Oppgave 13.1 (13.4:1)

Transkript

1 MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 11 (s. 1) Modell: Oppgave 13.1 (13.4:1) Y ij = µ i + ε ij, der ε ij uavh. N(0, σ 2 ) Boka opererer her med spesialtilfellet der man har like mange observasjoner i hver gruppe (dvs totalt antall observasjoner er N = nk), men dette resultatet er like lett å vise i det generelle tilfellet hvor man kan ha ulikt antall observasjoner i hver gruppe (N = k n i ): der S 2 = SSE = 1 k n i (Y ij Ȳi ) 2 = σ2 k j=1 n i 1 σ 2 V i = 1 (Y σ 2 ij Ȳi ) 2 j=1 n i (Y ij Ȳi ) 2 = σ2 k V i, j=1 Vi har fra teorem 8.4/tabell side 27 at V i χ 2 n i 1, dvs E(V i ) = n i 1 og vi får: E(S 2 ) = σ2 k E(V i ) = σ2 k (n i 1) = σ2 k ( n i k) = σ 2 Oppgave 14.8 (14.4:8) Målingene: y ijk = måling nr k for nikkelmengde i og ph j; i = 1, 2, j = 1, 2, 3 og k = 1, 2, 3. Målingene betraktes som utfall av tilfeldige variable Y ijk, der Modell: Y ijk = µ + α i + β j + (αβ) ij + ε ijk, der ε ijk uavh. N(0, σ 2 ). Her er µ er gjennomsnittseffekten, α i er effekt av nikkelmengde, β j er effekt av ph, (αβ) ij er samspillseffekten og ε ijk er feilleddet (tilfeldig variasjon). 2 α i = 0, 3 j=1 β j = 0, 2 (αβ) ij = 0, 3 j=1 (αβ) ij = 0. ANOVA-tabellen gitt i oppgaven viser resultater av: Kilde SS df M S F p verdi kritisk verdi Nikkel SSA a 1 SSA/(a 1) MSA/MSE P (F f obs ) f α,a 1,ab(n 1) ph SSB b 1 SSB/(b 1) MSB/MSE P (F f obs ) f α,b 1,ab(n 1) Samspill SS(AB) (a 1)(b 1) SS(AB)/(a 1)(b 1) MS(AB)/MSE P (F f obs ) f α,(a 1)(b 1),ab(n 1) Feil SSE ab(n 1) SSE/ab(n 1) = S 2 Total SST abn 1 Her er (a = 2, b = 3): SST = a b j=1 n k=1 (Y ijk Ȳ ) 2, SSA = bn a (Ȳi Ȳ ) 2, SSB = an b j=1 (Ȳ j Ȳ ) 2, SS(AB) = n a b j=1 (Ȳij Ȳi Ȳ j + Ȳ ) 2, og SSE = a b j=1 n k=1 (Y ijk Ȳij ) 2, og SST = SSA + SSB + SS(AB) + SSE.

2 MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 11 (s. 2) Test for ev. samspill: H 0 : (αβ) 11 = = (αβ) 23 = 0 mot H 1 : minst en 0 Vi forkaster H 0 dersom kvadratsummen for samspill er stor i forhold til den tilfeldige feilen, mer presist dersom: SS(AB)/(a 1)(b 1) SSE/ab(n 1) = MS(AB) MSE f α,(a 1)(b 1),ab(n 1) = f 0.05,2,12 = 3.89 Fra datautskriften ser vi at f obs = 0.48, dvs vi forkaster ikke H 0 på 5% nivå. (Dette ser vi også fra at p-verdien = 0.63>0.05.) Det er ingen samspillseffekt. Test for ev. hovedeffekt av nikkelmengde (A): H 0 : α 1 = α 2 = 0 mot H 1 : minst en α i 0 Vi forkaster H 0 dersom forskjellene i gjennomsnittsverdi for hvert nivå av nikkelmengde er store i forhold til den tilfeldige feilen, mer presist dersom: SSA/(a 1) SSE/ab(n 1) = MSA MSE f α,a 1,ab(n 1) = f 0.05,1,12 = 4.75 Fra datautskriften ser vi at f obs = 44.52, dvs vi forkaster H 0 på 5% nivå. (Dette ser vi også fra at p-verdien= <0.05.) Nikkelmengde har betydning for tjukkelsen. Test for ev. hovedeffekt av ph (B): H 0 : β 1 = β 2 = β 3 = 0 mot H 1 : minst en β i 0 Vi forkaster H 0 dersom forskjellene i gjennomsnittsverdi for hvert ph-nivå er store i forhold til den tilfeldige feilen, mer presist dersom: SSB/(b 1) SSE/ab(n 1) = MSB MSE f α,b 1,ab(n 1) = f 0.05,2,12 = 3.89 Fra datautskriften ser vi at f obs = 4.71, dvs vi forkaster H 0 på 5% nivå. (Dette ser vi også fra at p-verdien=0.03<0.05.) Surhetsgrad, ph, har betydning for tjukkelsen.

