ECON240 VÅR / 2016 BOKMÅL

Transkript

1 ECON240 VÅR / 2016 BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN EKSAMEN UNDER SAMFUNNSVITENSKAPELIG GRAD [ DATO og KLOKKESLETT FOR EKSAMEN (START OG SLUTT) ] Tillatte hjelpemidler: Matematisk formelsamling av K. Sydsæter, A. Strøm og P. Berck. Formelsamling i matematikk av Utdanningsdirektoratet. Ikke-programmerbar kalkulator. Ordbok. Alle oppgaver skal besvares Oppgave 1 Man har erfart at 70 % av søkerne til jobb hos McDonalds får jobb. Fem tilfeldige søkere trekkes ut. Hva er sannsynligheten for at a) Alle fem får jobb b) Tre får jobb, to får ikke c) Minst en får jobb La variabelen X telle antall søkere som får jobb. Her X kan ta verdiene 0, 1, 2, 3, 4, og 5. X har en Binomial fordeling med n=5 og π=0.7. Med utgangspunkt i uttrykket for Binomialfordelingen kan vi regne ut punktsannsynlighetene for verdiene X kan ta: Dette gir oss følgende sannsynlighetsfordeling for X: X p(x) P(x X) a) Sannsynligheten for at alle fem får jobb er følgelig p(5)= b) Sannsynligheten for at tre får jobb er p(3)= Side 1 av 5

2 c) Sannsynligheten for at minst en får jobb svarer til sannsynligheten for at en eller flere får jobb og er p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+(5) eller 1-p(0) = = Oppgave 2 Et gatekjøkken selger hamburgere som påstås å veie 100 gram. En student har en mistanke om at burgerne veien mindre. Hun bestiller åtte burgere på forskjellige tidspunkter og kontrollveier dem. Vektresultatene ble som følger: Utfør en hypotesetest med signifikansnivå α=0.05 der du undersøker om studenten har rett i sin mistanke. Fra vektresultatene finner vi at utvalgsgjennomsnittet er 98,025 gram med standardavvik s=2,0214 gram. Vi har n=8 observasjoner i utvalget. Vi setter opp følgende hypoteser om gjennomsnittlig vekt på populasjonen av hamburgere (µ): H0: mot HA: Vi velger en enhaletest siden studenten mistenker at hamburgerne veier mindre enn 100 gram. Vi forutsetter at vekten på hamburgere er normalfordelt. Under H0 er i så fall testobservatoren (TS) Student s t-fordelt med n-1 frihetsgrader. Vi benytter dette resultatet til å utforme et testkriterium for oppgitt signifikansnivå, 0,05: Forkast H0 dersom TS < T0.05,7 = - 1,895 Vi finner TS = (98, )/(2,0214/2,6457) = -1,975/0,7640 = -2,585 < -1,895 Vi forkaster følgelig H0 og gir studenten rett mistanken sin. Side 2 av 5

3 Oppgave 3 Et tilfeldig utvalg bestående av 11 ansatte fra bedrift A har gjennomsnittlig lønn per uke på kroner 5750 med standardavvik lik 700. Et tilfeldig utvalg bestående av 21 ansatte fra bedrift B har gjennomsnittlig lønn per uke på kroner 6500 med standardavvik lik 900. a) Test om der er forskjeller i varians i inntekt mellom ansatte i bedrift A og B. Hva må du forutsette for å kunne utføre hypotesetesten? b) Test om gjennomsnittlig inntekt per uke i bedrift B er høyere enn i bedrift A. c) Lag et 95% konfidensintervall for den sanne forskjellen i gjennomsnittlig inntekt per uke. OBS! Her viste det seg at studentene hadde fått utlevert tabell for F-fordelingen som kun dekket signifikansnivå 0.5 og med maksimalt 9 frihetsgrader i teller, og inntil 120 i nevner. Da dette ble oppdaget fikk alle studenter som var oppe til eksamen følgende melding: «Oppgave 3a Du har fått utlevert en tabell som ikke gir opplysninger for tilstrekkelig mange frihetsgrader. Løs dette ved å benytte signifikansnivå 0.1 i to-haletesten, og les av tallet for 9 frihetsgrader i teller. Det gir nesten korrekt kritisk verdi og gir samme konklusjon på testen som om du hadde hatt korrekt kritisk verdi. Sensor opplyses om denne komplikasjonen» Her får de altså opplysning om å velge to-haletest, og at testobservator er F-fordelt. I vurderingen av besvarelsen av oppgave 3a kan derfor primært vektlegges at kandidaten kjenner forutsetningene bak testen (normalfordelt inntekt), greier å sette opp hypotesetesten riktig, kjenner uttrykket for testobservatoren og greier å finne det som blir tilnærmet kritisk verdi da, i nedre del av fordelingen.. Med en mer fleksibel tabell kunne det vært lettere for dem hvis de hadde kunnet satt opplysningene om bedrift B i teller (det var opprinnelig tanken). Nå må de i stedet forholde seg til nedre hale i F- fordelingen som krever at de husker at de kan finne F 0.95 som 1/F 0.05 I løsningsforslaget under har jeg forholdt meg til disse begrensingene og satt opp besvarelsen slik kandidaten kan løse dette med den tabellen som er blitt stilt til rådighet. a) Siden utvalgene som er trukket fra de to bedriftene er små må vi gå ut fra at inntekt er normalfordelt i populasjonen av arbeidstakere i hver av de to bedriftene. For å kunne teste om gjennomsnittlig inntekt per uke er lik i de to bedriftene må vi (på grunn av de små utvalgene) forutsette at variansen er lik i de to bedriftene. Vi starter med å teste en hypotese om variansene for å fastslå om det er rimelig å anta lik varians: Hypotesetest om lik varians: H 0: σ 2 A = σ 2 B mot H A: σ 2 A σ 2 B Vi har ingen apriori indikasjon på om variansen er større eller mindre i den ene eller den andre bedriften og benytter derfor ulikhetstegn i alternativhypotesen. Vi utfører dermed en såkalt tohaletest. Side 3 av 5

