Anvendelser av integrasjon.
|
|
- Espen Holte
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Ukeoppgaver, uke 44, i Matematikk, Anvendelser av integrasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk Ukeoppgaver uke 44 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden Anvendelser av integrasjon. Oppgave Flatestykket F er trekanten i. kvadrant avgrenset av koordinataksen og linja gitt ved y = x (tegn figur). a ) Regn (ved hjelp av skivemetoden) ut volumet av det legemet vi får når F roterer om x aksen. Ser du hvordan du også kunne funnet dette volumet ved en kjent volumformel fra geometrien? b) La nå F rotere rundt linja gitt ved y =. Regn ut volumet av dette legemet ved integrasjon. Det er mulig å modifisere formelen for volum av omdreiningslegeme om x aksen for å løse oppgaven. Men det er nok mer nyttig læring i åforsøkeå konstruere integralformelen (ved hjelp av figur og Riemannsum) fra grunnen av. c) La F rotere rundt y aksen. Regn ut volumet ved hjelp av sylinderskallmetoden. Er det tilfeldig at svaret er det samme som i a oppgaven? d) La F rotere rundt aksen gitt ved x =. Regn ut volumet av det omdreiningslegemet som nå framkommer. Oppgave Koordinataksene og kurven gitt ved y = 36 4x ( x 3) avgrenser en kvart ellipse i første kvadrant i xy planet. a ) b ) d ) Sett opp et integral (ved skivemetoden) for volumet av den halve ellipsoiden vi får når dette flatestykket roteres om x aksen. Regn ut dette volumet. Sett opp et integral (ved sylinderskallmetoden) for volumet av den halve ellipsoiden vi får når dette flatestykket roteres om y aksen. Regn ut dette volumet (ved hjelp av substitusjon). Oppgave 3 Et flatestykke F i xy planet er avgrenset av x aksen, y aksen og linja gitt ved y = h h r x, der h og r er positive konstanter. a ) Tegn opp flatestykket F, og angi koordinatene i hjørnene. b) La K være det legemet som framkommer når F roterer om y aksen. Bruk sylinderskallmetoden til å regne ut volumet av K
2 Ukeoppgaver, uke 44, i Matematikk, Anvendelser av integrasjon. Hva slags legeme er K? Stemmer svaret med forrige deloppgave med den kjente formelen for slike legemer? Oppgave 4 Et flatestykke F i x planet ligger i første kvadrant (x, y ), og er avgrenset av parabelen gitt ved likninga y = x, linja gitt ved y = h, der parameteren h er en positiv konstant, og y aksen. a ) Skisser flatestykket F, og angi koordinatene i skjæringspunktet mellom parabelen og den horisontale linja gitt ved y = h ifiguren. b ) Regn ut arealet av F. Et romlegeme dannes ved at F roterer om x aksen. Regn ut volumet av dette legemet, hvis h =. d ) Regn ut volumet av det legemet som dannes når F roterer om linja gitt ved y =, med h =. e ) Et romlegeme T dannes ved at F roteres om y aksen. Regn ut V (h), volumet av T (som funksjon av h). f ) En vannfyllt tank er slik at innsiden har fasong som legemet T (enheter i desimeter), med høyde meter. Vann lekker ut fra bunnen med en fart på liter i minuttet. Hvor raskt minker dybden i det øyeblikket dybden er h = 5 desimeter? Hint: Det kan være en ide åtaentittpå eksemplene i slutten av kapittel 3.3 (Rate-Of-Change) før du løser denne delopgaven. Etter oppgave 8 er det flere øvelsesoppgaver om volum av omdreiningslegemer. Oppgave 5 La f være den lineære funksjonen gitt ved f(x) = 3 x, L være den delen av grafen til f som 4 ligger mellom puntene med koordinater (, ) og (4, 3). a ) Regn ut buedifferensialet ds for denne funksjonen. b ) Bruk integrasjonsformelen for buelengde til å regne ut lengden av L. Sjekk svaret ved en direkte geometrisk utregning. Finn arealet av den flaten vi får når L roterer om x aksen (ved integrasjon). d ) Finn arealet av den flaten vi får når L roterer om linja gitt ved y = (ved integrasjon). e ) Finn arealet av den flaten vi får når L roterer om y aksen (ved integrasjon). f ) Finn arealet av den flaten vi får når L roterer om linja gitt ved x = 4 (ved integrasjon). Hvorfor blir svaret på de to siste deloppgavene like? Oppgave 6 La K være kurvestykket gitt ved likningen y = x, x. a) La ds være buedifferensialet til y. Sett opp ds (som et eksplisitt utrykk med x).