3 MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 11 (s. 3) 250,0 200,0 150,0 18 g nikkel 10 g nikkel 100,0 50,0 ph=5,0 ph=5,5 ph=6,0 Gjennomsnittstjukkelse for alle tre målinger ph=5,0 ph=5,5 ph=6,0 18 g 211,0 182,7 180,3 10 g 140,7 102,7 80,7 Plott av gjennomsnittene y ij : Blå linje viser y 1j for j = 1, 2, 3: resultat med 18g nikkel når ph endres fra 5 til 5.5 til 6. Rød linje er tilsvarende for 10g nikkel, y 2j for j = 1, 2, 3. Vi ser at når ph øker, blir tjukkelsen mindre, og vi ser at stor nikkelmengde gjør at tjukkelsen øker. Endringen som nikkelmengde forårsaker er omtrent den samme enten ph er 5, 5.5 eller 6. Endringen økende ph forårsaker er omtrent den samme enten det er 10 eller 18 g nikkel. Dette betyr at ph og nikkel ikke samspiller. Det viser seg i figuren ved omtrent parallelle linjer.

4 MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 11 (s. 4) Oppgave 14.9 (14.4:9) Målingene: y ijk = måling nr k for verktøygeometri i og kuttehastighet j; i = 1, 2, j = 1, 2 og k = 1, 2, 3. Målingene betraktes som utfall av tilfeldige variable Y ijk, der Modell: Y ijk = µ + α i + β j + (αβ) ij + ε ijk, der ε ijk uavh. N(0, σ 2 ). Her er µ er gjennomsnittseffekten, α i er effekt av verktøygeometri, β j er effekt av kuttehastighet, (αβ) ij er samspillseffekten og ε ijk er feilleddet (tilfeldig variasjon). 2 α i = 0, 2 j=1 β j = 0, 2 (αβ) ij = 0, 2 j=1 (αβ) ij = 0. ANOVA-tabellen gitt i oppgaven viser resultater av: Kilde SS df M S F p verdi kritisk verdi Geometr. SSA a 1 SSA/(a 1) MSA/MSE P (F f obs ) f α,a 1,ab(n 1) Hastighet SSB b 1 SSB/(b 1) MSB/MSE P (F f obs ) f α,b 1,ab(n 1) Samspill SS(AB) (a 1)(b 1) SS(AB)/(a 1)(b 1) MS(AB)/MSE P (F f obs ) f α,(a 1)(b 1),ab(n 1) Feil SSE ab(n 1) SSE/ab(n 1) = S 2 Total SST abn 1 Her er (a = 2, b = 2): SST = a b j=1 n k=1 (Y ijk Ȳ ) 2, SSA = bn a (Ȳi Ȳ ) 2, SSB = an b j=1 (Ȳ j Ȳ ) 2, SS(AB) = n a b j=1 (Ȳij Ȳi Ȳ j + Ȳ ) 2, og SSE = a b j=1 n k=1 (Y ijk Ȳij ) 2, og SST = SSA + SSB + SS(AB) + SSE. Test for ev. samspill: H 0 : (αβ) 11 = = (αβ) 22 = 0 mot H 1 : minst en 0 Vi forkaster H 0 dersom kvadratsummen for samspill er stor i forhold til den tilfeldige feilen, mer presist dersom: SS(AB)/(a 1)(b 1) SSE/ab(n 1) = MS(AB) MSE f α,(a 1)(b 1),ab(n 1) = f 0.05,1,8 = 5.32 Fra datautskriften ser vi at f obs = 21.14, dvs vi forkaster H 0 på 5% nivå. (Dette ser vi også fra at p-verdien = <0.05.) Det er sammspillseffekt mellom faktorene verktøygeometri og kuttehastighet som i virkeligheten påvirker levetiden til verktøyet.

