EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 26. mai SENSURFRIST: 16. juni KLASSE: HIS TID: kl

Transkript

1 KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 26. mai SENSURFRIST: 16. juni KLASSE: HIS TID: kl FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 4 (innkl. forside) TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller. INNFØRING MED PENN, evt. trykkblyant som gir gjennomslag. Ved innlevering skilles hvit og gul besvarelse og legges i hvert sitt omslag. Oppgavetekst, kladd og blå kopi beholder kandidaten. Husk kandidatnummer på alle ark.

2 Eksamen i Statistikk. 26. mai Hvert av de 12 bokstavpunktene teller likt ved bedømmelsen. Oppgave 1 (16.67%) Vekten av potetene i 2 kilos potetposer fra PotetOlsen varierer noe, og du skal i denne oppgaven anta at vekten er normalfordelt med μ = 2020 og σ = 80 (enhet gram). a ) Finn sannsynligheten for at en vilkårlig valgt slik pose veier under 2000 gram. b ) Finn sannsynligheten for at gjennomsnittsvekten av 16 slike poser er under 2000 gram. Oppgave 2 (8.33%) Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt potet fra en av PotetOlsens poteter er skadet er Kvaliteten varierer fra pose til pose (f.eks. pga. varierende lagringsbetingelser). Dette medfører at hvis du plukker ut to poteter fra samme pose og A er hendelsen første potet er skadet og B er andre potet er skadet er A og B ikke stokastisk uavhengige. Velger du ut to poteter fra samme pose er sannsynligheten for at minst en av dem er skadet Hva er sannsynligheten for at begge potetene er skadet om du velger to poteter fra samme pose? Anta du har plukket ut en tilfeldig potet fra en pose, og det viste deg at den var skadet. Du skal så plukke ut en potet til. Hva er da sannsynligheten for at denne andre poteten også erskadet? Oppgave 3 (25%) I PotetOlsens 5-kilos potetsekker skal du anta at vekten er normalfordelt N (μ x,σ), men μ x og σ er begge ukjente. En veiing av 5 slike poser ga følgende resultat (i gram): { 4953, 5082, 4814, 4891, 4918 } a ) b ) Finn empirisk gjennomsnitt x, empirisk standardavvik s og median x for dette datasettet. Svarene kan finnes ved kalkulator, det kreves ikke at utregning vises. Det har kommet opp påstander om at PotetOlsen er gjerrig på mengden poteter, og for å teste denne påstanden setter du opp hypotesetesten H 0 : μ x = 5000 mot H 1 : μ x < 5000, med signifikansnivå α =5%. Sett opp denne testen basert på etutvalgpå n = 5 poser. Det vil si sett opp en passende testobservator, kritisk verdi og forkastningsområde. Hva blir testens konklusjon med dataene i begynnelsen av denne oppgaven?

3 Eksamen i Statistikk. 26. mai c ) Du vil også sjekke om det er noen forskjell på mengden poteter i PotetOlsens poser og posene fra en annen leverandør, PottitHansen. Du skal anta vekten av potetene i PottitHansens poser er normalfordelt, N (μ y,σ), med samme standardavvik σ men muligens annen forventningssverdi μ y enn for PotetOlsen. Du skal defor sjekke m = 4 poser fra PottitHansen og sammenlikne med n =5poser fra PotetOlsen og gjennomføre den tosidige testen H 0 : μ x = μ y mot H 1 : μ x μ y, med signifikansnivå α =5%. Sett opp denne testen. Hva blir testens konklusjon hvis du bruker de 5 observasjonene fra begynnelsen av denne oppgaven for PotetOlsen, og PottitHansens 4 poser blir veid til { 4924, 5044, 5161, 5086 }? Med disse dataene blir gjennomsnittet y = og standardavviket s y = Du behøverikkevisedette. Oppgave 4 (16.67%) Sukkermengden (gram per liter) i en saftblanding skal undersøkes ved en velprøvd målemetode. Erfaring viser at målingene kan oppfattes som uavhengige observasjoner fra N(μ, 0.25)-fordeling. Forventningsverdien μ er det reelle sukkerinholdet, mens det kjente standardavviket σ = 0.25 er et mål på måleunøyaktigheten ved metoden. a ) Finn et 95% konfidensintervall for μ når en stikkprøve på n = 10 målinger ga gjennomsnitt x = (gram per liter). b ) Hva er den minste antall målinger n som må taeshviskraveteratbreddenpå 95% konfidensintervallet ikke skal overstige 0.1? Oppgave 5 (16.67%) Antall klikk på t sekunder på en Geigerteller (et instrument til åmåle radiokativitet) er Poissonfordelt Po (λt), der λ er forventet antall klikk per sekund og avhenger av styrken på radioaktiviteten.. a) For en klokke A er λ = λ x =1.3 (på grunn av selvlysende tall). Finn sannsynligheten for at det er nøyaktig 13 klikk i løpet av 10 sekunder på klokke A. Oppgaven skal løses med Poissonfordeling uten tilnærmingsmetoder. b) ForenannenklokkeB er λ = λ y =2.3. Begge klokkene skal observeres i 10 sekunder. Det kan da tenkes at det tilfeldigvis blir slik at klokke A gir minst like mange klikk som klokke B i 10-sekundersperioden. Regn ut sannsynligheten for dette. Det vil si regn ut P (X Y ), der X er antall klikk for A og Y er antall klikk for B iløpet av 10 sekunder. Her bør du nok bruke en tilnærmingsmetode for at ikke oppgaven skal bli urimelig vanskelig og arbeidskrevende.