3 Ukeoppgaver, uke 44, i Matematikk, Anvendelser av integrasjon. 3 b) La L være lengden av K, S y overflaten av det flatestykket vi får om K roteres om y aksen og S x overflaten av det flatestykket vi får om K roteres om x aksen. Sett opp integraler som gir L, S y og S x. Det vil si at dere skal skrive opp uttrykkene så langt dere kommer uten å begynne å integrere. c) Regn ut S y (både eksakt og som desimaltall, prøv å klare det uten bruk av formelsamlinga). d ) I formelsamlinga (kap.5, formel 6, s. 8) er følgende formel oppgitt: x ± a dx = x x ± a ± a ln x + x ± a + C Bruk denne til å regne ut L (både eksakt og som desimaltall). e) RegnutS x numerisk, dvs. som desimaltall. Bruk kalkulator, Maple eller hva dere måtte ønske, men gi en kort forklaring på hvordan dere fant tallet. Oppgave 7 La kurven L være grafen til funksjonen gitt ved formelen f(t) = et + e t, t ln() a ) Vis at for denne funksjonen er ds = et + e t dt. b ) Finn lengden av L. Finn overflatearealet av det flatestykket vi får når L roterer om x aksen. Oppgave 8 Hvis vi har et kurvestykke gitt av vektorfunksjonen r(t) =x(t),y(t)], t t t har vi en alternativ fysisk utledning av formelen for buelengde. Denne kan lett utvides til kurver i rommet: Hastighetsvektoren er v(t) erẋ(t), ẏ(t)], og banefarten er v(t) = v(t) = ẋ(t) +ẏ(t). Konstant fart er veg dividert med tid, så veg er fart multiplisert med tid. På etδt-intervall gir dette vegen v(t ) Δt, som integreres opp til s = t t v(t) dt. Vifår dermed formelen ẋ(t) s = +ẏ(t) dt. t a ) Test ut denne formelen ved å regne ut omkretsen av en sirkel med radius R, parametrisert ved R cos(t),rsin(t)], t π. b) Kurvengittvedy = f(x) kan parametriseres ved x, f(x)] (altså navnebytte fra t til x på parameteren). Bruk dette til åutledeatds = +(y ) dx fra ds = ẋ +ẏ dt. Oppgave 9 Et flatestykke F er avgrenset av x aksen, linjene gitt ved x =ogx = og grafen til funksjonen f gitt ved formelen f(x) = x a ) Finn volumet av det omdreiningslegemet som framkommer når F roterer om y aksen. b ) Finn volumet av det omdreiningslegemet vi får når F roterer om linja gitt ved x =. Finn volumet av det omdreiningslegemet som framkommer når F roterer om x aksen. d ) Finn volumet av det omdreiningslegemet vi får når F roterer om linja gitt ved y =.
4 4 Ukeoppgaver, uke 44, i Matematikk, Anvendelser av integrasjon. Oppgave : Eksamensoppgave 3, august 3 En funksjon f er gitt ved f(x) = +x D f = R a ) Forklar hvorfor grafen til f i sin helhet ligger over x aksen. b ) Et flatestykke F er avgrenset av x aksen, y aksen, linja x = og grafen til f. Regn ut arealet av F. Finn volumet av det rotasjonslegemet som framkommer når flatestykket F roteres om y aksen. 4..9, Hans Petter Hornæs
5 Ukeoppgaver, uke 44, i Matematikk, Anvendelser av integrasjon. 5 Fasit, Anvendelser av integrasjon. Oppgave F er en rettvinklet trekant, med begge kateter av lengde, så horisontal avgrensning er x. a) V = πy dx = π ( x) dx = π ( x + x dx = π x x + ] 3 x3 = π 3 Legemet blir en (liggende) kjegle med grunnflateradius r =oghøydeh =,ogvolumformlen for kjegle er 3 πr h. b) Skiven får nå et hull med radius i midten. Ytre radius er f(x)+. Volumelementet dv kan da skrives dv = π(y +) dx π dx = π ( ( x +) ) dx = π ( x 4x +3 ) dx, så volumet er V = π ] x 4x +3dx = π 3 x3 x +3x = π( 3 +3)= 4π 3 c) V = πxy dx =π x( x) dx =π x x ) dx =π x ] 3 x3 = π 3 d ) Radien i sylinderskallet blir nå x, så volumelementet blir dv =π( x)( x) dx, og volumet er V = π( x) dx =π x + x ) dx =π x x + ] 3 x3 = π 3 som vi geometrisk ser stemmer da legemet er en sylinder med radius og høyde, fratrukket en kjegleformet fordypning med radius og høyde. Oppgave 3 3 a) V = π y dx = π 36 4x dx b) V = π 36x 4 ] 3 3 x3 = π( ) = 7π 3 3 c) V =π xy dx =π x 36 4x dx d ) Substituer med u =36 4x, du = 8xdx xdx= 8 du. ØG: u = =,NG:u =36 4 = 36: V = π u / du = π ] u3/ = π ( 36 ) 36 =36π. 36 6
