Oppgave 1. Det oppgis at dersom y ij er observasjon nummer j fra laboratorium i så er SSA = (y ij ȳ i ) 2 =

Transkript

1 EKSAMEN I: MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 28. FEBRUAR 2005 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR, TABELLER OG FORMLER I STATISTIKK (TAPIR FORLAG) OPPGAVESETTET BESTÅR AV 4 OPPGAVER PÅ 6 SIDER TEKNISK- NATURVITEN- SKAPELIGE FAKULTET Oppgave 1 Man skal undersøke hvor godt fire forskjellige laboratorier er kalibrert på en bestemt type konsentrasjonsmålinger. Dette gjøres ved at hver laboratorium gjør 5 uavhengige målinger av konsentrasjonen av et bestemt stoff i en standardisert løsning og rapporterer inn måleresultatene. Resultatene er gitt i tabellen under. Konsentrasjonsmålinger i ulike laboratorier Laboratorium 1 Laboratorium 2 Laboratorium 3 Laboratorium Det oppgis at dersom y ij er observasjon nummer j fra laboratorium i så er SSA = 4i=1 5j=1 (ȳ i ȳ ) 2 = og SSE = 4 i=1 5j=1 (y ij ȳ i ) 2 = a) Sett opp modellen og antagelsene for enveis variansanalyse. Hvordan defineres residualet til en observasjon i en enveis variansanalysemodell? Hva slags to plott av residualene bør man lage for enveis variansanalysemodeller? Hvilke aspekter ved modelltilpasningen kan disse plottene si noe om? b) Bruk enveis variansanalyse til å teste om det er systematiske forskjeller i konsentrasjonsmålingene mellom de fire laboratoriene. Bruk 5% signifikansnivå. 1

2 Oppgave 2: En ny medisin som er tenkt brukt til midlertidig reduksjon av hjerterytme, skal sammenlignes med en standard medisin. 10 tilfeldig valgte pasienter ble plukket ut til å være med i forsøket. Siden man regnet med at effekten av medisinen var svært personavhengig ble forsøket utført slik at hver pasient fikk den ene medisinen en dag og den andre neste dag. Rekkefølgen pasientene fikk medisinen i var tilfeldig. La X i betegne reduksjon i hjerterytme for pasient i med standard medisin og Y i reduksjon i hjerterytme med ny medisin. La videre D i = X i Y i være differansen i reduksjon i hjerterytme mellom de to typene medisin. Resultatet av undersøkelsen er gitt i tabellen under: Pasient i Standard medisin, x i Ny medisin, y i Differanse d i Det oppgis at 10 i=1 d i = 23.8 og 10 i=1(d i d) 2 = Anta at D 1,..., D 10 er uavhengige og normalfordelte med forventningsverdi µ D og varians σ 2 D. Parametrene µ D og σ 2 D er ukjente. a) Forklart kort hva som generelt er fordelene med å gjøre et parplanforsøk fremfor et vanlig to-utvalgsforsøk. Utled et 95% konfidensintervall for µ D. Tyder dette konfidensintervallet på at det er forskjell i reduksjon i hjerterytme mellom de to medisinene? b) Utled et 95% prediksjonsintervall for differanse i reduksjonen i hjerterytme for en ny pasient, D 0. Forklar kort hva som er den praktiske forskjellen mellom dette intervallet og konfidensintervallet utledet i punkt a). 2

