MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 1) Oppgaver fra boka: n + (x 0 x) 2 1. n + (x 0 x) 1 2 ) = 1 γ

Transkript

1 MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 1) Oppgaver fra boka: Oppgave (11.27, 11.6:13) Modell: Y i = α + βx i + ε i der ε 1,..., ε n u.i.f. N(0, σ 2 ). Skal nne kondensintervall for forventa mengde konvertert sukker ved temperatur x 0 = 1.6, dvs nne kondensintervall for µ Y x0 = α + βx 0. Estimator: ˆµ Y x0 = A + Bx 0 E(ˆµ Y x0 ) = E(A) + E(B)x 0 = α + βx 0 = µ Y x0 Var(ˆµ Y x0 ) = Var(A + Bx 0 ) = Var(Ȳ B x + Bx 0) = Var(Ȳ + B(x 0 x)) uavh = Var(Ȳ ) + (x 0 x) 2 Var(B) = σ2 n + (x 0 x) 2 σ2 T = ˆµ Y x0 µ Y x0 S 1 n + (x 0 x) 2 1 t n 2 Merk, n 2 frihetsgrader p.g.a. vi nå har en modell med to parametre i forventingsverdien. P ( t γ/2,n 2 T t γ/2,n 2 ) = 1 γ P ( t γ/2,n 2 ˆµ Y x0 µ Y x0 S 1 + (x t γ/2,n 2 ) = 1 γ n 0 x) 2 1 Tallsvar:. 1 P (ˆµ Y x0 t γ/2,n 2 S n + (x 0 x) 1 2 µ Y x0 1 ˆµ Y x0 + t γ/2,n 2 S n + (x 0 x) 1 2 ) = 1 γ Fra tidligere oppgaver har vi at a = og b = 1.809, dvs ˆµ Y 1.6 = a + b 1.6 = = 9.31, fra 11.6:5 har vi at s = 0.40 = og = 1.1, og videre blir (x 0 x) 2 = ( ) 2 = 0.01 og t 0.025,9 = Dvs et 95% kondensintervall for µ Y 1.6 er gitt ved: [ , ] = [8.86, 9.76] Vi går nå videre og nner prediksjonsintervall for mengden konvertert sukker i ett forsøk ved x 0 = 1.6, dvs nner prediksjonsintervall for Y 0 = α + βx 0 + ε. Tar utgangspunkt i: ˆµ Y x0 Y 0 E(ˆµ Y x0 Y 0 ) = E(A + Bx 0 ) E(Y 0 ) = α + βx 0 (α + βx 0 ) = 0 Var(ˆµ Y x0 Y 0 ) uavh = Var(ˆµ Y x0 ) + Var(Y 0 ) = σ2 n + (x 0 x) 2 σ2 + σ 2 T = ˆµ Y x0 Y 0 S n + (x 0 x) 2 1 t n 2

2 MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 2) P ( t γ/2,n 2 T t γ/2,n 2 ) = 1 γ P ( t γ/2,n 2 ˆµ Y x0 Y 0 S (x t γ/2,n 2 ) = 1 γ n 0 x) 2 1 Tallsvar:. P (ˆµ Y x0 t γ/2,n 2 S n + (x 0 x) 1 2 Y 0 ˆµ Y x0 + t γ/2,n 2 S n + (x 0 x) 1 2 ) = 1 γ Innsatt samme tall som over gir dette følgende 95% prediksjonsintervall for Y 0 : [ , ] = [7.81, 10.81] Oppgave a) La estimert regresjonslinje være ŷ = bx. Minste kvadratsumsestimat for β er det estimatet b som minimerer: SSE = (y i ŷ i ) 2 = (y i bx i ) 2 SSE b = 2(y i bx i )( x i ) = 0 y i x i b = 0 n b = n Dvs.: b = n n er minstekvadratersestimatet av β i når vi legger modellen uten konstantledd til grunn. Dermed er minstekvadraters estimatoren for β: β = n x i Y i n x 2. i b) Var( β ) ( n = Var x i Y ) ( i 1 n = x 2 n i = ( 1 n ) 2 n ) 2Var( n σ 2 = σ2 n ( n ) 2 = σ2 n x i Y i ) = ( 1 n ) n 2 Var(Y i) Husk at Var(Y i ) = Var(βx i + ϵ i ) = σ 2.

