Oppgave 1. og t α/2,n 1 = 2.262, så er et 95% konfidensintervall for µ D (se kap 9.9 i læreboka): = ( 0.12, 3.32).

Transkript

1 Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 16. november 2009 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk (Tapir forlag) Oppgave 1 a) Vi skal utlede et 95% konfidensintervall for endringen i forventet motoreffekt med og uten tilsetnings-stoffet. Siden motoreffekten er målt på samme bil med og uten et tilsetningsstoff, vil det være mest effektivt å gjøre analysene etter parplanen. Ved parvise sammenligninger så analyseres differansene d 1,..., d n mellom motorkraft med og uten tilsetningsstoffet. Disse n = 10 differansemålingene betraktes som utfall av n u.i.f. tilfeldige variable: D 1,..., D n. En antar at D i er normalfordelt med forventning E(D i ) = µ D og varians Var(D i ) = σ 2 D, for alle i = 1,..., n. Variansen σ 2 D er ukjent og må estimeres fra dataene. Siden T = D µ D S 2Dn t(n 1), og t α/2,n 1 = 2.262, så er et 95% konfidensintervall for µ D (se kap 9.9 i læreboka): (D t α/2,n 1 S 2 Dn, D + t α/2,n 1 S 2 Dn ) ( ) = , = ( 0.12, 3.32). Siden konfidensintervallet inneholder 0 så vil en ikke kunne konkludere at forskjellen i forventet motoreffekt med og uten tilsetningsstoffet er signifikant forskjellig på et 5% signifikansnivå. 1

2 a) Regresjonsmodell: Oppgave 2 y i = β 0 + β 1 x i + ɛ i, for alle i, i = 1,..., n, der y i og x i er h.h.v. total kostnad og total mendge i uke i. Feilleddene ɛ i antas altså å være normalfordelt med forventing null og konstant varians, ɛ i N (0, σ 2 ). En antar også at feilleddene er uavhenginge (random error). b) Skriv ned den estimerte regresjonsmodellen. Den estimerte regresjonsmodellen: ŷ = x Forventet total kostnad for en uke der total mengde produsert var 1000 enheter: ŷ = x = = c) Et 95% konfidensintervall for forventet respons µ Y x0 er gitt ved ŷ 0 t 0.025,n 2 S 2 { 1 n + (x 0 x) 2 S xx } < µ Y x0 < ŷ 0 + t 0.025,n 2 S 2 { 1 n + (x 0 x) 2 Et 95% konfidensintervall for estimert total kostnad for en uke der total mengde produsert var 1000 enheter blir da: Vi setter inn for ŷ 0 = , S xx = 98495, x = , n = 20 og t 0.025,n 2 = i formleme for konfidensintervall ovenfor og får intervallet ( , ). d) Estimert regresjonsmodell: ŷ = x x x x 4 Vi kan teste om forklaringsvariablene i modellen samlet sett innflytelse på total kostnad ved hjelp av ANOVA tabellen (Se kapittel 12.4 side 457 i læreboka). Dette testes ved om en signifikant andel av variasjonen forklares av regresjonen i forhold til hva støyleddet forklarer. Hypotesetest H 0 : β 1 = β 2 = β 3 = β 4 = 0 versus H 1 : minst en er forskjellig ANOVA involverer en F-test der nullhypotesen forkastes dersom SSR/k SSE/(n (k + 1)) = MSR MSE f α,k,n (k+1). Oppgitt ANOVA-tabell gir oss F observert = hvilket er meget større enn den kritiske verdi. Vi forkaster derfor nullhypotesen på et 5% signifikansnivå og konkluderer med at regresjonen er forskjellig fra en konstant og at minst en av stigningskoeffisientene (slope parameters) er av statistisk betydning. En vil komme til samme konklusjon om en i stedet ser på p-verdien. 2 S xx },

