Eksamen i : STA-1002 Statistikk og. Eksamensdato : 26. september Sted : Administrasjonsbygget. Tillatte hjelpemidler : - Godkjent kalkulator

Transkript

1 Side 1 av 11 sider EKSAMENSOPPGAVE I STA-1002 Eksamen i : STA-1002 Statistikk og sannsynlighet 2 Eksamensdato : 26. september Tid : Sted : Administrasjonsbygget. Tillatte hjelpemidler : - Godkjent kalkulator - Tabeller og formler i statistikk (Kvaløy & Tjelmeland) - To ark (fire sider) egne notat. Oppgavesettet er på 10 sider ekskl. forside Kontaktperson under eksamen : Georg Elvebakk Telefon: FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI Universitetet i Tromsø

2 OBS: Om ikke anna er spesifisert skal signifikansnivået i tester være 5%. Deloppgavene vil telle likt ved vurderinga. R-utskrifter, tabeller etc. til oppgavene står bak i oppgavesettet. Oppgave 1 I et pilspill blir piler kasta mot ei sirkelforma skive, der målet er å treffe nærmest mulig midten av skiva. Vi kaller avstanden fra piltreffpunktet til midten av skiva for R. Vi har at tetthetsfunksjone er gitt ved: f R (r) = r r 2 σ 2 e 2 σ 2, r > 0. En god pilkatser har en lav verdi for variansen σ 2. Kari er en ivrig pilkaster og vil gjerne finne ut hva hennes verdi er. Hun noterer derfor ned resultatet for avstanden fra midten for n = 15 kast (i cm). Disse antar hun er et tilfeldig utvalg fra fordelinga. Kast, i Avstand, r Her kan du bruke at 15 i=1 r i = 81.9 og 15 i=1 r2 i = a) Vis at forventninga til R blir σ π 2. (Hint: gammafunksjonen.) Vis at variansen til R blir 2σ 2 (1 π 4 ). I staden for å basere oss på observasjonene r vil vi fra nå av bruke kvadrerte observasjoner r 2. b) Finn fordelinga til R 2 (tetthetsfunksjon eller kumulativ fordelingsfunksjon). Hva slags fordelingstype er dette? Bruk momentmetoden til å finne en estimator for σ 2 basert på de kvadrerte dataene. Sett inn de oppgitte talla og finn et estimat. Kari vil også gjerne ha et konfidensintervall for parameteren σ 2. c) Utled et 95%-konfidensintervall for σ 2 basert på momentestimatoren. Bruk de oppgitte talla til å rekne ut intervallgrensene. (Hint: Du kan bruke oppgitte kvantiler fra standard-gammafordeling (β = 1) som står bak i oppgavesettet.) 2

3 Oppgave 2 I denne oppgava skal vi se på data fra et eksperiment som undersøker hva som påvirker prisen en bruktbilhandler tilbyr å kjøpe bilen din for. 36 forsøkspersoner prøvde å selge en bestemt bil. Disse er splitta opp etter kjønn (to nivåer) og alder (3 nivåer: ung, middels, gammel), slik at det er 6 personer i hver gruppe. Responsvariablen, Y ijk er prisen (i 100 dollar) de blei tilbudt. Her er i = 1, 2 (kjønn), j = 1, 2, 3 (alder) og k = 1,..., 6. Gjennomsnittet for hver faktorkombinasjon er også oppgitt. Ung Middels Gammel Mann Gj.snitt: Kvinne Gj.snitt: a) Sett opp en full modell med forutsetninger for dette forsøket og forklar hva elementene i modellen representerer. Forklar hva et eventuelt samspill mellom de to faktorene betyr i praksis, og lag et plott for å avdekke samspill. Skriv opp uttrykket for SS E og finn et estimat for σ 2. Sett opp og utfør tester for effekten av de to faktorene og samspillet mellom dem. Anta nå at vi konkludere at faktoren kjoenn og samspillet mellom kjoenn og alder er uten betydning. Vi står da bare igjen med faktoren alder. Responsvariablen er Y ij der er i = 1, 2, 3 (alder) og j = 1,..., 12. Ung Middels Gammel Gj.snitt: y 1 = y 2 = y 3 = j=1 (y 1j y 1 ) 2 12 = 33.00, j=1 (y 2j y 2 ) 2 = 18.25, 3 12 i=1 j=1 (y ij y ) 2 = j=1 (y 3j y 3 ) 2 =

4 b) Skriv opp den nye modellen med forutsetninger. Finn de tre kvadratsummenene i oppsplittinga SS T = SS A + SS E. Forklar sammenhengen med kvadratsummene for modellen i spørsmål a). Sett opp og utfør en test for om variansen er ulik for de tre aldersgruppene. Sett opp og utfør en test for om det er signifikant forskjell på forventningsverdiene for aldersgruppene. I hvilken rekkefølge bør testene utføres? Til slutt vil vi undersøke nærmere hvordan forventningsverdiene for aldersgruppene skiller seg fra hverandre. c) Ut fra teorier om hvilke(n) aldergruppe(r) bruktilhandlerne antar har best greie på bilens reelle verdi vil vi splitte opp i to tester: 1. Er aldersgruppe 2 ulik de to andre? 2. Er aldersgruppe 1 ulik gruppe 3? Utfør testene og oppsummer en total konklusjon for forsøket. 4