6 6 Ukeoppgaver, uke 44, i Matematikk, Anvendelser av integrasjon. Oppgave 3 a) F er en rettvinklet trekant med koordinataksene som kateter. Hypotenusen skjærer y aksen ved y = h og x aksen ved x = r. b) V =π 3 πr h r xy dx =π r hx h r x dx =π hx h ] r 3r x3 ( =π hr ) 3 hr = Dette blir en kjegle med grunnflateradius r og høyde h, og volumfomelen for en kjegle er utledet. Oppgave 4 a) h ( h, h) F y = x h b) A = h h x dx = hx 3 ] h x3 = h h 3 ( h ) 3 = 3 h h Ved skivemetoden har vi volumformelen for området mellom y = h og y = x,rotertom x aksen: V x = π ( y ) y dx = π ( x 4) dx = π ] 5 x5 = 4π 5 d) Vedskivemetodenblirradienien dx skive x, og dermed volumet π( x ) dx: e ) f ) V y= = π ( x ) dx = π π ( x + x 4) dx = x 3 x3 + ] 5 x5 = π ( Sylinderskallmetoden gir formelen V y = h πx(y y ) dx: V y = h πx(h x ) dx =π h π hx 4 x4 hx x 3 dx = ] h Vi har fra forrige deloppgave at V (h) = πh,ogdermed dv dh dh =når h = 5. Det spørres etter at dv dt dt ) = 8π 5 ( =π h h ( ) ) 4 h = 4 πh = πh. Det er dessuten oppgitt, og vi kan ved kjerneregelen sette opp dv dt = dv dh dh =π 5 dh dt dt dh dt = 5π (desimeter i minuttet)
7 Ukeoppgaver, uke 44, i Matematikk, Anvendelser av integrasjon. 7 Oppgave 5 a) Vi har y = f (x) =3/4, og dermed er lengdeelementet ds: +(y ) = +(3/4) = 6/6 + 9/6 = 5/6 = 5/4 ds = +(y ) dx ds = 5 4 dx. b ) Lengden er ] ds = x= 4 dx = 4 x =5 som vi også finner fra Pytagoras, da L er hypotenusen i en rettvinklet trekant med kateter av lengde 4og3. c) Flateelementet ds er arealet av et sylindrisk (vertikalt) bånd med bredde ds og radius y, så det er ds =πy ds, og arealet er S = x= πy ds =π 3 4 x 5 dx =π 4 ] xdx=π 3 x =5π d) Nåerradienibåndet y +,så flateelementet er ds =π(y +)ds, og arealet er S = x= ( ) π(y +)ds =π 4 x + dx =π 4 3 x + 5 ] 4 4 x =5π e) Vi får nå en horisontal variant av dette båndet, og radien er avastanden x inn til y aksen, og dermed arealelement ds = πxds, og overflate S = x= πx ds =π ] xdx=π 8 x =π f) Radien i båndet er nå 4 x, så ds =π(4 x) ds, og S = x= π(4 x) ds =π (4 x) 5 4 dx =π xdx=π 5x 5 8 x ] 4 =π Kjeglen har akkurat samme fasong som i forrige deloppgave, men nå har den spissen ned. Oppgave 6 a) y =x, så ds = +(y ) dx = +4x dx. b) L = x= ds = +4x dx S y = x= πx ds = πx +4x dx S x = x= πy ds = πx +4x dx
8 8 Ukeoppgaver, uke 44, i Matematikk, Anvendelser av integrasjon. c) S y er det enkleste av disse tre integralene, da en substitusjon med u =+4x rakt fører til målet. du =8xdx xdx= 8 du, ØG=+4 =5,NG =+4 =: d ) S y = π 8 5 u / du = π 4 ] 5 3 u3/ = π ( 5 ) Det er viktig for bruken av formelen at det ikke står noe tall foran x. Dette oppnåes ved å sette 4 tallet utenfor slik: ( ) +4x = x = x = x + 4. Nå kan formelen brukes, med a =/4 (og + varianten i ±): L = x + 4 dx = x x /4 ] ln x + x + = 4 ( ( )) ln + + ( + ) 4 8 ln( /4) = e ) 5 + ln( + 5/) ln(/) 5 = 4 + ln( + 5) 4 Med Maple kommer vi fram til S x 3.8 med kommandoen > evalf(int(*pi*x^*sqrt(+4*x^),x=..)); Oppgave 7 a) f (t) =(e t e t )/ så ( e f (t) t e t ) = = ( (e t ) e t e t + ( e t) ) = 4 4 et + 4 e t Dette medfører at vi har +f (t) =+ 4 et + 4 e t = 4 et e t Nå kan vi innse at dette må være det samme som ( (e t + e t )/ ) påfleremåter. En mulighet er å regne sammen ( (e t + e t )/ ) (siden svaret er oppgitt er det jo mulig åse at det er dette vi skal fram til). En annen mulighet er å se at uttrykket for +f (t) er det samme som det for f (t),bortsett fra motsatt fortegn på midterste ledd. Dette tilsvarer en endring fra. til. kvadratsetning. Vi kan derfor gjøre tilsvarende omforming som ved utregning av f (t) baklengs, etter først åskrive som et e t osv. Vi har derfor at ds = (e +f (t) dt = t + e t ) dt = et + e t dt b ) Siden L = b L = ln t=a e t + e t ds, harvi dt = e t e t ] ln = ( e ln() ) ] e ln() (e e ) = ( )=3 4
9 Ukeoppgaver, uke 44, i Matematikk, Anvendelser av integrasjon. 9 Overflatearealet er S x =π ln() t= yds.sidends = f(t) dt er yds= f(t) ds = f(t) dt, ogvi har ln() ( e t + e t ) ln() S x =π dt =π 4 et e t dt =π 8 et + t ] ln() 8 e t ( = π 4 eln() +ln() ) 4 e ln() ( 4 e + 4 e Siden ln() = ln =ln(4)ere ln() =4.Siden ln() = ln =ln(/ )=ln(/4) er e ln() =/4, og vi kan regne sammen til S x = π +ln() ] ( ) 5 = π 4 6 +ln() )] Oppgave 9 a ) Rotasjon om y aksen (sylinderskallmetoden) gir : V y =π xy dx =π x x dx =π dx =π b ) Avstanden fra en vilkårlig verdi x i mellom og, og aksen x =erx i. Denne gir radien i sylinderskallet, som derfor får volumet ΔV =π(x i ) f(x i )Δx. Dette integreres opp til π (x )y dx=π x dx =π x ln x ] =π( ln()) ( ln())] = π( ln()) d ) Formel for rotasjon om x aksen (skivemetoden, kap. 6.) gir: V x = π y dx = π x dx = π x ] = π ( )] = π/ Ved skivemetoden blir den vertikale skiva nå en sylinder med et sylindrisk hull. Hele sylinderen har avstanden fra y i til aksen y = som radius, og dette er R i = y i +. Hullet har avstanden fra omdreiningsaksen til nedre avgrensning, som er x aksen, som radius. Denne avstanden er r i =. Dermed får skiva volum ΔV i = πri Δx πri Δx = π ( (y i +) ) Δx, og dette integreres opp til : V y= = π (y +) dx = π y +ydx= π x + x dx = π ] x +ln x = π ( /+ln()) ( + ln())] = π(/+ln) Oppgave a ) b ) Siden x er+x >. Dermed er både teller og nevner i funksjonsuttrykket alltid større enn. Derfor er f(x) > for alle x. Integrerer funksjonen for å finne arealet: A = +x dx = arctan(x)] =arctan() arctan() = π/4 =π/4
10 Ukeoppgaver, uke 44, i Matematikk, Anvendelser av integrasjon. Ved sylinderskalmetoden finner vi at dette volumet er V y =π xy dx =π x +x dx Dette integreres ved å substituere med nevneren: u = x +,u =x du/dx =x du =xdx du = xdx. Grensene for u er + =og+ =: V y =π u du = π ln u ] = π(ln() ln()) = π ln() Hans Petter Hornæs
Fasit, Anvendelser av integrasjon.
Ukeoppgaver, uke, i Matematikk, Anvendelser av integrasjon. 5 Fasit, Anvendelser av integrasjon. Oppgave F er en rettvinklet trekant, med begge kateter av lengde, så horisontal avgrensning er x. a) V πy
DetaljerEKSAMEN. Ingeniør- og Fleksibel ingeniørutdanning.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Matematikk. EMNENUMMER: REA42/REA42F EKSAMENSDATO: Mandag 9. august 2 KLASSE: Ingeniør- og Fleksibel ingeniørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGANSVARLIG: Hans Petter Hornæs
DetaljerLøsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2
Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
DetaljerI løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden Delvis integrasjon må brukes to ganger.
Ukeoppgaver, uke 45, i Matematikk, Delvis integrasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk Ukeoppgaver uke 45 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea4
DetaljerFasit, Implisitt derivasjon.
Ukeoppgaver, uke 8, i Matematikk, Implisitt derivasjon. 5 Fasit, Implisitt derivasjon. Oppgave Vi kaller den deriverte av y for y, og dette blir første ledd. Andre ledd må deriveres med kjerneregelen,
DetaljerEKSAMEN. Hans Petter Hornæs og Britt Rystad
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk. FAGNUMMER: F74A EKSAMENSDATO: Mandag. august 2 SENSURFRIST:. september 2 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 4.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs og
DetaljerEKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: REA4 EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL
DetaljerFinn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene.
Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag oktober 01 kl 1:00 Antall oppgaver: 16 Løsningsforslag 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer Tegn
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013
BOKMÅL MAT - Vår Løsningsforslag til eksamen i MAT Vår Oppgave Finn polarrepresentasjonen til i. i Skriv på formen x + iy. i Løsning Finner først modulus og argument til i: i = ( ) + ( ) = 4 = arg( ( )
DetaljerEKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 sider inklusiv forside.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematiske metoder. FAGNUMMER: JøG 0 EKSAMENSDATO: 7. desember 003 SENSURFRIST: 7. januar 004. KLASSE: HIS 003/004. TID: kl. 8.00 3.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL
DetaljerEKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I - LØSNING Mandag 15. desember 2014 Tid: 09:00 14:00
Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 11 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I - LØSNING Mandag. desember 214 Tid: 9: 14:
DetaljerObligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Oppgave : Obligatorisk oppgave i MAT, H- Løsningsforslag a) Vi skal regne ut dx. Substituerer vi u = x, får vi du = x dx. De xex nye grensene er gitt ved u() = = og u() = = 9. Dermed får vi: 9 [ ] 9 xe
Detaljer. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet.