4 Fra statistisk teori vet vi at variabelen TS = S 2 A / S 2 B er F-fordelt med (n A-1, n B-1) frihetsgrader. Vi kan benytte signifikansnivå α=0.1. Dette gir oss følgende testkriterium: Forkast H 0 dersom TS > F 0.05,(10,20) = 2,3479 (her finner kandidaten F 0.05,(9,20) = 2,3928) eller TS < F 0.95,(10,20) = 1/F 0.05,(10,20) = 1/2,3479 = 0,4259 (og da finner kandidaten 1/2,3928 = 0,4179). Vi finner TS = /900 2 = 0,6049 som ikke ligger i området som tilsier at vi skal forkaste nullhypotesen. Vi beholder H 0. b) Siden vi ikke kunne forkaste H 0 under a) finner vi det rimelig å anta at variansen i inntekt er lik i de to populasjonene. Dermed er forutsetningene oppfylt for å kunne utføre en hypotesetest om forskjeller i gjennomsnittlig inntekt per uke. Ut fra ordlyden i oppgaveteksten setter vi oppfølgende hypoteser: H0: mot HA: Gitt ordlyden i oppgaveteksten er det naturlig å sette opp en enhaletest der alternativhypotesen postulerer at gjennomsnittet i bedrift B er større enn gjennomsnittet i bedrift A. Under H0 er testobservatoren TS = Students t-fordelt med nb+na-2 frihetsgrader, Der s = Vi benytter signifikansnivå Ut fra dette formulerer vi følgende testkriterium: Forkast H0 dersom TS > t0.05, 20 = 1,725 Vi finner s=1027,132. Dermed blir telleren i uttrykket for TS 1027,132*0,3721 = 382,1958 og TS = 750/382,1958 = 1,962 > 1,725. Vi forkaster dermed H0. c) Vi finner et 95% konfidensintervall for forskjellen i gjennomsnittsinntekt mellom de to bedriftene som ] +/- t0.025,20 *s = 750 +/ *382,1958 = 750 +/ = [-47.26, Side 4 av 5

5 Oppgave 4 Motorstørrelse og bensinforbruk: Motorstørrelse (X): Forbruk (y): Tabellen over viser bensinforbruk etter motorstørrelse. a) Beregn den empiriske korrelasjonen mellom bensinforbruk og motorstørrelse og forklar hva denne størrelsen forteller oss. b) Anta bensinforbruk kan beskrives som en funksjon av motorstørrelse ved følgende modell: Forklar hva parametrene α, β, og variabelen ε representerer. c) Bruk minste kvadrats metode sammen med informasjonen i tabellen til å finne estimat for αog β. d) Den estimerte standardfeilen til estimatet for β er Utfør en hypotesetest der du tester om β er statistisk signifikant forskjellig fra 0. e) Gjør rede for modellens samlede forklaringskraft. Grunnlag for løsning:. corr Motorstr forbruk (obs=10) Motorstr forbruk Motorstr forbruk reg forbru Motorstr Source SS df MS Number of obs = F( 1, 8) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = forbruk Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] Motorstr _cons Side 5 av 5