EKSAMEN. Flexibel ingeniørutdanning, 2kl. Bygg m.fl.

Transkript

1 KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. REA 1081 og REA1081F EKSAMENSDATO: 1. juni KLASSE: Flexibel ingeniørutdanning, 2kl. Bygg m.fl. TID: kl FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 (innkl. forside) TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller. INNFØRING MED PENN, evt. trykkblyant som gir gjennomslag. Ved innlevering skilles hvit og gul besvarelse og legges i hvert sitt omslag. Oppgavetekst, kladd og blå kopi beholder kandidaten. Husk kandidatnummer på alle ark.

2 Eksamen i Statistikk. 1. juni Hvert av de 7 bokstavpunktene teller likt ved bedømmelsen. Oppgave 1 En slakteribedrift har en maskin som automatisk pakker 00 grams pakker med kjøttdeig, som selges til fast pris. Massen med kjøttdeig varierer noe fra pakke til pakke, og bedriften vet at X, mengden av kjøttdeig i en pakke, er normalfordelt med parametre μ = 06 gram og σ = gram. a ) Hva er sannsynligheten for at en slik pakke inneholder mellom 00 og 15 gram? b ) Maskinen er ladet med kg kjøttdeig. Hva er sannsynligheten for at dette rekker til 100 pakker, altså at den samlede vekten av 100 pakker ikke overstiger 0700g? Se bort fra at det er svinn underveis, og anta at vektene i pakkene er stokastisk uavhengige. c) Det er en vektsjekk på pakkene, slik at de som er under 00 gram sorteres bort (til ompakking), for at kundene ikke skal klage. Også de som veier over 15 gram sorteres bort, da det er ulønnsomt åhaformyekjøttdeigipakken. Anta du kjøper en pakke fra et slikt ferdig sortert lager. Hva er sannsynligheten for at denne veier under 10 gram? En gyldig begrunnelse for regnestykket tillegges stor vekt ved bedømmelse av dette punktet. Oppgave 2 En antropolog har nettopp oppdaget en hittil ukjent liten stamme med innfødte i en bortgjemt avkrok av Totenåsen. Høyden på stammens 5 menn (i centimeter) var: {180.8, 180.1, 189.1, 178.6, 185, 9} a ) Regn ut gjennomsnitt x og standardavvik s x for høyden på stammens menn. b ) Antropologen ønsker å finne ut om høyden på mennene i denne stammen avviker fra høyden på nordmennellers.detvilsiathanønskerå utføre hypotesetesten H 0 : μ x = 180 mot H 1 : μ x 180, signifikansnivå α =5% der han antar at mennene i denne stammen har en høyde som er normalfordelt X N(μ x,σ). Sett opp og gjenomfør denne testen for ham. Det finnes også en annen, muligens beslektet, liten stamme langt oppe i Valdres. Det har imidlertid vært hevdet at de neppe er beslektet siden Valdresstammen har lavere innbyggere enn Totenstammen. I Valdresstammen er det 1 menn, med gjennomsnittshøyde y = og standardavvik s y =3.76. Vi antar fordelingen til høyden på disse er Y N(μ y,σ), der σ er den samme som for Totenstammen. Utfør hypotesetesten H 0 : μ x = μ y mot H 1 : μ x >μ y, med signifikansnivå α =5%. Har de som hevder Totenstammen er høyere enn Valdresstammen dekning for sin påstand, ut fra disse dataene?

3 Eksamen i Statistikk. 1. juni Oppgave 3 Denne oppgaven telles ikke med hvis det er avgjørende for stryk/bestått (til kandidatens ugunst). Anta levetiden til en type lyspærer T er eksponentiafordelt med parameter λ = 1/ (tidsenhet måned). Det vil si at sannsynlighetsfunksjonen F (t) = P(T t) er gitt ved F (t) =1 e t/ for t 0, F (t) =0fort<0 I et forsøk for å sjekke at kvaliteten holder mål settes et stort antall slike i gang på likt.det sjekkes imidlertid bare hvor mange av lyspærer som har røket i slutten av hver måned, og det registreres hvor mange hele måneder lyspæren har vart. Observasjonen for en enkelt pære er dermed en diskret stokastisk variabel X med mulige utfall {0, 1, 2,...}. Detvilsiatvibegynnerå telle fra 0 (som er utfallet av X hvis lyspæra ryker innen utgangen av første måned). Vis at X har en geometrisk fordeling. Hint: Jeg minner om at en geometrisk fordeling er en fordeling som har punktsannsynlighet g(x) =(1 p) x p for x {0, 1, 2,...} der parameteren p er en konstant mellom 0 og 1. Du skal med andre ord vise at P (X = x) kanskrivespå denne formen. SLUTT på oppgavesettet. Lykke til!

4 Løsning, eksamen i Statistikk. 1. juni Oppgave 1 a) ( ) ( ) P (00 X 15) = Φ Φ = Φ(2.25) Φ( 1.50) = ( ) = b ) Summen av vekten i 100 pakker er normalfordelt med μ = = = 0600 gram (eller kg). Variansen er σ 2 = = så standardavviket er 1600 = 0 gram (eller 0.0 kg). Dermed er ( ) P(Y 0700) = Φ = Φ(2.50) = Dette er en betinget sannsynlighete. Hvis A =(X<10) og B = (00 X 15) er det P(A B) = P(A B) P(B) det spørres etter. A B er at 00 X 10 med sannsynlighet ( ) ( ) P(A B) =Φ Φ = = Dermed er P(A B) = =0.809 Oppgave 2 a) x = , s x =.2 b) Tosidig t-test: Forkast H 0 hvis t = x μ 0 s x / n >t α/2. Her er n = 5, og dermed har vi frihetsgrader, og finner t =2.776, fra tabell 5.3. Testprosedyren er dermed x Forkast H 0 om s x / 5 > Utfører testen: t =.2/ 5 =1.7. Behold H 0 Det vil si at det ikke er påvistathøydenpå stammens menn avviker fra resten av befolkningen. Her kan vi bruke uparet t test med n + m 2=5+1 2 = 17 frihetsgrader. Testobservatorene er T = X Y, som har en students t-fordeling med 17 frihetsgrader hvis H 0 er sann. Det er store observasjoner av T som er i overenstemmelse med S 1 p H 1,ogt 0.05 =1.70, fra tabell 5.3. Det polariserte standardavviket er observert til s p = =3.93 Dermed er t = =1.90 > 1.7, Forkast H De som hevder Totenstammen er høyere har dekning for sin påstand.

5 Løsning, eksamen i Statistikk. 1. juni Oppgave 3 Utfallet x betyr at lyspæra ryker i tidsrommet mellom x og x + 1, som har sannsynlighet ( g(x) =P(x T x +1)=F (x +1) F (x) = 1 e (x+1)/) ( 1 e x/) = e x/ e (x+1)/ = e x/ e x/ e 1/ = e x/ (1 e 1/ ) Ved åvelgep ( =1 e 1/ (som blir et tall mellom 0 og 1), og dermed at e 1/ =1 p og e 1 x = e 1/) x =(1 p) x,ogdermed g(x) =p(1 p) x Kommentar: Dette kan uttrykkes slik at eksponentialfordelinga er den naturlige kontinuerlige generaliseringa av geometrisk fordelig, eller at den naturlige diskrete varianten av eksponentialfordelinga er geometrisk fordeling.