ÅMA 110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK Løsningsforslag til regneøving nr. 12 (s. 34)

Transkript

1 ÅMA 110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK Løsningsforslag til regneøving nr. s. 34 Oppgave.1 Situasjon betraktes som 7 Bernoulliforsøk; Suksess: dyr velger belønning 1, motsatt fiasko. P suksess = p; X = antall av de 7 forsøkene der belønning 1 blir valgt, er binomisk fordelt, B7, p. a H 0 : p = 0.5 b H 1 : p 0.5 c Signifikansnivå = α = P forkaste H 0 H 0 riktig = P X = 0 p = P X = 7 p = 0.5 = = P type II-feil p = 0.8 = 1 γ0.8 = β0.8 = P ikke forkaste H 0 p = 0.8 = P 1 X 6 p = 0.8 = d Observert utfall av X: 3. Da 3 ikke er i forkastningsområdet {0, 7}, konkluderer vi med at H 0 ikke kan forkastes. Oppgave.2 Antar at X B19, p; skal teste H 0 : p = 0.4; H 1 : p 0.4. Test: Forkast H 0 dersom X 3 eller X. a Signifikansnivå = α = P X 3 p = P X p = 0.4 = P X 3 p = P X 11 p = 0.4 = b Styrkefunksjon: γp = P X 3 p + 1 P X 11 p p γp Skisse av styrkefunksjonen, γp, trekk en linje gjennom punktene: Oppgave.3 a Test: Forkast H 0 dersom X 2 eller X 13. Denne testen har signifikansnivå: α = P forkaste H 0 H 0 er i virkeligheten riktig = P X 2 p = P X p = 0.4 = b X B10, p; Test: Forkast H 0 dersom X k 1 eller X k 2. Tilpassing av k 1 og k 2 : k 1 P X k 1 P X k 2 k Dvs. Testen: Forkast H 0 dersom X 1 eller X 7, tilfredsstiller kravet om at signifikansnivået skal være mindre enn c Ja! 0.16 mot På tross av at n er mindre i den siste testen. Grunnen er at i den siste testen er sign.nivået høyere.

2 ÅMA 110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK Løsningsforslag til regneøving nr. s. 35 Oppgave.4 a P X 4 = 0.285, P X 8 = 1 P X 7 = = 0.256, P X = 10 = e /10! = b Test: Forkast H 0 dersom X 11, α = c Styrkefunksjon: γλt = P X 11 λt = 1 P X 10 λt = 1 10 x=0 e λt λt x /x!; γ9 = = d Da Xi λt N 0, 1, tilnærmet, får vi: X i 0.9 P z 0.05 = P X i λt X i z 0.05 X i z 0.05 X i λt = P X i z 0.05 X i λt X i + z 0.05 X i X i + z 0.05 X i Dvs. X i z 0.05 X i, 272 for X i, gir: 6.1, 7.5. X i+z 0.05 X i er tilnærmet 90 % konfidensintervall for λt. Innsatt Oppgave.5 X = antall alvorlige trafikkulykker i 5 uker. Vi antar at X P oissonλt; før fartsreduksjonen gjelder: λt = 1.25 = 6.0. Vi vil teste H 0 : λt = 6.0 mot H 1 : λt 6.0 Test: Forkast H 0 dersom X k, der k er tilpasset slik at sign.nivå er mindre enn eller ca lik Sign.nivå = α = P X k λt = 6.0 = k x=0 e 6 6 x /x! k α Dvs: Kritisk verdi k = 2 gir test med akseptabelt signifikansnivå. Oppgave.6 a X = antall jordskjelv i 5 år. Vi antar at X P oissonλt; for forrige 20-årsperiode gjelder: λt = 1.45 = 7.0. Vi vil teste H 0 : λt = 7 mot H 1 : λt 7 Test: Forkast H 0 dersom X k 1 eller dersom X k 2. Tilpassing av k 1 og k 2 : k 1 P X k 1 P X k 2 k Dvs. Dersom vi bruker k 1 = 2 og k 2 =, så vil signinfikansnivået være α = P X 2 λt = 7 + P X λt = 7 = = 0.08, som tilfredsstiller kravet om at signifikansnivået skal være høyest 0.1.