3 e) Den estimerte parameteren for Medium β 2 er , hvilket betyr at en øknig i produksjonen av Medium madrasser øker totale kostnader per uke med hvis alt annet holdes konstant. Tester om parameteren β 2 tilhørende Medium er forskjellig fra null H 0 : β 2 = 0 versus H 1 : β 2 0 T observert = = Vi ser også av utskriften at p-verdien er mindre enn Vi forkaster dermed H 0 og konkluderer med at β 1 er signifikant forskjellig fra null på 5% signifikans nivå. f) Vi vil vise at β er en forventingsrett estimator for parametervektoren β i en multippel regresjonsanalyse, der β = (X T X) 1 X T Y. I en multippel regresjonsmodell er E(Y) = E(Xβ + E) = Xβ. Vi får da E( β) ( ) = E (X T X) 1 X T Y = (X T X) 1 X T E(Y) = (X T X) 1 X T Xβ = (X T X) 1 (X T X)β = β Quod erat demonstrandum. Oppgave 3 a) ANOVA-tabellen ser slik ut: VARIANSANALYSE Variasjonskilde SK (SS) fg (df) GK (MS) F Fargestoff (Mellom grupper) 1.79 (SSA) Feil (Innenfor grupper) 3.35 (SSE) Totalt 5.14 (SST) 15 De engelske forkortelsene er satt i parantes. b) En naturlig modell for dette tilfellet vil være at brenntiden er normalfordelte med samme varians σ 2, men mulig ulik forventningsverdi for de fire fargestoffene. Y ij = µ i + E ij, der E ij N (0, σ 2 ) for alle fargestoff i = 1, 2, 3, 4 og forsøk j = 1, 2, 3, 4. 3

4 c) Sett opp og utfør en test for om forventet brenntid for de 4 fargestoffene er ulik: Vi tester hypotesen H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 versus H 1 : minst en forskjellig Her er det naturlig å bruke en variansanalysetest. Testobservator SSA 4 1 SSE 15 3 = MSA MSE = 2.14 Forkaster H 0 dersom observert F er større en kritisk verdi F 3,12 = 3.49 på 5% signifikans nivå. Dette gir ikke forkastning av nullhypotesen. Vi ikke konkludere med at minst en av fargestoffene har ulik forventet brennetid. d) Tofaktor ANOVA modell for dette forsøket: Y ijk = µ + α i + β j + (αβ) ij + ɛ ijk, der Y ijk = er brenntid i forsøk nr. k, med fargestoff nr. i og værtype j. Feilleddet ɛ ijk antas å være normalfordelt med forventning 0 og varians σ 2. Bibetingelser i modellen er α 1 + α α a = 0, β 1 + β β b = 0, (αβ) 1j + (αβ) 2j + + (αβ) aj = 0 og (αβ) i1 + (αβ) i2 + + (αβ) ib = 0, der a = 4 og b = 2. e) Vi bruker variansanalysetabellen til å teste på 5% signifikansnivå (se kap. 14 i læreboka): 1. Er forventet brenntid for de 4 fargestoffene er ulik nå når vi har kontrollert for temperatur i variansanalysen. Hypotesetest for faktor A (fargestoff): H 0 : α 1 = α 2 = = α a = 0 mot H 1 : minst én α i 0 Vi forkaster nullhypotesen dersom SSA/(a 1) SSE/ab(n 1) = MSA MSE f α,a 1,ab(n 1). Hypotesetesten på om fargestoff har betydning for brennetid ga en F-observert på hvilket er større enn kritisk verdi på 5% nivå f 0.05,3,8 = Vi kan derfor forkaste nullhypotesen på et 5% signifikansnivå og konkludere med at fargestoff har betydning for brenntid når en har korrigert for temperatur i to-faktorforsøket. 2. Har temeraturen betydning for brenntid Hypotesetest for Faktor B (temperatur): H 0 : β 1 = β 2 = = β b = 0 mot H 1 : minst én β j 0 Hypotesetesten på om temperatur har betydning for brenntid ga en p-verdi som er mindre enn Vi kan derfor forkaste nullhypotesen på et 5% signifikansnivå og konkludere med at temperatur (værtype) har betydning for brenntid. 3. Om der er samspill mellom fargestoff og temperatur 4

5 Hypotesetest for samspillseffekt: H 0 : (αβ) 11 = = (αβ) ab = 0 mot H 1 : minst én (αβ) ij 0 Hypotesetesten på om der samspill mellom fargestoff og temperatur ga en p-verdi på Siden p-verdien er større enn 0.05 kan vi ikke forkaste nullhypotesen på et 5% signifikansnivå og konkludere med samspilleffekt. 5