MA 1410: Analyse Uke 47, 001 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma1410 H01 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 11.1: 7. f(x, y) = 1 16 x y. a) Definisjonsområde D: f
DetaljerLøsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned
DetaljerVolum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Volum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 4. oktober 011 Kapittel 6.. Volum ved sylindriske skall 3 Skall-metoden z = g(x) 1 1 1 1 3 1 1 3 z
DetaljerEKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematiske metoder 1. FAGNUMMER: JøG10 EKSAMENSDATO: 5. april 00. SENSURFRIST: 16. mai 00. KLASSE: HSIS 00-005. TID: kl. 8.00 1.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL
DetaljerLøsning IM3 15.06.2011.
Løsning IM 15611 1 Oppgave 1 Innsetting viser at både teller og nevner er i origo, så uttrykket er ubestemt Siden det ikke er noen umiddelbar omskriving som forenkler uttrykket satser vi på å vise at grensen
DetaljerAreal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Areal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 27. september 20 Kapittel 5.6. Substitusjon og arealet mellom kurver 3 Areal mellom kurver Problem
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 47. Oppgaver til seminaret 25/11
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 47 Avsn. 7.1: 1, 11 På settet: S.1, S.2, S.3, S.4 Oppgaver til seminaret 25/11 Oppgaver til gruppene uke 48 Løs disse først så disse Mer dybde Avsn. 6.6 3 Avsn. 6.7 3, 7 Avsn.
DetaljerUttrykket 2 kaller vi en potens. Eksponenten 3 forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet 2 med seg selv. Dermed er ) ( 2) 2 2 4
9.9 Potenslikninger Uttrykket kaller vi en potens. Eksponenten forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet med seg selv. Dermed er 8 Når vi skriver 5, betyr det at vi skal multiplisere
DetaljerLøsning, Stokes setning
Ukeoppgaver, uke 4 Matematikk, tokes setning 1 Løsning, tokes setning Oppgave 1 a) b) c) F x y z x y z F x x + y y + z z 1+1+1 iden F er feltet konservativt. ( z y y ) ( x i z z z ) ( y x x x ) k i +k
DetaljerDEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1
HELDAGSPRØVE I MATEMATIKK 1T HØST DEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) Oppgave 1. Trekk sammen uttrykkene: a) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1 = a. b) 1
DetaljerEksamen 1T høsten 2015, løsningsforslag
Eksamen 1T høsten 015, løsningsforslag Del 1, ingen hjelpemidler Oppgave 1 1,8 10 1 0,0005 = 1,8 10 1 5 10 4 = 1,8 5 10 1+( 4) = 9 10 8 Oppgave Velger addisjonsmetoden Legger sammen ligningene: x + y =
DetaljerLøsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister 6. desember 2006. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA654/AA656 Matematikk 3MX Elever/Privatister 6. desember 6 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det
DetaljerIR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer
Utsatt Eksamen 8. juni 212 Eksamenstid 4 timer IR1185 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del 2 uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare
DetaljerLøsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet
DetaljerEKSAMEN. Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- men (6stp.).
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: F74A EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- KLASSE: men 6stp.). TID: kl. 9. 4.. FAGLÆRER:
DetaljerMAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag
MAT 1001, Høsten 009 Oblig, sforslag a) En harmonisk svingning er gitt som en sum av tre delsvingninger H(x) = cos ( π x) + cos (π (x 1)) + cos (π (x )) Skriv H(x) på formen A cos (ω(x x 0 )). siden H(x)
DetaljerBYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8
Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)
DetaljerInstitutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00
SENSORVEILEDNING MET 803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 9.04.05 Kl. 09:00 Innlevering: 9.04.05 Kl. 4:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven. Oppgave Beregn følgende
DetaljerStudieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag
Eksamen Fag: AA654 Matematikk 3MX Eksamensdato: 3. juni 005 Vidaregåande kurs II /Videregående kurs II Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Elevar / Elever Oppgåva ligg føre på begge
DetaljerEKSAMEN Løsningsforslag
7 desember EKSAMEN Løsningsorslag Emnekode: ITD5 Dato: 6 desember Hjelpemidler: Emne: Matematikk ørste deleksamen Eksamenstid: 9 Faglærer: To A-ark med valgritt innhold på begge sider Formelhete Kalkulator
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2
TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x
DetaljerLøsning, Oppsummering av kapittel 10.
