HØGSKOLEN I STAVANGER

Transkript

1 EKSAMEN I: MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 25. NOVEMBER 2003 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR, TABELLER OG FORMLER I STATISTIKK (TAPIR FORLAG) OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER PÅ 9 SIDER INKL. VEDLEGG HØGSKOLEN I STAVANGER Avdeling for TEKNISK NATURVITEN- SKAPELIGE FAG Oppgave 1 Hvor mye en person bruker en bestemt muskel kan måles ved hjelp av såkalte EMGmålinger (elektromyografimålinger). Dette er blant annet blitt brukt til å studere hvordan sangere bruker ulike muskler, noe vi skal se på i denne oppgaven. En av tingen man har undersøkt i forbindelse med sangeres muskelbruk er hvorvidt en bestemt form for tilbakemelding på muskelbruken, kalt biofeedback, kan bidra til å gi sangere mer korrekt muskelbruk. Vi skal her se på sangeres bruk av trapesiusmuskelen. Ideelt sett bør denne muskelen brukes lite under sang. I en undersøkelse har man målt n = 24 sangeres bruk av trapesius-muskelen ved en bestemt sangøvelse før og etter biofeedback. Målet er å undersøke om sangerne etter biofeedback generelt bruker trapesius-muskelen mindre. La X i og Y i være mål på hvor mye sanger i bruker trapesius-muskelen henholdsvis før og etter biofeedback, og la videre D i = X i Y i, i = 1,..., 24. Resultatet av målingene er gitt i tabellen under: sanger i før, x i etter, y i differanse, d i sanger i før, x i etter, y i differanse, d i Det oppgis at 24 i=1 d i = 27.0 og 24 i=1(d i d) 2 = Vi antar at D 1,..., D 24 er uavhengige og normalfordelte med forventningsverdi µ D og varians σ 2 D. Parametrene µ D og σ 2 D er ukjente. 1

2 a) Forklar kort hvorfor det er naturlig å formulere problemstillingen som skal undersøkes som hypotesetesten H 0 : µ D = 0 mot H 1 : µ D > 0. Utfør hypotesetesten. Bruk 5% signifikansnivå. La D 0 = X 0 Y 0 være et mål på hvor mye en ny sanger (ikke blant de 24 vi har målinger for) vil vise seg å redusere sin bruk av trapesius-muskelen ved biofeedback. Vi antar at D 0 er uavhengig av D 1,..., D 24, og at D 0 som D 1,..., D 24 er normalfordelt med forventningsverdi µ D og varians σ 2 D. b) Utled et 95% prediksjonsintervall for D 0. Hvordan vil du tolke det dersom dette prediksjonsintervallet skulle vise seg å inneholde både negative og positive verdier? I en annen test ønsket man å undersøke om det ser ut til å være forskjell mellom mannlige og kvinnelige sangeres bruk av øvre brystkasse. La nå X i være et mål på kvinnelig sanger nummer i sin bruk av øvre brystkasse, og la tilsvarende Y i være et mål på mannlig sanger nummer i sin bruk av øvre brystkasse. Resultatet av målinger på 8 kvinner og 8 menn er gitt i tabellen under. i x i y i Det oppgis at 8 i=1 x i = 562, 8 i=1 y i = 643, 8 i=1 (x i x) 2 = og 8i=1 (y i ȳ) 2 = Anta at X 1,..., X 8, Y 1,..., Y 8 alle er uavhengige og normalfordelt. Anta videre at X 1,..., X 8 har ukjent forventningsverdi µ X og ukjent varians σx, 2 og tilsvarende at Y 1,..., Y 8 har ukjent forventningsverdi µ Y og ukjent varians σy 2. Vi antar også at variansene σx 2 og σy 2 er ulike. c) Hvorfor kan ikke problemstillingen som skal undersøkes her undersøkes med et parplanforsøk? Forklar kort. Utled et 95% konfidensinterval for µ X µ Y. Du kan her bruke uten bevis at den t-fordelte observatoren som inngår i utregningen har tilnærmet ν = 14 frihetsgrader. Hva blir resultatet av en hypotesetest på 5% signifikansnivå der det undersøkes om kvinnelige og mannlige sangere jevnt over har ulik bruk av øvre brystkasse, dvs om µ X µ y? 2