4 Eksamen i Statistikk. 26. mai Oppgave 6 (16.67%) Anne skal spille et pengespill med terning mot Berit (som er banken ). Anne satser kr.5,- for å spille, og vinner kr.10,- (dvs. netto kr. 5,-) hvis hun slår en femmer og kr.20,- (dvs. netto kr. 15,-) hvis hun slår en sekser. Annes nettogevinst kan dermed betraktes som en stokastisk variabel X med følgende punktsannsynlighet f(x) = P(X = x): x f(x) a ) Finn forventningsverdien E (X) =μ og standardavviket σ til X. b ) Anne skal spille dette spillet 100 ganger. Hva er sannsynligheten for at hennes gevinst blir minst 97, 50 kroner? Annes gevinst må joværeettalldeleligpå5,menvedå bruke 97.5 behøver du ikke tenke mer på halvkorreksjon. Lykke til og god sommer!

5 Løsning, eksamen i Statistikk. 26. mai Løsningsforslaget inneholder en del kommentarer. Disse er selvfølgelig ikke en del av hva kandidatens besvarelse skal inneholde, men ment for studenter som senere bruker dette som øvelsesopgaver. Oppgave 1 ( ) a) P(X<2000) = Φ =Φ( 0.25) = 1 Φ(0.25) = = b ) Siden X N(μ, σ/ ( n)=n 2020, 80/ ) 16 = N (2020, 20) er ( ) ( ) P X<2000 =Φ =Φ( 1.00) = 1 Φ(1.00) = = Oppgave 2 Fra oppgaveteksten har vi at P (A) =P(B) =0.20 og P (A B) =0.35. At begge potetene er skadet er A B, og andre skadet om den første er det er B A. P(A B) =P(A)+P(B) P(A B) 0.35 = P(A B) P(A B) =0.05. P(B A) = P(A B) P(A) = =0.25 Kommentar: At P (B A) > P(B) kan vi tenke oss forklart med at om første potet er skadet er sjansen for at vi har fått en dårlig pose økt. Oppgave 3 a) x = , s =98.4 og x = b ) Hvis man regner ut s via formelen s 2 = (x 2 i nx2 )/(n 1) og avrunder x til 4931 får man svaret s = Denne avrundingsfeilen er så stor at det medfører trekk ved bedømmelsen. Siden standardavviket er ukjent må vibrukeent test. Det vil si at vi bruker T = X μ 0 S/ n = X 5000 S/ 5 som testobesrvator. Hvis H 0 er sann har denne en Students t fordeling med 5 1=4 frihetsgrader, og det er små observasjoneer av denne som er i overenstemmelse med H 1. Det vil si at vi forkaster H 0 for t< t α = t 0.05 = tab.4.3 = 2.132: Testprosedyre: Forkast H 0 om x 5000 s/ < For dataene i oppgaveteksten får vi t = / 5 = 1.55 som ikke er mindre enn 2.132, H 0 beholdes. Dataene gir ikke tilstrekkelig dokumentasjon på at PotetOlsen er gjerrig på potetene.