5 MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 11 (s. 5) Test for ev. hovedeffekt av verktøygeometri (A): H 0 : α 1 = α 2 = 0 mot H 1 : minst en α i 0 Vi forkaster H 0 dersom forskjellene i gjennomsnittsverdi for hver verktøygeometri er store i forhold til den tilfeldige feilen, mer presist dersom: SSA/(a 1) SSE/ab(n 1) = MSA MSE f α,a 1,ab(n 1) = f 0.05,1,8 = 5.32 Fra datautskriften ser vi at f obs = 74.31, dvs vi forkaster H 0 på 5% nivå. (Dette ser vi også fra at p-verdien= <0.05.) verktøygeometri har betydning for levetiden til verktøyet. Test for ev. hovedeffekt av kuttehastighet (B): H 0 : β 1 = β 2 = β 3 = 0 mot H 1 : minst en β i 0 Vi forkaster H 0 dersom forskjellene i gjennomsnittsverdi for hver kuttehastighet er store i forhold til den tilfeldige feilen, mer presist dersom: SSB/(b 1) SSE/ab(n 1) = MSB MSE f α,b 1,ab(n 1) = f 0.05,1,8 = 5.32 Fra datautskriften ser vi at f obs = 1.32, dvs vi forkaster ikke H 0 på 5% nivå. (Dette ser vi også fra at p-verdien=0.28>0.05.). Men faktor B, kuttehastigeht, har likevel betydning for levetiden fordi den påvirker gjennom samspillet. Figuren under illustrerer. 35,0 30,0 25,0 20,0 15,0 geom. 1 geom. 2 10,0 5,0 0,0 lav høy Gjennomsnitts levetid for alle tre målinger lav høy geom. 1 23,3 33,3 geom. 2 16,3 10,3 Plott av gjennomsnittene y ij : Blå linje viser y 1j for j = 1, 2: resultat med verktøygeometri 1 når kuttehastighet endres fra lav til høy. Rød linje er tilsvarende for verktøygeometri 2, y 2j for j = 1, 2.

6 MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 11 (s. 6) Vi ser at geometri 1 alltid har gjennomsnittlig lengre levetid. Men effekten av å endre kuttehastigheten er veldig ulik avhengig av om det er geometri 1 eller 2. Levetiden blir kortere når hastigheten økes med geometri 2 (rød linje synker), mens levetiden blir lengre når hastigheten økes med geometri 1 (blå linje stiger). Effekten kuttehastighet har, avhenger av hvilken verktøygeometri som brukes. (Eller: Effekten verktøygeometri har, avhenger av hvilken kuttehastighet som brukes.) Dette betyr at verktøygeometri og kuttehastighet samspiller. Det viser seg i figuren ved klart ikke-parallelle linjer. Oppgave 14.2 (14.4:2) Samme type modell og oppsett som i forrige oppgave. Responsen er nå vitamin C innhold og faktorene er merke og lagringstid. Vi har a = b = 3 og n = 4. a) H 0 : α 1 = α 2 = α 3 = 0 mot H 1 : minst en α i 0 Vi forkaster H 0 dersom forskjellene i gjennomsnittsverdi for hvert merke er store i forhold til den tilfeldige feilen, mer presist dersom: SSA/(a 1) SSE/ab(n 1) = MSA MSE f α,a 1,ab(n 1) = f 0.05,2,27 = 3.35 Fra datautskriften ser vi at f obs = 1.736, dvs vi forkaster ikke H 0 på 5% nivå. Dette ser vi også fra at p-verdien=0.195>0.05. Merke har ikke betydning for vitamin C innholdet. b) H 0 : β 1 = β 2 = β 3 = 0 mot H 1 : minst en β i 0 Vi forkaster H 0 dersom forskjellene i gjennomsnittsverdi for hver lagringstid er store i forhold til den tilfeldige feilen, mer presist dersom: SSB/(b 1) SSE/ab(n 1) = MSB MSE f α,b 1,ab(n 1) = f 0.05,2,27 = 3.35 Fra datautskriften ser vi at f obs = , dvs vi forkaster H 0 på 5% nivå. Dette ser vi også fra at p-verdien= <0.05. Lagringstid har betydning for vitamin C innholdet. c) H 0 : (αβ) 11 = = (αβ) 33 = 0 mot H 1 : minst en 0 Vi forkaster H 0 dersom kvadratsummen for samspill er stor i forhold til den tilfeldige feilen, mer presist dersom: SS(AB)/(a 1)(b 1) SSE/ab(n 1) = MS(AB) MSE f α,(a 1)(b 1),ab(n 1) = f 0.05,4,27 = 2.73 Fra datautskriften ser vi at f obs = 0.459, dvs vi forkaster ikke H 0 på 5% nivå. Dette ser vi også fra at p-verdien=0.765>0.05. Det er ingen samspillseffekt. Kommentar: Vi burde strengt tatt sjekket ev. samspill før vi gjorde testet for hovedeffektene!

