bruke en variansanalyse Testobservator: F = SSA 3 1 SSE 12 3 = MSA MSE = 249 Forkaster H 0 dersom observert F er større en kritisk verdi F 2,9 = 426 på 5% signifikans nivå Vi kan derfor ikke forkaste nullhypotesen og konkludere med at forventet salg er ulik for de tre sesongene c Vi har antatt at residualene E ij er normalfordelt med forventing 0 og lik varians σ 2, der E ij N 0, σ 2 for alle i og j Estimator for residualene: Êij = Y ij µ i Plot av de estimerte residualene for hver av sesongene: 3

4 60,0 40,0 Estimert residual 20,0 0,0-20,0-40,0-60,0 Vinter Sommer Høst 4

5 Oppgave 3 a Regresjonsmodell: Y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + β 3 x 3i + ɛ i, for blokk i, i = 1,, 10, der Y i er antall utleide hybler i blokk i, og x 1i, x 2i, og x 1i er hhv tilhørende leiepris, reklameutgifter, og avstand til universitetet Feilleddene ɛ i antas altså å være normalfordelt med forventing null og konstant varians, ɛ i N 0, σ 2 I tillegg antar en at feilleddene er uavhenginge random error Den estimerte regresjonsmodellen: Ŷ = x x 2 578x 3 Forventet andel utleid for en blokk med leiepris 400 pund, reklameutgifter 20 pund, og avstand til universitetet på 10 miles: Ŷ = = b Forventet antall hybler utleid i en boligblokk som ligger 10 miles fra Universitetet, hvis blokka øker leieprisen med 50 pund og reklameutgiftene med 5 pund: Ŷ = = 27, Økningen av leiepris og reklameutgifter fører til en reduksjon i forventet antall hybler utleid med fem hybler hvis alt annet holdes konstant c Har forklaringsvariablene i modellen samlet sett innflytelse på antall hybler utleid i en boligblokk? Formuler dette som en hypotesetest og utfør testen på 5% signifikansnivå Vi kan teste om forklaringsvariablene i modellen samlet sett innflytelse på forventet antall hybler utleid i en boligblokk ved hjelp av ANOVA tabellen Se kapittel 124 side 457 i læreboka Dette testes ved om en signifikant andel av variasjonen forklares av regresjonen i forhold til hva støyleddet forklarer Hypotesetest H 0 : β 1 = β 2 = β 3 = 0 versus H 1 : minst en beta er forskjellig ANOVA involverer en F-test der nullhypotesen forkastes dersom F = SSR/k SSE/n k + 1 = MSR MSE f α,k,n k+1 Oppgitt ANOVA-tabell gir oss F observert = 759 og en tilhørende p-verdi = 00182, hvilket betyr at vi forkaster nullhypotesen på et 5% signifikansnivå og konkluderer med at regresjonen er forskjellig fra en konstant og at minst en av stigningskoeffisientene slope parameters er av statistisk betydning på antall utleide hybler Tester om parameteren tilhørende leiepris er forskjellig fra null 5

6 H 0 : β 1 = 0 versus H 1 : β 1 0 T observert = = Vi ser av utskriften at den tilhørende p-verdien er større enn 005 Vi kan derfor ikke forkaste H 0 og konkludere med at β 1 er signifikant forskjellig fra null på 5% signifikans nivå d Residualene er definert ved for alle i, og estimeres ved ɛ i = Y i EY i = Y i β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + β 3 x 3i, ˆɛ i = Y i Ŷi = Y i ˆβ 0 + ˆβ 1 x 1i + ˆβ 2 x 2i + ˆβ 3 x 3i Residualet er altså definert som differansen mellom observert og predikert verdi Residualet for en boligblokk som har observert antall utleide hybler på 70, leiepris 400 pund, reklameutgifter 20 pund, og avstand 10 miles til universitetet kan estimeres ved ˆɛ = = = 3785 Hvilke plott en bør lage av residualene og hvilke antakelser kan en da sjekke er forklart side i kapittel 1110 i læreboka e Still opp regresjonsmodellen i a på matriseform På matriseform: Y = Xβ + E, der Y = Y 1 Y n, X = Y 1 = β 0 + β 1 x 11 + β 2 x 21 + β 3 x 31 + ɛ 1 Y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + β 3 x 3i + ɛ i Y n = β 0 + β 1 x 1n + β 2 x 2n + β 3 x 3n + ɛ n 1 x 11 x 21 x 31 1 x 1n x 2n x 3n, β = β 0 β 1 β 2 β 3 og E = f Prediksjonsintervall: Vi ønsker et intervall som er slik at utfallet av en ny tilfeldig variabel Y 0 gitt x 0 faller i intervallet med sannsynlighet 1 α Estimator: Ŷ0 = β 0 + β 1 x 10 + β 2 x 20 + β 3 x 30 = µ Y x0 Vi betrakter Ŷ0 Y 0 = µ Y x0 Y 0 Egenskaper: 6 ɛ 1 ɛ 2 ɛ 3

7 E µ Y x0 Y 0 = 0 og Var µ Y x0 Y 0 = σ x T 0 C x 0 Det kan vises at: µ Y x0 Y 0 S x T 0 C x 0 tn k 1 En kan da vise at et 95% prediksjonsintervall for en fremtidig observert Y 0 er gitt ved se kapittel 125 i læreboka µ Y x0 t 005/2,n k 1 S x T 0 C x 0, µ Y x0 + t 005,n k 1 S x T 0 C x 0 Vi setter inn for µ Y x0 utrykket ovenfor = 3215, x T 0 Cx 0 = 0412, n = 10, k = 3 og t 0025, i , og får et 95% prediksjonsintervall gitt ved 546,