Ukeoppgaver, uke 36 Matematikk 3, Oppsummering av kapittel. Løsning, Oppsummering av kapittel. Oppgave a) = +, = + z og z =z +. b) f(,, z) = +, + z,z + så (f(, 3, ) = +3, 3+, +3=7, 3, 5 c ) Gradienten
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2013
Eksamen REA30 R1, Våren 013 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Formlene for arealet A av en sirkel og volumet
DetaljerLøsning, Trippelintegraler
Ukeoppgaver, uke 7 Matematikk, rippelintegraler Løsning, rippelintegraler Oppgave a) b) c) 6 x + + ) d d dx x + +/) d dx x) d d dx x + + /] d dx x + /+/] dx x +6)dx 8 6 d ) ) d xdx 6 ) ) ) d d xdx 6 8
DetaljerEksamen AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 05.12.2007 AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister Nynorsk/Bokmål Oppgave 1 a) Deriver funksjonen: f x 2 ( ) = cos( x + 1) b) Løs likningen og oppgi svaret
DetaljerEKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1
EKSAMEN BOKMÅL DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember 15 9:-13: FAGKODE: FAGNAVN: IR151 Matematikk 1 HJELPEMIDLER: Del 1: kl 9.-11. Ingen Del : kl 11.-13. Lommeregner Lærebok etter fritt valg Matematisk
DetaljerS1 Eksamen våren 2009 Løsning
S1 Eksamen, våren 009 Løsning S1 Eksamen våren 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 a) Skriv så enkelt som mulig 1) x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 ) a b 3 a b 3 a 4a b 1 3 4a b 3 b 1 b) Løs likningene
DetaljerInnlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2
Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 1 Bestem den naturlige denisjonsmengden til følgende funksjoner.
DetaljerUbestemt integrasjon.
Ukeoppgaver, uke 4, i Matematikk 0, Ubestemt integrasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 4 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea04
DetaljerR2 - Funksjoner, integrasjon og trigonometri
R - Funksjoner, integrasjon og trigonometri Løsningsskisser Del I - Uten hjelpemidler Oppgave 1 Regn ut integralene: a) x cosx dx b) x x 3x dx c) ex cose x dx a) Delvis integrasjon: x cosx dx x sin x sin
DetaljerOppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener. Oppgaver fra kapittel
DetaljerEksamen. Fag: AA6524/AA6526 Matematikk 3MX. Eksamensdato: 6. desember 2006. Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II
Eksamen Fag: AA654/AA656 Matematikk 3MX Eksamensdato: 6. desember 006 Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Elevar/Elever Privatistar/Privatister
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i Eksamensdag: 9. april,. Tid for eksamen: : :. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus og
DetaljerArne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012
Arne B. Sletsjøe Oppgaver, MAT 101 1 En-variabel kalkulus 1.1 I de følgende oppgavene, i) finn alle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoniegenskapene til funksjonene ved å se på fortegnet til
DetaljerLøsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005
Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 5 Beregn grenseverdien Oppgave 1 (x 1) ln x x x + 1 Svar: Merk at nevneren er lik (x 1), så vi kan forkorte (x 1) oppe og nede og får (x 1) ln x ln x
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1101/MA
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Løsningsforslag, eksamen MA0/MA60 07.2.09 Oppgave La f() = e 4 2 2 8. a) Finn alle ekstremalpunktene til funksjonen
DetaljerEksamen R2, Høst 2012
Eksamen R, Høst 01 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene a) x cos f x e x b) 3 g x 5 1 sinx Oppgave
DetaljerNTNU. MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren Maple-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple02 28.
NTNU Institutt for matematiske fag MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren 2011 Maple-øving 2 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid
DetaljerEksamen 03.12.2009. REA3024 Matematikk R2
Eksamen 03.1.009 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgangsmåte: Rettleiing om vurderinga:
DetaljerIR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer
Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke
DetaljerR2 eksamen våren 2018 løsningsforslag
R eksamen våren 08 løsningsforslag DEL Uten hjelpemidler Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene a) f ( x) = cos ( x ) f ( x) = sin( x ) = sin( x ) b) g ( x) = x sin x g ( x) = sin x + x cos x = sin x + x
DetaljerOppgaver og fasit til seksjon
1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.1-3.3 Oppgaver til seksjon 3.1 1. Regn ut a b når a) a = ( 1, 3, 2) b = ( 2, 1, 7) b) a = (4, 3, 1) b = ( 6, 1, 0) 2. Finn arealet til parallellogrammet utspent av a =
DetaljerFasit, Separable differensiallikninger.
Ukeoppgaver, uke 46, i Matematikk 0, Separable differensiallikninger. 3 Fasit, Separable differensiallikninger. a ) Denne er ferdig på formenf(y)y = g(x) medf(y) =3y 2 og g(x) =2x: 3y 2 dy dx =2x 3y2 dy
DetaljerLøsningsforslag. Prøve i Matematikk 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 29. mai 2017 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Oppgave 1 Gitt matrisene.