7 MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 11 (s. 7) Oppgave 1 a) Populasjonen er alle studenter ved Høgskolen i Stavanger, og utvalget er de (ca 100) studentene hun velger ut i undersøkelsen sin. b) Fordelen med metode 1 er at den er lett og rask å utføre, ulempen er at den gir et svært lite representativt utvalg - kun studenter som har møtt på en bestemt forelesing i ett bestemt kurs blir spurte, disse trenger slett ikke være representative for hva studentene generelt på Høgskolen mener om de aktuelle spørsmålene. Metode 2 er ikke så raskt utført som metode 1, men er klart raskere og lettere å utføre enn metode 3. Metode 2 vil gi et mer korrekt resultat enn metode 1 da et bredere spekter av studenter vil bli spurt, dvs utvalget blir mer representativ. Utvalget vil imidlertid fremdeles ikke være helt representativt da studenter som sjelden eller aldri er på Høgskoleområdet har liten sannsynlighet for å bli spurt (og det godt kan tenkes at disse har en annen mening om de aktuelle spørsmålene enn de som ofte er på Høgskolen). Metode 3 er den klart mest tidkrevenede å utføre, men fordelen er at man her velger ut studentene som blir spurt helt tilfeldig blant alle studenter ved Høgskolen (tilfeldig utvalg) og vi vil dermed få en undersøkelse basert på et representativt utvalg av studentene. Metode 3 er derfor den beste. (Grunnen til at metode 3 er den beste er at man her ønsker å finne ut noe om hva alle studentene ved HiS mener, da må man utføre undersøkelsen slik at alle studenter har like stor sannsynlighet for å bli spurte. Dersom man f.eks. kun er interesserte i hva de studentene som er aktive brukere av Høgskoleområdet mener kan metode 2 være en god fremgangsmåte.) Oppgave 2 a) Når man ser på så mange hypotesetester samtidig som man gjør her må man være oppmerksom på den såkalte fisketur -problematikken. Jo flere tester man utfører jo større er sannsynligheten for å gjøre en type-i feil (feilaktig forkaste nullhypotesen) i minst en av testene. Dersom man utfører en hypotesetest på et standard α = 5% signifikansnivå betyr det at sannsynligheten for å forkaste nullhypotesen når nullhypotesen er korrekt (feilaktig forkastning/type-i feil) er 5%. Dersom man gjør mange tester på 5% nivå vil denne sannsynligheten for feilaktig forkastning i minst en av testene bli mye større enn 5%. Dersom man for eksempel gjør 15 uavhengige tester hvor nullhypotesen er korrekt i alle testene er sannsynligheten for at minst en av testene likevel gir forkastning på 5% nivå lik P (forkaste minst en av 15 uavh. tester alle H 0 holder) = 1 P (forkaste ingen) = = dvs ca 54% sannsynlighet for minst en feilaktig forkastning. En enkel måte å kompansere for dette problemet på er ved å gjøre en såkalt Bonferronikorreksjon. Det man gjør da er rett og slett å redusere nivået α man bruker til α/k der k er antall tester. F.eks. dersom man her med 15 tester har som utgangspunkt et ønsket nivå på α = 0.05 bruker man nivået α = 0.05/15 = for å sikre at den totale sannsynligheten for å gjøre en type-i feil ikke overskrider 0.05.

8 MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 11 (s. 8) b) Dersom vi tar utgangspunkt i α = ser vi at det kun er for aldersgruppene 5 og 6 år at testen gir en p-verdi på under dvs vi forkaster nullhypotesen og påstår at det er en reell forskjell kun for disse to aldersgruppene. De andre stedene vi har fått en p-verdi på under 0.05 (7, 12 og 17 år) kan vi ikke utelukke at det skyldes tilfeldigheter. For å kunne vurdere resultatene av sammenligningene skikkelig burde man i tillegg ha informasjon om størrelsene på de estimerte forskjellene - for eksempel i form av et konfidensintervaller for forskjellene i forventningsverdi mellom gruppene. En p-verdi alene sier oss her bare om en forskjell er påvisbar eller ikke, men gir oss ikke noen informasjon om størrelsen på en eventuell forskjell. Har man mange målinger eller liten varians kan man påvise forskjeller som er veldig små (kanskje så små at de er uinteressante). Har man få målinger og/eller stor varians men likevel klarer å påvise en forskjell betyr det at forskjellen er stor.