3 ÅMA 110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK Løsningsforslag til regneøving nr. s. 36 b Observert utfall av X: = 3, og k 1 3 k 2 ; konklusjon: Behold H 0! Det er ikke grunnlag for å forkaste H 0. c Styrkefunksjon: γλt = P X 2 λt + P X λt = P X 2 λt + 1 P X 11 λt = 1 11 x=3 e λt λt x /x!. a P S s = s 130 k=0 k Oppgave.7 p k 1 p 130 k for s = 0, 1,..., 130. Tilnæming: P S s P U s der U er normalfordelt med forventning np og standardavvik np1 p n = 130. b La Z N 0, 1. For p = 0.35: P 30 eller færre får infeksjon = P S 30 P Z = P Z 2.76 = For p = 0.15: P 30 eller færre får infeksjon = P S 30 P Z = P Z 2.70 = c Forventningsrett estimator for p: p = S/130; anslag: 29/130 = d Vil teste H 0 : p = 0.35 mot H 1 : p Test: Forkast H 0 dersom p 0.35/ /130 z 0.10 = 1.282; utfall av p 0.35/ /130: 3.03, dvs. konklusjon: forkast H 0! e p-verdi = P S 29 p = 0.35 P Z 2.94 = , der Z N 0, 1. Oppgave.8 a b X 0.20 P X 0.18 = P = P Z 1.00 = P 0.17 X 0.22 = P X 0.22 P X 0.17 X X = P P = P Z 1.00 P Z 1.50 = = P X k = P Z k 0.20 = 0.99 k 0.20 = 2.33 k = = c Et 1 α100% konfidensintervall for µ er gitt ved [X z α/2 σ n, X + z α/2 σ n ]. Med α = 0.01 blir z α/2 = z = 2.575, og med x = 0.141, n = og σ = blir 99% konfidensintervallet: Lengden til konfidensintervallet er: [ , ] = [0.6, 0.156] L = X + z α/2 σ n X z α/2 σ n = 2z α/2 σ n Dvs: L z α/2 σ n z α/2 σ n n 200z α/2 σ 2 = = = Dvs det må gjøres minst 107 målinger for å få et konfidensintervall med ønsket lengde.

4 ÅMA 110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK Løsningsforslag til regneøving nr. s. 37 d Dersom H 0 er korrekt er H 0 : µ = 0.15 mot H 1 : µ 0.15 Z = X µ 0 σ/ n = X 0.15 / N0, 1 Med signifikansnivå 5%, dvs α = 0.05, forkaster vi H 0 dersom Z z 0.05 = Observert: z = / = 1.56 Siden 1.56 > blir konklusjonen at vi forkaster ikke H 0. Dataene gir ikke grunnlag for å påstå at forventet mengde fosfor i utslippsvannet er mindre enn e Styrkefunksjonen gir oss sannsynligheten for å forkaste H 0 for ulike verdier av µ. Dvs f γµ = P forkaste H 0 µ = P X 0.15 / µ = P X / µ X µ = P / / µ / = P Z 0.15 µ / γ0.14 = P Z / = P Z 0.09 = Med generell n er styrkefunksjonen gitt ved: γ n µ = P Z 0.15 µ / n γ n 0.14 = P Z / n / n 0.01 n n = 34.2 Dvs vi må gjøre minst 35 målinger for å oppnå ønsket styrke. H 0 : µ = 0.15 mot H 1 : µ 0.15 Siden det er så mange målinger, kan vi bruke tinærmet normaltest: Dersom H 0 er i virkeligheten riktig, er tilnærmet Z = Y µ 0 N 0, 1 S2 /45 Her er S 2 estimator av variansen σ 2 : S 2 = Y i Y 2.

5 ÅMA 110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK Løsningsforslag til regneøving nr. s. 38 Med signifikansnivå 5%, dvs α = 0.05, forkaster vi H 0 dersom Z z 0.05 = Observert: z = = /45 Siden blir konklusjonen at vi forkaster H 0. Dataene gir grunnlag for å påstå at forventet mengde fosfor i utslippsvannet er mindre enn Det er ikke nødvendig å anta at Y i ene er normalfordelte for å gjøre testen som ovenfor. Vi trenger kun at de er uavhengige og identisk fordelte. Dersom vi kunne antatt at Y i ene er normalfordelte, kunne vi brukt t-test. Vi skulle da brukt kritisk verdi: t 0.05, Konklusjonen blir den samme. Oppgave.9 X Bn, p, skal teste H 0 : p = 0.6 mot H 1 : p 0.6. Test: Forkaster H 0 dersom X c. a n = 10 og c = 2; Sign.nivå = α = P X 2 p = 0.6 = 0.0. β0.3 = 1 γ0.3 = 1 P X 2 p = 0.3 = b n = 10 og c = 3; Sign.nivå = α = P X 3 p = 0.6 = β0.3 = 1 γ0.3 = 1 P X 3 p = 0.3 = c n = 19 og c = 7; Sign.nivå = α = P X 7 p = 0.6 = β0.3 = 1 γ0.3 = 1 P X 7 p = 0.3 = Oppgave.10 a Hypotese: Andelen av de ansatte som bruker offentlig transport har økt til mer enn 20 %. Formulert ved hjelp av p: p > 0.2 p = andelen av de ansatte som bruker offentlig transport. b Vi vil teste: H 0 : p = 0.2 mot H 1 : p > 0.2. Test: Forkaster H 0 dersom X k, der k er tilpasset ønsket signifikansnivå. Signifikansnivået som funksjon av k til testen er: α = P X k p = 0.2 = 1 P X k 1 p = 0.2, og vi bruker at X B25, p binomisk tilnærming til hypergeometrisk fordeling. k α = P X k p = Dvs: Kritisk verdi k = 9, som gir sign.nivå 0.047, tilfredsstiller krav om at sign.nivået skal være mindre enn 0.1; forkastningsområdet er megden av tallene {9, 10, 11,..., 24, 25}. Oppgave.11 a p = 0.4; P ikke forkaste H 0 p = 0.4 = P X 8 p = 0.4 = b Styrkefunksjon: γp = P forkaste H 0 p = P X 9 p p γp c Observert utfall av X: 10. Da 10 > k = 9 konkluderer vi med at H 0 kan forkastes.