5 Oppgave 3 Vi skal se på data fra en undersøkelse om pasienter som gjennomgår en leveroperasjon. Vi her data fra 17 tilfeldig valgte pasienter om hvor lenge de levde (i dager) etter operasjonen (respons) og 8 ulike forklaringsvariabler: Y lny X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 Overlevelsestid. Logaritmen av overlevelsestid. Indeks for blodpropp. Prognostisk indeks. Ensymfunksjonmål. Leverfunksjonsmål. Alder. Indikator for kjønn (0 = mann). Indikator for moderat alkoholforbruk (0= ikke moderat). Indikator for høgt alkoholforbruk (0 = ikke høgt). Vi velger å bruke logaritmen av Y, lny som responsvariabel i heile denne oppgava. a) Her vil vi først sette opp en lineær regresjonsmodell for lny som funksjon av alle forklaringsvariablene. Skriv opp denne modellen med forutsetninger og finn den estimerte regresjonsmodellen fra utskriftene. Om den lineære modellen stemmer hvordan var den opprinnelige sammenhengen mellom Y og forklaringsvariablene? I utskriftene ser vi at stigningstallet for X5 er estimert til med en p-verdi på Tenk deg at du skal forklare en annen person hva dette betyr. Forklar hva eksakt hva vi har estimert og testa, og hva p-verdien forteller. Vi vil gjerne finne ut hvilke variabler en bør ha med i en regresjonsmodell og har derfor rekna ut en del godhetsmål for noen aktuelle modeller: modell R2 R2adj Cp R2pred 1 X2, X X1, X2, X X1, X2, X3, X X1, X2, X3, X X1, X2, X3, X X1, X2, X3, X4, X X1, X2, X3, X5, X X1, X2, X3, X6, X X1, X2, X3, X7, X X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X b) Forklar hva R 2, Radj 2, C p og Rpred 2 måler, og hvordan de brukes til modellvalg. Hvilken modell ville du ha valgt, begrunn valget ditt. Vi velger i resten av oppgava å se på modellen med X1, X2, X3 og X8. c) Skriv opp den estimerte modellen for lny. Ser det ut som det er grunn til å frykte problemer med multikolinearitet i modellen? Finn predikert verdi for lny om pasienten har x1 = 5, x2 = 50, x3 = 50, x8 = 1? Finn også et 95%-prediksjonsintervall for overlevelstida (obs!) i dager. d) Lag et 95%-konfidensintervall stigningstallet til X8 (forskjellen mellom pasienter med og uten høgt alkoholforbruk). Bruk anova-utskriften til å teste om X3 og X8 er simultant signifikante i modellen som også inneholder X1 og X2? 5

6 Kvantiler (2.5% og 97.5%) fra gammafordeling med β = 1 (scale) og α = 1, 2,..., 50 (shape): > qgamma(0.025,shape=seq(1,50),scale=1) [1] [7] [13] [19] [25] [31] [37] [43] [49] > qgamma(0.975,shape=seq(1,50),scale=1) [1] [8] [15] [22] [29] [36] [43] [50]

7 > summary(aov(pris~as.factor(alder)+as.factor(kjoenn) +as.factor(alder)*as.factor(kjoenn),cash)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) as.factor(alder) e-12 *** as.factor(kjoenn) as.factor(alder):as.factor(kjoenn) Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

8

9

10 > summary(lm(lny~x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8,liverop)) Call: lm(formula = lny ~ X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8, data = liverop) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) < 2e-16 *** X ** X e-08 *** X e-10 *** X X X X X e-05 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 45 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 8 and 45 DF, p-value: 7.8e-16 > anova(lm(lny~x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8,liverop)) Analysis of Variance Table Response: lny Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) X *** X e-10 *** X e-15 *** X X X X X e-05 *** Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

11 > summary(lm(lny~x1+x2+x3+x8,leverop)) Call: lm(formula = lny ~ X1 + X2 + X3 + X8, data = leverop) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) < 2e-16 *** X *** X e-11 *** X e-15 *** X e-05 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 49 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 4 and 49 DF, p-value: < 2.2e-16 > anova(lm(lny~x1+x2+x3+x8,leverop)) Analysis of Variance Table Response: lny Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) X *** X e-10 *** X e-16 *** X e-05 *** Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * > X <- cbind(leverop$x1,leverop$x2,leverop$x3,leverop$x8) > cor(x) X1 X2 X3 X8 X X X X > solve(t(x)%*%x) [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] e e [2,] e e [3,] e e [4,] e e > x0 <- matrix(c(5,50,50,1)) > t(x0)%*%solve(t(x)%*%x)%*%x0 [,1] [1,]