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 29. mai 27 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 B = [ 2 3 4 ] og C = Regn ut, om mulig, summene A + B, A + B T og A +
DetaljerEksamen MAT 1011 Matematikk 1P Va ren 2014
Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Va ren 2014 Oppgave 1 (1 poeng) En hustegning har målestokk 1 : 50 På tegningen er en dør plassert 6 mm feil. Hvor stor vil denne feilen bli i virkeligheten når huset bygges?
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA45 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 5.5.: Kulen er grafen til rφ, θ) asinφ) cosθ)i + sin φ sinθ)j + cosφ)k), φ π, θ < π. Vi har slik at φ θ acosφ) cosθ)i + sinφ) sinθ)j + cosφ)k)
DetaljerEksamen R2 høsten 2014 løsning
Eksamen R høsten 04 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f x cos3x Vi bruker kjerneregelen
DetaljerPrøve i R2 Integrasjonsmetoder
Del 1 Hjelpemidler: ingen 1 Oppgave 1 Prøve i R Integrasjonsmetoder Caspar W. Hatlevik 19. oktober 1 Finn de ubestemte integralene og regn ut det bestemte integralet a. x + x + 1dx b. e 4x + x dx c. 1
DetaljerUendelige rekker. Konvergens og konvergenskriterier
Uendelige rekker. Konvergens og konvergenskriterier : Et absolutt nødvendig, men ikke tilstrekkelig vilkår for konvergens er at: lim 0 Konvergens vha. delsummer :,.,,,. I motsatt fall divergerer rekka.
DetaljerPrøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Prøve i Matte 1 BYFE DAFE 1 Dato: 3. mars 216 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. LØSNINGSFORSLAG Oppgave 1 Gitt matrisene A = [ 8 3 6 2 ] [ og
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010
TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 30. september 2010 2 Fremdriftplan I går 5.5 Ubestemte integraler og substitusjon
DetaljerSeparable differensiallikninger.
Ukeoppgaver, uke 46, i Matematikk 0, Separable differensiallikninger. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 46 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden
DetaljerLøsningsforslag. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller like mye.
Eksamen i FO929A - Matematikk Dato: 2013 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerLøsning del 1 utrinn Vår 13
/5/06 Løsning del utrinn Vår - matematikk.net Løsning del utrinn Vår Contents DEL Ingen hjelpemiddler Oppgave 9 + 576 = 868 95 8 = 56 c) d) 06 : = 0 Oppgave 8 min = timer og 8 minutter. 8hg = 0,8 kg c)
DetaljerLøsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatister eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA6524 Matematikk MX Elever - 05.12.2007 AA6526 Matematikk MX Privatister - 05.12.2007 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk
Detaljera) Ved avlesning på graf får man. Dermed er hastighet ved tid sekund lik.
Løsningsforslag utsatt eksamen Matematikk 2, 4MX25-10 (GLU2 5-10) 5.desember 2013 Oppgave 1 a) Ved avlesning på graf får man. Dermed er hastighet ved tid sekund lik. Ved å bruke tangentlinja i punktet
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)
DetaljerMatematikk 3MX AA6524 og AA6526 Elever og privatister 8. desember 2003
E K S A M E N LÆRINGSSENTERET Matematikk 3MX AA6524 og AA6526 Elever og privatister Bokmål 8. desember 2003 Videregående kurs II Studieretning for allmenne, økonomiske og administrative fag Les opplysningene
DetaljerLøsningsforslag til Eksamen i MAT111
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse
DetaljerDEL 1. Uten hjelpemidler. er a2 4 og a5 13. a) Bestem den generelle løsningen av differensiallikningen.
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f( x) cos( x ) b) g( x) x sin x Oppgave (5 poeng) Bestem integralene a) b) c) (4 3 ) d x x x 4 ln d 1 0 x x x x dx 4 x Oppgave 3 (3 poeng)
DetaljerOPPGÅVE 1. a) Deriver funksjonane: 2) 2. b) Bestem integrala: c) Løys likninga ved rekning: Ein halvsirkel med radius r og sentrum i origo er gitt ved
OPPGÅVE 1 a) Deriver funksjonane: 1) f( x) = 3tan( x) ) g( x) = x sinx b) Bestem integrala: 1) x cos x dx x ) x + 3 dx c) Løys likninga ved rekning: sin x+ 3cosx = x 0, π d) Ein halvsirkel med radius r
DetaljerLøsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2
DetaljerLøs likningssystemet ved å få totalmatrisen på redusert trappeform
Emne: IRF 10014 Matematikk 1. Lærer: Øystein Holje og Kent Ryne Grupper: Diverse. Dato: 04.1.015 Tid: 9.00 13.00. Antall oppgavesider:. Antall vedleggsider: 3, formelark. Sensurfrist: Hjelpemidler: Godkjent
DetaljerTerminprøve Sigma 1T Våren 2008 m a t e m a t i k k
Terminprøve Sigma 1T Våren 2008 Prøvetid 5 klokketimer for Del 1 og Del 2 til sammen. Vi anbefaler at du ikke bruker mer enn to klokketimer på Del 1. Du må levere inn Del 1 før du tar fram hjelpemidler.
DetaljerNTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29
MA0003 Ole Jacob Broch Norwegian University of Science and Technology MA0003 p.1/29 Oversikt, torsdag 13/1 Avsnitt 1.3: intervaller og intervallnotasjon definisjons- og verdimengden til en funksjon Avsnitt
DetaljerEksamen R2, Høst 2012, løsning
Eksamen R, Høst 0, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene a) cos f e Vi bruker produktregelen
DetaljerLøsningsforslag. og B =
Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT111, høsten 2016
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT, høsten 206 Innleveringsfrist: Mandag 2. november 206, kl. 4, i Infosenterskranken i inngangsetasjen
Detaljera) f(x) = 3 cos(2x 1) + 12 LF: Vi benytter (lineær) kjerneregel og får f (x) = (sin(7x + 1)) (sin( x) + x) sin(7x + 1)(sin( x) + x) ( sin(x) + x) 2 =
Innlevering DAFE ELFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Mandag 2. mars 205 før forelesningen 0:30 Antall oppgaver: 7 Løsningsforslag Deriver de følgende funksjonene. a) f(x)
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 45. Oppgaver til seminaret 10/11. Oppgaver til gruppene uke 46
OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 45 Avsn. 7.1: 3, 4 Avsn. 7.9: 22 På settet: S.1, S.2 Oppgaver til seminaret 10/11 Oppgaver til gruppene uke 46 Løs disse først så disse Mer dybde Avsn. 7.1 1, 2, 6, 7, 18 Avsn.
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag, eksamen MA11 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 21 Oppgave 1 a) Finn og klassifiser alle kritiske
DetaljerVår TMA4105 Matematikk 2. Løsningsforslag Øving 2. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag
TMA415 Matematikk 2 Vår 217 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 11.1.9: Den aktuelle kurven er gitt ved r(t) (3 cos t, 4 cos t, 5 sin t).
DetaljerSigbjørn Hals. Nedenfor har vi tegnet noen grafer til likningen y = C, der C varierer fra -2 til 3, med en økning på 1.
Retningsdiagrammer og integralkurver Eksempel 1 Den enkleste av alle differensiallikninger er nok y' = 0. Denne har løsningen y = C fordi den deriverte av en konstant er 0. Løsningen vil altså bli flere
DetaljerEksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 2007 Tidspunkt Antall oppgaver 4 Sirkelskive i radianer.
Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 007 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 4 Vedlegg Tillatte hjelpemidler Sirkelskive i radianer Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave
DetaljerLøsning, funksjoner av flere variable.
Ukeoppgaver, uke 3 Matematikk 3, funksjoner av flere variable 1 Løsning, funksjoner av flere variable Oppgave 1 a) = +=, b) =, =y3 d ) e ) = 3+= 3 Selv om ikke x er med kan det betraktes som funksjon av
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT 1100, H06
Løsningsforslag til eksamen i MAT, H6 DEL. poeng Hva er den partiellderiverte f z xyz cosxyz x sinyz + xyz cosyz xy cosyz x sinyz + xz cosyz cosyz xyz sinyz når fx, y, z = xz sinyz? Riktig svar b: x sinyz
DetaljerP(x, y) ) x. Dette er sirkellikningen. Et punkt P(x, y) ligger på denne sirkelen hvis og bare hvis koordinatene passer i likningen.
5.9 Sirkellikningen Fra kapittel 4.3 vet vi at sirkelen er det geometriske stedet for de punktene som har en bestemt avstand r fra et fast punkt S. Avstanden r kaller vi radien, og punktet S kaller vi
DetaljerKap : Derivasjon 1.
Ukeoppgaver, uke 36, i Matematikk 0, Kap. 3.-3.4: Derivasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 36 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/ing/allmennfag/emnesider/rea042
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 29/11-3/12
Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 9/11-3/1 Øyvind Ryan (oyvindry@ifiuiono December, 010 Oppgave 15 Oppgave 155 a 4A 3B 4 1 3 1 3 1 4 1 8 4 1 4 3 3 1 3 0 9 6 + 6 3 9 0 5 18 14 1 3 4 4 9 1 6 8 + 6
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bokmål Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 17. desember 2007, kl. 09-14. Oppgave 1 Gitt f(x) = x + x 2 1, 1 x 1. a) Finn og
DetaljerLøsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA03,.mars 00 Oppgave Tegn figur og finn en parametrisering for skjæringskurven
DetaljerForkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning
Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen
DetaljerLøsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA654 Matematikk 3MX 3. juni 005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11
Fasit til utvalgte oppgaver MAT uka 5/-9/ Øyvind Ryan oyvindry@ifi.uio.no) November Oppgave 9.. Vi skriver 5x 5 x )x ) A x B x og ser at vi må løse likningene Ax ) Bx ) x )x ) A B 5 A B 5. A B)x A B x
DetaljerEksamen R2 Høsten 2013 Løsning
Eksamen R Høsten 03 Løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f 5cos Vi bruker produktregelen
Detaljer