OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 47. Oppgaver til seminaret 25/11

Transkript

1 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 47 Avsn. 7.1: 1, 11 På settet: S.1, S.2, S.3, S.4 Oppgaver til seminaret 25/11 Oppgaver til gruppene uke 48 Løs disse først så disse Mer dybde Avsn Avsn , 7 Avsn , 7 18, 21 Avsn På settet G.1, G.2 G.3, G.4, G.5, G.6, G.7 G.8, G.9, G.10, G.11 G.12, G.13 Det er ikke noe seminar fredag 2/12, men orakeltjenesten vil gå som normalt. Det vil også bli tilbudt (utvidet) orakeltjeneste i ukene 49 og 50 (5/12-16/12); mer informasjon vil bli gitt. 1

2 2 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 47 OPPGAVE S.1 (Eksamen UiB-V08 Oppg. 7) OPPGAVE S.2 (Eksamen UiO) Du skal bruke trapesformelen til å beregne en tilnærmet verdi for integralet 1 0 e x2 dx. Hvor mange delintervaller må du bruke for å være sikker på at feilen er mindre enn 10 10? Er den tilnærmede verdien for stor eller for liten i forhold til den virkelige verdien? OPPGAVE S.3 (Eksamen NTNU) Funksjonen f er definert ved x ( π ) f(x) = sin 2 t2 dt. Finn et polynom p(x) slik at f(x) p(x) < 0, 02 når 0, 9 < x < 1, 1. 1 OPPGAVE S.4 (Eksamen NTH) (a) Hva blir volumet av figuren som fremkommer når y = x 2, 0 y h roteres om y-aksen? (b) Figuren i (a) er en tank som fylles med vann med konstant hastighet 2 m 3 /s. Hvor raskt øker vannhøyden når den er 1 m?

3 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 47 3 OPPGAVE G.1 (Eksamen UiB-V09-Oppg. 3) OPPGAVE G.2 (Eksamen UiB-H03-Oppg. 4)

4 4 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 47 OPPGAVE G.3 (Eksamen NTNU) Grunntallet e til den naturlige logaritmen kan defineres som løsningen x av ligningen x dt 1 = 1 t. ( ) Forklar hvorfor trapesmetoden med n = 1 gir en for stor verdi for integralet i ( ). Bruk dette til å utlede ulikheten Hvilken nedre skranke gir dette for e? e 2 2e 1 > 0. OPPGAVE G.4 (Eksamen UiB-H10-Oppg. 7)

5 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 47 5 OPPGAVE G.5 (Eksamen UiB-V15-OPPGAVE 6) OPPGAVE G.6 (Eksamen UiB) Et legeme er laget av en kule med radius R slik: først dreier en ut en sylinder med radius b og med akse gjennom kulesenteret. Langs sylinderaksen borer en så et hull med radius a. Dette blir et rørliknende legeme med veggtykkelse b a, der endene på rørstubben er en del av kuleoverflaten (se figuren). Regn ut volumet av legemet uttrykt ved a, b og R OPPGAVE G.7 (Eksamen NTH) Et vannkar fremkommer ved å dreie kurven x = 4 sin y, for 0 y π 2 om y-aksen. (Benevning for x og y er dm.) Sett opp et integral (uten å regne ut integralet) for vannvolumet når vanndybden midt i karet er h. Karet fylles med vann. Vannmengden som strømmer ned i karet per tidsenhet er konstant og lik 2 liter per minutt. Hvor fort øker vanndybden h når h = π/6 dm?

6 6 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 47 OPPGAVE G.8 (Eksamen UiB-V14-Oppg. 7)

7 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 47 7 OPPGAVE G.9 (Eksamen UiB-H07-Oppg. 6)

8 8 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 47 OPPGAVE G.10 (Eksamen NTNU) La k være et positivt tall, og la R være området i xy-planet begrenset av kurvene y = x k, y = h (h > 0) og y-aksen (se figur). (a) Området R roteres om y-aksen. Vis at volumet V til rotasjonslegemet er gitt ved V = V (h) = π 1+2/k h1+2/k. (b) Rotasjonslegemet gjøres om til en vanntank, og fylles med vann til en høyde lik 1. Deretter tappes vannet ut ved å bore et lite hull i bunnen. Ifølge en fysisk lov (Torricellis lov) vil vannet strømme ut med en hastighet som er proporsjonal med kvadratroten av vannhøyden over hullet. Hvis vi setter proporsjonalitetsfaktoren lik 1, har vi altså at dv = y, hvor y er dt vannhøyden. På grunn av Torricellis lov finnes det en verdi av eksponenten k som gjør at vannhøyden avtar med konstant hastighet. Finn denne verdien av k. Hvor lang tid tar det før tanken er tom med denne verdien av k? (Svaret vil komme ut som et ubenevnt tall, siden vi har underslått alle enheter ovenfor.) OPPGAVE G.11 (Eksamen NTNU) La funksjonen f være gitt ved f(x) = 2e x2 x. (a) Vis at f har nøyaktig ett nullpunkt c og at c (0, 1). (b) La R være området i første kvadrant begrenset av koordinataksene og kurven y = f(x). Vis at volumet, V, av omdreiningslegemet som fremkommer ved å rotere R om y-aksen er gitt ved V = π 3 (6 3c 2c3 ). (c) Finn c med en nøyaktighet på tre desimaler vha. Newtons metode og bruk dette til å anslå en tilnærmet verdi av V.