3 Oppgave 3: I forbindelse med strålebehandling av pasienter er det viktig at kroppen bli posisjonert mest mulig korrekt ved hver behandling slik at det rette området i kroppen blir bestrålet hver gang (det området som trenger behandlingen). I praksis vil det ofte likevel bli litt avvik, og en undersøkelse for å studere dette er utført. Fra 10 pasienter har man samlet inn data som man blant annet kan bruke til å si noe om hvorvidt det er systematisk avvik i posisjoneringen av pasientene over en behandlingsserie. Vi skal bare se på data for posisjonering i en retning, sideslengs. For hver av pasientene har vi data på gjennomsnittlig sideslengs posisjoneringsavvik i løpet av behandlingsserien. La X i være dette posisjoneringsavviket for pasient nummer i. Posisjoneringsavviket måles på en skala der 0 er korrekt posisjon, negative verdier er avvik til den ene siden og positive verdier er avvik til den andre siden. Resultatet av målingene (i cm) er gitt i tabellen under. Pasient i x i Det oppgis at 10 i=1 x i = Anta at X 1,..., X 10 er uavhengige og normalfordelte med ukjent forventningsverdi µ og kjent standardavvik σ = Et hovedmål med undersøkelsen er å avgjøre om det gjøres systematiske posisjoneringsfeil av pasientene. a) Forklar hvorfor det er rimelig å formulere denne problemstillingen som hypotesetesten H 0 : µ = 0 mot H 1 : µ 0 Utfør testen ved å regne ut p-verdien. bruker signifikansnivå α = 0.05? Hva blir konklusjonen dersom du Etter å ha utført testen i punkt a) begynte man å fundere på om det burde ha vært gjort målinger på flere pasienter. b) Vis at minste antall målinger man må gjøre for å med sannsynlighet 1 β avdekke et avvik på δ eller mer fra verdien µ = 0 ved hypotesetesten i punkt a) er gitt ved n (z α/2 + z β ) 2 σ 2 δ 2 (Hint: Start med å sette opp et uttrykk for β.) Regn ut hvor mange målinger som minst må gjøres dersom man ønsker minst 90% sannsynlighet for å avdekke et avvik på δ = 0.2 eller mer. 3

4 Oppgave 4: Når sement størkner blir det avgitt varme til omgivelsene. For å undersøke hvordan mengden av fire kjemiske forbindelser x 1, x 2, x 3 og x 4 som inngår i sementen påvirker avgitt varme, Y, (målt i kalorier per gram) ble de gjort 13 målinger som er vist i tabellen under. i y x 1 x 2 x 3 x En figur hvor alle data er plottet mot hverandre er vist under Y X1 X X3 X

5 Man starter med å tilpasse regresjonsmodellen Y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + β 3 x 3i + β 4 x 4i + ε i, i = 1,..., 13 der ε 1,..., ε 13 antas uavhengige og normalfordelte med forventning 0 og varians σ 2. Noe av informasjonen vi får ut når vi bruker et dataprogram til å estimere denne modellen er vist under. Variansanalysetabell (ANOVA): Koeffisienter: Kilde SS df M S F p-verdi Regresjon Feil Total Variabel b i ŜD(B i) t p verdi Konstant x x x x a) Still opp modellen på vektor/matriseform og vis spesielt hvordan du setter inn verdiene for forklaringsvariablene (x-ene). Skriv ned kriteriet man tar utgangspunkt i for å estimere parametrene i regresjonsligningen, β 0, β 1,..., β 4. Skriv ned den estimerte regresjonsligningen. b) For hver av p-verdiene gitt i datautskriften over, skriv ned hypotesetesten som p-verdien gjelder for. Forklar så kort hva disse testene i praksis generelt forteller oss, og deretter hva de spesielt forteller oss i dette tilfellet. For å prøve å finne bedre modeller kjøres to stegvise prosedyrer. Dersom vi kjører en bakover utvelgelse med nivå α = 0.10 får vi en modell med de to forklaringsvariablene x 1 og x 2, mens dersom vi kjører en tilsvarende forover utvelgelse får vi en modell med de to forklaringsvariablene x 1 og x 4. c) Forklar kort hvordan en forover utvelgelse (foroverregresjon/forward selection) for å foreslå hvilke variable som skal være med i en regresjonsmodell utføres. Forskjellen på de to foreslåtte modellene er om x 2 eller x 4 er med i tillegg til x 1. Forklar kort ut fra plottene av x-variablene plottet mot hverandre i figuren på forrige side hvorfor det ikke er overraskende med denne forskjellen. 5

6 I siste punkt tar vi utgangspunkt i modellen med x 1 og x 2, dvs Y i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + ε i, i = 1,..., 13 Noe av informasjonen vi får ut når vi bruker et dataprogram til å estimere denne modellen er vist under. Koeffisienter: Variabel b i ŜD(B i) t p verdi Konstant x x d) Det har blitt påstått at effekten av variabelen x 1 er slik at når x 1 øker med 1 så øker også forventet avgitt varme, E(Y ), med 1. Gir målingene grunnlag for å tvile på denne påstanden? Formuler problemstillingen som en hypotesetest om β 1 og utfør testen. Bruk 5% signifikansnivå. 6