6 Løsning, eksamen i Statistikk. 26. mai c) Her må (bør) det brukes en uparet t test. Det vil si at testen baserer seg på fordelingsresultetet T = (X Y ) (μ x μ y ) T n+m 2 S 1 p n + 1 n altså students t fordelt med m + n 2 frihetsgrader (formelsamlinga. pkt. 3.3). Her er n =5,m =4oghvisH 0 er sann er μ x μ y =0sådaer T = X Y S p T 7 og observasjoner langt fra 0 (både positive og negative) er i overenstemmelse med H 1. Sannsynligheten for type I feil gitt at H 0 er sann, α =0.05, skal fordeles likt med α/2 =0.025 på begge sider av 0. Fra tabell 4.3 finner vi t =2.365 med 7 frihetsgrader: Testprosedyre: Forkast H 0 om x y s p 1/5+1/4 > Vi finner det polariserte standardavviket s p som observasjon av S p beskrevet i formelsamlinga, 3.3: s p = (5 1)s 2 x +(4 1)s 2 y = =98.7 slik at t = /5+1/4 =1.85 som ikke er større enn 2.365, H 0 beholdes. Dataene gir altså ikke tilstrekkelig dokumentasjon på at der er forskjell på mengden poteter i Olsens og Hansens poser. Oppgave 4 a ) Kan hente formelen for konfidensintervall for μ med kjent standardavvik σ fra formelsamlinga (pkt ): x z α/2 σ/ n, x+z α/2 σ/ n. Vi finner z α/2 = z =1.960 fra tabell 4.2, så konfidensintervallet er / 10, / 10 = 63.08, b ) Bredden på konfidensintervallet er (x + z α/2 σ/ n) (x z α/2 σ/ n)=2z α/2 σ/ n = / n =0.98/ n. Kravet er altså 0.98/ n 0.1 n 0.98/0.1 =9.8 n =96.04 Vi må altsåutføren =97 målinger. Hvis n = 96 blir bredden hårfint over 0.1, men 96 godtas også som korrekt svar.

7 Løsning, eksamen i Statistikk. 26. mai Oppgave 5 a) λt = = 13, så P(X = 13) = ! e 13 = b) P(X Y )=P(Y X 0), som enklest regnes ut via tilnærming til normalfordeling. For Poissonfordeling med parameter λt er μ = λt og σ = ( λt (formelsamlinga, pkt ). Dermed er (tilnærmet) X N 13, ) ( 13 og Y N 23, ) 23. μ y x =E(Y X) =23 13=10ogVar(Y X) =Var(Y )+Var(X) = = 36, så σ y x = 36 = 6 og vi har (tilnærmet) Y X N(10, 6). Dermed er ( ) 0 10 P(Y X 0) Φ =Φ( 1.67) = 1 Φ(0.67) = = Kommentar: Mer korrekt med halvkorreksjon, Φ ( ) = Siden det er en tilnærming, og verdiene på λ ene sikkert også er tilnærming, er det vel naturlig å konkludere med P (X Y ) 0.05 = 5%. Oppgave 6 a) E(X) = =0. σ = ( 5) = Kommentar: I spillteori kalles spill der forventningsverdien på gevinsten er 0 for rettferdige spill. b) Her må du bruke sentralgrensesetningen (tilnærming til normalfordeling) for åfåoverkommelig arbeidsmengde og vanskelighetsgrad. La Y være Annes gevinst. Siden de 100 spillene er uavhengig og har samme fordeling er μ Y = =0ogσY 2 = = = 5833, slik at σ Y = 5833 = Derfor er (tilnærmet) Y N(0, 76.38) og P(Y>97.50) = 1 P(Y 97.50) 1 Φ det vil si ca. 10% sannsynlighet for å vinne minst 100 kroner. ( ) = 1 Φ(1.28) = = Kommentar: Siden fordelingen er litt skjev kan det tenkes at n = 100 er litt knapt til åfågod tilnærming til normalfordeling, men du har i praksis ikke noe valg for åfå løst denne oppgaven med rimelig arbeidsmengde. Hvis du er interessert kan det jo være en utfordring å løse det eksakt, ved hjelp av Maple eller at annet dataprogram. Jeg har ikke utført dette, og tar gjerne i mot løsningen om noen gjennomfører det.