9 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 47 9 OPPGAVE G.12 (Eksamen NTH) Figuren viser en kulekalott av høyde h og radius a i en kule med radius r (kulekalotten er den øvre del av figuren). Finn volumet til kulekalotten, uttrykt ved a og h, ved å rotere et passende plant område om en passende akse. Du kan anta at h r. OPPGAVE G.13 (Eksamen NTNU) Du får til denne oppgaven oppgitt at buelengden s til en kurve i planet gitt ved ligningen y = f(x) fra x = a til x = b er gitt ved s = b a 1 + (f (x)) 2 dx. Du bor 3 km fra havet, og fra huset ditt i origo (se figuren under) går det en vei langs kurven 25y 2 = 4x 5, x [0, 3] ned til stranden som ligger på linjen x = 3. En dag bestemmer du deg for å sykle eller gå ned til stranden for å bade. Når du sykler må du sykle på veien, men du kan når som helst parkere sykkelen og gå det siste stykket i en rett linje vinkelrett mot strandkanten (det spiller ingen rolle hvor på stranden du bader). (a) På hvilket punkt (x, y) på veien vil du parkere sykkelen og begynne å gå dersom du ønsker å komme frem på kortest mulig tid når du vet at du sykler 3 ganger raskere enn du går? Husk å bevise at din løsning faktisk gir den korteste reisetiden. (Vi antar at både gang- og syklehastigheten er konstant.) (b) La funksjonen f være gitt ved f(x) = 1 + x 3. For 0 < x < 2 er f (x) < 3/2 (du behøver ikke å vise det). Bruk trapesmetoden for å finne tallet I = x3 dx

10 10 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 47 med en feil mindre eller lik 1/16. Kan du ut ifra denne tilnærmingen konkludere med at det tar mindre enn 21 minutter å dra ned til stranden på raskest mulig måte når ganghastigheten er v = 6 km/t? Fasit/hint på neste side

11 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE Fasit/hint til oppgavene For fasit/løsningsforslag til gamle eksamensoppgaver fra UiB, se vevsiden Oppgave S Oppgave S.4. (a) πh2. (b) 2 m/s. 2 π Oppgave G.3. For stor verdi siden grafen til 1/t er konveks (= concave up ). Trapesmetoden med n = 1 gir den tilnærmede verdien T 1 = (e 2 1)/2e, som er større enn e (1/t) dt = 1, som gir ulikheten. Faktoriseringen 1 e2 2e 1 = [e (1 + 2)][e (1 2)] gir e > ] Oppgave G.6. [(R 4π 2 a 2 ) 3/2 (R 2 b 2 ) 3/ Oppgave G.7. 2 dm/min. (Hint: vannvolumet du finner først er V (h), en π funksjon av h, gitt ved et integral av typen h dv. Du kan finne ved hjelp av fundamentalteoremet i kalkulus, uten å måtte eksplisitt regne ut V (h). kjerneregelen: dv = dv dh.) dt dh dt 0 dh Bruk så Oppgave G.10. (a) Skivemetoden: V = h 0 π(y1/k ) 2 dy. Sylinderskallmetoden: V = h 1/k 2πx(h x k )dx. (b) Ved (a) og Torricellis lov får vi y 1/2 = 0 d [ π dt 1+2/k y1+2/k 2/k dy dy ] = πy, som gir at er konstant hvis og bare hvis k = 4. Tanken dt dt er tom for t = π. Oppgave G.11. (a) For eksistens av nullpunkt c: Bruk at f er kontinuerlig med f(0) > 0 og f(1) < 0 og skjæringssetning. For å konkludere at c er entydig (eneste nullpunkt): bruk f.eks. at f (x) < 0 når x 0, slik at f er avtagende og kan dermed kun ha ett nullpunkt i [0, ), og merk at f(x) > 0 når x (, 0] (lett!), slik at f ikke kan ha nullpunkt i (, 0]. (b) V = 2π c xf(x) dx og bruk substitusjonen 0 u = x 2 og likheten 2e c2 c = 0 fra (a). (c) c = 0, 896 (etter fire iterasjoner). Siden f(0, 8955) > 0 og f(0, 8965) < 0, ser vi at c (0, 8955, 0, 8965), slik at c = 0, 896 med en nøyaktighet på tre desimaler. π Oppgave G.12. Volumet er: 6 h(3a2 + h 2 ). [Rotér f.eks. området r h y r2 x 2, 0 x a om x-aksen. Fra figuren er r = a2 +h 2 2h.] Oppgave G.13. Se Oppgave 6 i media/tma4100/eksamen/lf tma k.pdf LYKKE TIL! Andreas Leopold Knutsen