3 Oppgave 2 I utviklingen av en bestemt type lagringsbatterier undersøker man blant annet hvordan maksimal spenning batteriene kan gi avhenger av materialet som brukes i platene i batteriet. Tre forskjellige typer materiale er testet, og for hvert materialtype har man gjort fire forsøk. De resulterende verdiene for materialtype og spenning er gitt i tabellen under. Spenning (volt) Material 1 Material 2 Material Deler av en variansanalysetabell (ANOVA) for dataene er gitt under: Kilde SS df M S F Material Feil Total a) Skriv ned modellen og antagelsene for enveis variansanalyse. Fyll ut resten av variansanalysetabellen over. Bruk variansanalysetabellen til å teste på 5% signifikansnivå om materialtype har betydning for spenningen batteriene oppnår. Kombinert med å teste ulike materialtyper ønsker man også å studere hvilken effekt temperaturen i lokalet der batteriene befinner seg har. Testene gjengitt over ble utført ved 65 grader Fahrenheit. I tillegg gjør man to nye tilsvarende måleserier ved hhv 50 og 80 grader Fahrenheit. Alle resultatene er gjengitt i tabellen under. Materialtype Temperatur Et plott av gjennomsnittlig spenning for hver kombinasjon av temperatur og materialtype er gitt i figuren på neste side. Her angir tallene inne i figuren materialtypen og hvor gjennomsnittet for den aktuelle kombinasjonen av temperatur og material ligger. F.eks. gir temperatur 65 og materialtype 1 gjennomsnittet osv. 3

4 Gj.sn. maks. spenning ved ulike temp./materiale komb. Gj.sn. maks. spenning Temperatur (F) Variansanalysetabellen (ANOVA) for dataene er gitt under: Kilde SS df M S F Temperatur Material Samspill Feil Total b) Hva indikerer plottet om hvilke kombinasjoner av materialtype og temperatur som ser gunstig ut dersom man ønsker høy spenning? Bruk variansanalysetabellen til å teste på 5% signifikansnivå: 1. Om temperatur har betydning for spenningen. 2. Om materialtype har betydning for spenningen. 3. Om det er samspill mellom temperatur og materialtype. Dersom man i en analyse som dette påviser et signifikant samspill, hvilken betydning har det for tolkningen av resultatene for hovedeffektene? En av antagelsene i en toveis variansanalysemodell er at variansen er den samme for alle faktorkombinasjoner (her alle kombinasjoner av temperatur og materialtype). Denne antagelsen kan testes på samme måte som i en enveis variansanalysemodell. Dvs dersom vi nummererer de 9 mulige faktorkombinasjonene fra 1 til 9 og lar σ 2 1 være varians for kombinasjon nummer 1, σ 2 2 varians for kombinasjon nummer 2 osv så kan vi teste om minst en av σ 2 1, σ 2 2,..., σ 2 9 er forskjellig fra de øvrige ved bruk av Cochran-testen eller Bartlett-testen. Det oppgis at empirisk varians for hver av de 9 mulige faktorkombinasjonene blir som i tabellen under: Kombinasjon i s 2 i c) Bruk enten Bartlett-testen eller Cochran-testen og 5% signifikansnivå til å teste om det er grunn til å hevde at antagelsen om lik varians for alle faktorkombinasjoner ikke holder. 4