3 MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 3) c) E( β ) ( n = E x i Y ) i 1 n = x 2 n E( x i Y i ) = i = 1 n Husk at E(Y i ) = E(βx i + ϵ i ) = βx i. x i βx i = β n n = β 1 n x i E(Y i ) Oppgave (11.35, 11.9:1) Modell: Y i = βx i + ε i (dvs α = 0) a) La estimert regresjonslinje være ŷ = bx. Minste kvadratsumsestimat for β er det estimatet b som minimerer: SSE = (y i ŷ i ) 2 = (y i bx i ) 2 SSE b = 2(y i bx i )( x i ) = 0 y i x i b = 0 n b = n Dvs.: b = grunn. n n er minstekvadratersestimatet av β i når vi legger modellen uten konstantledd til Data: b = 6 6 = = dvs. regresjonslinjen er: ŷ = 2.003x b) Vi tenker at vi ikke vet om α er null eller ei. Vi legger da modellen Y i = α + βx i + ϵ i til grunn, estimerer denne og tester H 0 : α = 0 mot H 1 : α 0. Nå er estimatoren for β: β = S xy = 6 (x i x)y i 6 (x i x) 2. Utskrift fra regresjonsanalyse med denne modellen: Koeffisienter Standardfeil t Stat P verdi Nederste 95% Øverste 95% Skjæringspunkt 0,349 0,253 1,378 0,240 0,354 1,053 X variabel 1 1,929 0,062 30,871 0,000 1,755 2,102

4 MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 4) Estimert regresjonslinje: ŷ i = x i. Skjæringspunktet/konstantleddet (α) er estimert til Dette har en p-verdi på 0.24 > 0.10; konklusjonen blir: behold H 0, dataene gir ikke grunn til å hevde at konstantleddet er ulik null. Oppgave (11.38, 11.9:4) Vi skal teste H 0 : β = 0 mot H 1 : β 0 i modellen Y i = α + βx i + ε i ved bruk av variansanlyse. Vi har da at vi forkaster H 0 dersom F = Dvs på 5% nivå dersom F f 0.05,1,9 = SSR/1 SSE/(n 2) = MSR MSE f γ,1,n 2 Denne oppgaven er det aller lettest å løse ved å bruke Excel til å regne ut variansanalysetabellen, men den er også fullt mulig å gjøre for hånd (se under). Se Excel-utskriften (som du nner på Excel-sidene til faget). Se i løsningsforslaget til forrige øving hvordan datautskriften til en regresjonsmodell skal tolkes. Ut fra plottet over sammenhørende verdier av temperatur og sukker ser det ut for å være en sammenheng mellom det to variablene. Fra datautskriften ( F under ) har vi at f obs = 9.00, dvs vi forkaster H 0. Alternativt kunne vi gått direkte inn i datautskriften og lest ut p-verdien for testen Signifikans-F. Vi ser at testen har p-verdi=0.015 som er lavere enn 0.05, dvs vi forkaster H 0 på 5% nivå. Det er også fullt mulig å regne ut de nødvendige kvadratsummene SSE = n (Y i Ŷi) 2 og SSR = n (Ŷi Ȳ )2 for hånd. I oppgave 11.6:5 på forrige øving regnet vi ut at SSE = 11 (y i ŷ i ) 2 = 11 e 2 i = 3.60 og en tilsvarende utregning gir at SSR = 11 (ŷ i ȳ) 2 = 11 ( x i 9.127) 2 = 3.60 (ved en tilfeldighet samme som SSE) der ŷ i og ȳ ble regnet ut i oppgave 11.3:3 på forrige øving. Vi får da at f obs = dvs vi forkaster H 0 på 5% nivå. SSR/1 SSE/(11 2) = 3.60/1 3.60/9 = 9.00 > f 0.05,1,9 = 5.12,

