EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 sider inklusiv forside.

Transkript

1 KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematiske metoder. FAGNUMMER: JøG 0 EKSAMENSDATO: 7. desember 003 SENSURFRIST: 7. januar 004. KLASSE: HIS 003/004. TID: kl FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 sider inklusiv forside. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Kalkulator INNFØRING MED PENN, evt. trykkblyant som gir gjennomslag. Ved innlevering skilles hvit og gul besvarelse og legges i hvert sitt omslag. Oppgavetekst, kladd og blå kopi beholder kandidaten. Husk kandidatnummer på alle ark.

2 Eksamen i Matematiske metoder. 7. desember 003 Hvert bokstavpunkt teller likt ved bedømmelsen, oppgaver uten bokstavpunkter teller som et bokstavpunkt. Mellomregninger skal i hovedtrekk vises, og svarene skal om mulig gies med eksakte verdier. Oppgave Deriver funksjonen f gitt ved f(x) arctan(x ). Følgende spørsmål var falt ut, og kan da selvfølgelig heller ikke regnes med i sensureringa: Lineariser denne funksjonen rundt punktet (,f()) Eksakte verdier skal vises i mellomregninger, men sluttsvaret kan gies med desimaltall. Oppgave Finn grensene a) x ln(x) x. b) x 0 x 0 e t dt x. Oppgave 3 En bonde har 00 meter gjerde til disposisjon, og skal bruke dette til å lage en rektangulær innhegning. I tillegg til omkretsen skal han bruke av dette gjerdet til å lage tre delområder ved å lage skiller parallelt med en av sidekantene, som indikert i følgende figur: Hva er det største arealet han kan oppnå på denne innhegningen? Oppgave 4 Et flatestykke er avgrenset av kurva gitt ved likningen y x +4x 3ogx aksen. Dette flatesykket roteres om den vertikale aksen gitt ved x 3, og danner et romlegeme. Finn volumet av dette romlegemet. Eksakte verdier kreves for full uttelling, men vises framgangsmåten trekkes det ikke mye for desimaltall i sluttfasen av utregningene.

3 Eksamen i Matematiske metoder. 7. desember 003 Oppgave 5 La f være den kontinuelige funksjonen definert for x 3/4 ved f(x) 4x 3 a ) Regn ut det ubestemte integralet f(x) dx. b ) I følge middelverdisetningen finnes (minst) et tall c idetåpne intervallet (, 3) som er slik at 3 f(x) dx f(c). 3 Bestem eksakt verdi av denne c en. Oppgave 6 La j være den imaginære enheten. Finn det komplekse tallet z som oppfyller likningen 3z +4jz +8j. Svaret skal gies både på normalform og trigonometrisk form. Oppgave 7 En båt seiler i et område der vi har lagt inn et rettvinklet xy koordinatsystem (med (land)mil som enhet langs aksene), og befinner seg ved i tidsrommet 0 t π iposisjonen gitt av den vektorvaluerte funksjonen r(t) [4cos(t), sin(t)]. a ) b ) Finn hastighetsvektoren v(t) i et vilkårlig tidspunkt t i definisjonsområdet. Regn spesielt ut eksakt verdi av v(π/6) og v(π/6), hastighetsvektoren og banefarten ved tidspunktet t π/6. I origo er det plassert en peilestasjon som kan måle avstanden til båten, r(t), og farten denne avstanden endres. Hvilken fart vil peilestasjonen registrere ved tidspunktet t π/6? Lykke til.

4 Løsning, eksamen i Matematiske metoder. 7. desember 003 Oppgave Kjerneregelen med kjerne u x og u x: arctan(x ) +u x x +(x ) x +x 4 Linearisering er gitt ved formelen P (x) f(a)+f (a)(x a), her med a. Vi har f() arctan( )π/4 ogf () + 4,så lineariseringa er dermed P (x) π/4+ (x ) P (x) x +(π/4 ) P (x) x 0.46 Oppgave a) x ( ) ln(x) L Hopital x x /x /( x) x x x x x 0 b ) Vi har at x x 0 0 e t dt 0 ( 0 e t dt 0, siden øvre og nedre grense er like. Dermed er grensen et 0 0) uttrykk. Den deriverte av en integralfunksjon gitt på denne måten er integranden, bortsett fra navnebyttet fra t til x påvariablen: x 0 x 0 e t dt x ( ) 0 L Hopital e x 0 x 0 e 0 Oppgave 3 Hvis vi kaller de sidene det er 4 av for x, og de det er to av for y har vi 4x +y 00 og areal A xy Første likning gir y 50 x, som innsatt i arealformelen gir arealet som funksjon av x: A(x) x(50 x) 50x x. Denne har definisjonsområde 0 x 5, og A(0) A(5) 0 er opplagt ikke maks. Må da sjekke den deriverte: A (x) 50 4x 0forx 50/4 5/ (.5). Siden den deriverte eksisterer over alt finnes ingen andre kandidater, så x 5/. Dermed er y så arealet er A 5 5/ 3.5 kvadratmeter.

5 Løsning, eksamen i Matematiske metoder. 7. desember 003 Oppgave 4 Skjæring med x aksen der x +4x 3 0, som er for x ogx 3, som dermed blir avgrensing av flatestykket og integrasjonsgrenser. Ved sylinderskallmetode vil en dx-bit ha areal ydx, og rotere med en radius på r 3 x, slik at omkretsen på sylinderskallet er π(3 x). Volumet av sylinderskallet er dermed omkrets ganger tverrsnittareal dv π(3 x) ydx. Dette integreres opp til V π (3 x)y dxπ (3 x)( x +4x 3) dx [ π x 3 7x +5x 9 dx π 4 x4 7 3 x3 + 5 ] 3 x 9x Oppgave 5 a ) π ( ) 8π Substituerer med u 4x 3, som gir du 4dx, dvs.dx du/4: 4x u 3 dx 4 du u / du u3/ + C 6 (4x 3) 4x 3+C b) 3 f(x) dx [ 6 (4x 3) 4x 3 ] 3 ( 9 9 ) c c c 36 c (Siden dette er eneste mulige verdi, og en verdi må finnes i følge middelverdisetningen kan dette ikke være en falsk løsning.) Oppgave 6 4+8j 3 j ( 4+8j)(3 + j) (3 j)(3 + j) Modulen er ( ) +. Vi finner argumentet θ 3π/4 f.eks. fra følgende figur: 0 + 0j 0 +j I θ 3π/4 R Dermed er z (cos( 3 ) 4 π)+j sin(3 4 π).

6 Løsning, eksamen i Matematiske metoder. 7. desember Oppgave 7 Får flere steder i svaret bruk for sin(π/6) / ogcos(π/6) 3/. a) b) v(t) dr(t) dt v(π/6) [ 4sin(π/6), cos(π/6) ] r(t) r(t) v(π/6) v(π/6) [ 4sin(t), cos(t)] [ 4, 3 ] ( ) + ( 3 ) 7 [, ] 3 ( sin(t)) +(4cos(t)) 4sin (t)+6cos (t) Farten er den deriverte av r, som deriveres med kjerneregelen: dr dt 4sin (t)+6cos (t) (4 sin(t)cos(t)+6 cos(t) ( sin(t))) dr 8 (/) 3/ 3 3/ / 3( 6) (π/6) dt 4 (/) + 6( 3/) En alternativ måte som ikke gjennomføres her er å se på normen til projeksjonen av hastighetsvektoren ned på enhetsvektor langs r(π/6)..