5 Oppgave 3 For å studere innvirkningen av sur nedbør på norske vann ble det for noen år siden utført en undersøkelse av SFT og NVE hvor man samlet inn data fra mange norske vann. Vi skal her se på data fra 26 av disse vannene. En oversikt over hvilke variable man har data for og hva vi kaller disse variablene i denne oppgaven er gitt under. Variabelnavn x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 y Betydning Innhold av SO 4 (mg/l) Innhold av NO 3 (mg/l) Innhold av Ca (mg/l) Innhold av latent aluminium (µg/l) Innhold av organiske stoffer (mg/l) Areal av vann ph-verdi Dataene er rapportert under i y x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x En figur hvor alle data er plottet mot hverandre er vist øverst på neste side. Spesielt gir de 6 plottene i øverste rad i denne figuren y plottet mot hver av de seks forklaringsvariablene x 1,..., x 6. 5

6 y x1 x x3 x x5 x Man starter med å tilpasse regresjonsmodellen Y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + β 3 x 3i + β 4 x 4i + β 5 x 5i + β 6 x 6i + ε i, i = 1,..., 26 der ε 1,..., ε 26 antas uavhengige og normalfordelte med forventning 0 og varians σ 2. Noe av informasjonen vi får ut når vi bruker et dataprogram til å estimere denne modellen er vist under. Koeffisienter: Variabel b i ŜD(B i) t p verdi Konstant x x x x x x a) Tyder informasjonen i datautskriften på at alle de 6 forklaringsvariablene tatt med i modellen har betydning, eller kan noen av variablene utelates? Forklar kort. Forklar kort hvordan en bakover utvelgelse (bakoverregresjon/backward selection) for å foreslå hvilke variable som skal være med i en regresjonsmodell utføres. 6

7 Dersom vi kjører en bakover utvelgelse med nivå α = 0.05 får vi en modell med de tre forklaringsvariablene x 1, x 2 og x 3, dvs modellen Y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + β 3 x 3i + ε i, i = 1,..., 26 (1) Dersom vi kjører en tilsvarende forover utvelgelse blir en modell med forklaringsvariablene x 1, x 3 og x 4 foreslått, dvs modellen Y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 3i + β 3 x 4i + ε i, i = 1,..., 26 (2) Noe av informasjonen vi får ut når vi bruker et dataprogram til å estimere disse modellene er vist under. Modell (1): Sammendrag: Koeffisienter: Modell (2): Sammendrag: Koeffisienter: R R 2 R justert 2 s Variabel b i ŜD(B i) t p verdi Konstant x x x R R 2 R justert 2 s Variabel b i ŜD(B i) t p verdi Konstant x x x b) Hvordan er R 2 (bestemmelseskoeffisienten) definert og hva forteller den? Hva er ulempen med R 2 som modellvalgskriterium? Ta utgangspunkt i informasjonen som er oppgitt for de to modellene og argumenter ut fra denne informasjonen for hvilken av de to modellene du mener er best. 7

8 I resten av oppgaven skal vi bruke modell (1), dvs modellen med de tre forklaringsvariablene x 1, x 2 og x 3. Informasjonen fra datautskrift for denne modellen gitt på forrige side kan komme til nytte også i besvarelsen av de to neste punktene. Videre er forskjellige plott av residualene for modellen vist i figuren under. Residualene plottet mot x1 Residualene plottet mot x2 Residualene plottet mot x x x x3 Residualene mot predikert verdi Residualene mot observasjonsnummer Normalplott av residualene Residual Tilpasset regresjonslinje i Kvantil c) Forklar kort hvordan, i følge den estimerte modellen, hver av de tre faktorene SO 4 (x 1 ), NO 3 (x 2 ) og Ca (x 3 ) påvirker ph-verdien (Y )? (Vil f.eks. en økning i SO 4 bidra til å heve eller senke ph-verdien osv?) Hvordan er residualet til en observasjon i modellen definert? Regn ut residualet til observasjon nummer 1 (i = 1). Tyder plottene av residualene på at den tilpassede modellen er god? Kommenter kort om hvert av plottene indikerer en god modell eller ikke og hvordan du ser dette. d) Hva slags praktisk tolkningen kan vi gi av parameteren β 0 i denne regresjonsmodellen? Hvilket forbehold må vi eventuelt ta i denne tolkningen? Kommenter kort. Utled et 95% konfidensintervall for β 0. 8