5 MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 5) Oppgave O Time Multippel R 0,81 R kvadrat 0,66 Justert R kvadrat 0,64 Standardfeil 3,49 Observasjoner 24 fg SK GK F Signifkans F Regresjon 1 520, ,873 42,685 0,000 Residualer ,457 12,203 Totalt ,330 Koeffisienter Standardfeil t Stat P verdi Nederste 95% Øverste 95% Skjæringspunkt 90,890 6,533 13,912 0,000 77, ,439 X variabel 1 0,051 0,008 6,533 0,000 0,068 0,035 a) Modell: Y i = α + βx i + ϵ i, ϵ i 'ene N(0, σ 2 ), u.i.f. Fra utskriften: Estimat av α: 90.89; Estimat av β: ; Estimat av σ 2 : b) Utfall av teststørrelse kan leses av utskriften: ; dette har en p-verdi som er mindre enn , og det vil si forkast H 0 ; det å løpe to mile har en signikant eekt på oksygenopptaket. c) Residual: e i = y i ŷ i = y i ( x i ), i = 1, 2,..., 24. Plott i guren til høyre; det kan se ut som om det er mindre spredning for tid omkring 900, Residualplott men det er ikke så mye data og det er vanskelig å si noe denitivt. Man kunne etterspurt fagfolk (på trening, O2-opptak) om det kan være grunner for slike eekter. Det er også en tendens til usymmetri i fordelingen av residualene: en del store positive avvik, men ikke så store negative. Normalfordelingen som for- residual utsettes for residualene, er jo symmetrisk, Time og derfor kan også dette være et problem. Dette siste punktet kan være av mindre betydning siden vi h ar så mye som 24 målinger. Ellers får man betrakte plottet av residualene som tilfredsstillende.

6 MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 6) Med alle re x-variable i modellen: Regression Statistics Multiple R 0,5494 R Square 0,3019 Adjusted R Square 0,2904 Standard Error 0,8582 Observations 248 Oppgave 1 ANOVA df SS MS F Signicance F Regression 4 77, , ,2692 0,0000 Residual ,9567 0,7364 Total ,3403 Coecients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept 5,6324 1,5136 3,7212 0,0002 2,6509 8,6138 alder 0,0290 0,0033 8,8948 0,0000 0,0226 0,0354 kjønn -0,0383 0,1587-0,2412 0,8096-0,3508 0,2742 høyde -0,0147 0,0092-1,6015 0,1106-0,0329 0,0034 vekt 0,0105 0,0056 1,8877 0,0603-0,0005 0,0215 Med kun alder: Multippel R 0,5360 R-kvadrat 0,2873 Justert R-kvadrat 0,2844 Standardfeil 0,8618 Observasjoner 248 Regresjon 1 73, , ,1471 0,0000 Residualer ,7039 0,7427 Totalt ,3403 Koesienter Standardfeil t-stat P-verdi Nederste 95% Øverste 95% Skjæringspunkt 3,7638 0, ,6141 0,0000 3,4626 4,0650 alder 0,0306 0,0031 9,9573 0,0000 0,0245 0,0366

7 MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 7) Med kun kjønn: Multippel R 0,0227 R-kvadrat 0,0005 Justert R-kvadrat -0,0035 Standardfeil 1,0205 Observasjoner 248 Regresjon 1 0,1316 0,1316 0,1264 0,7225 Residualer ,2087 1,0415 Totalt ,3403 Koesienter Standardfeil t-stat P-verdi Nederste 95% Øverste 95% Skjæringspunkt 5,2089 0, ,3767 0,0000 5,0269 5,3909 kjønn -0,0461 0,1296-0,3555 0,7225-0,3014 0,2092 Med kun høyde: Multippel R 0,1881 R-kvadrat 0,0354 Justert R-kvadrat 0,0314 Standardfeil 1,0026 Observasjoner 248 Regresjon 1 9,0668 9,0668 9,0201 0,0029 Residualer ,2735 1,0052 Totalt ,3403 Koesienter Standardfeil t-stat P-verdi Nederste 95% Øverste 95% Skjæringspunkt 8,8415 1,2190 7,2533 0,0000 6, ,2424 høyde -0,0212 0,0071-3,0034 0,0029-0,0351-0,0073 Med kun vekt:

8 MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 8) Multippel R 0,0348 R-kvadrat 0,0012 Justert R-kvadrat -0,0028 Standardfeil 1,0202 Observasjoner 248 Regresjon 1 0,3106 0,3106 0,2984 0,5854 Residualer ,0297 1,0408 Totalt ,3403 Koesienter Standardfeil t-stat P-verdi Nederste 95% Øverste 95% Skjæringspunkt 4,9801 0, ,0507 0,0000 4,2285 5,7317 vekt 0,0028 0,0052 0,5463 0,5854-0,0074 0,0130