Konfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall)

Transkript

1 Forelesning 3, kapittel 6 Konfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall) Konfidensintervall for µ basert på n observasjoner fra uavhengige N( µ, σ) fordelinger når σ er kjent : Hvis σ er ukjent har vi ikke dette tallet å sette inn i formelen. Vi kan imidlertid regne ut det empiriske standardavviket s som punktestimat for σ. Det er likevel ikke nok å erstatte σ med s i formelen over. Dette skyldes at s ofte vil vli mindre enn σ, og da blir intervallet for smalt, og sannsynligheten for "bom" blir større. Riktignok kan s like gjerne bli større enn σ, men dette er ikke nok til å kompensere. Fraktilen z α/2 må erstattes med et større tall som vi betegner t α/2 : Konfidensintervall for µ basert på n observasjoner fra uavhengige N( µ, σ) fordelinger når σ er ukjent ( t intervall): (Formel (50) i avsnitt i formelsamlinga) Tallet t α/2 kalles α/2 fraktilen i Students t fordeling med n 1 frihetsgrader. Dette tallet ka (for eksempel) finnes i tabell 5.3 i formelsamlinga. Dette blir snart forklart nærmere, men først et regneeksempel : 1

2 Eksempel: Vi skal se på 95% konfidensintervall for µ i det samme eksemplet som i forrige forelesning med kjent standardavvik. Det vil si at vi har målt motoreffekt på en bil 3 ganger og fått resultatene 106.9, og (hestekrefter). Vi skal anta at dette er uavhengige 3 observasjoner fra N( µ, σ) fordelinger, med samme µ (virkelig motoreffekt) og samme σ (måleunøyaktighet) for hver måling, men skal nå i motsetning til i forrige eksempel tenke oss at vi ikke kjenner standardavviket σ. Vi skal derfor bruke t intervall, altså formelen nå. Gjennomsnittet er fortsatt Det empiriske standardavviket er Vi må også finne fraktilen t α/2, fra tabell 5.3. Vi har n 1 = 3 1 = 2 frihetgrader, og dette betyr at vi går inn på raden for 2 frihetsgrader. Siden vi skal ha 95% konfidenintervall, er 1 α =0.95, så α = 0.05 og dermed α/2=0.025, så vi går inn i kolonna for α = 0.025: Der finner vi t α/2 = 4.303, og vi har nå alle tallene vi trenger for å sette inn i formelen: Kommentar: Med kjent σ = 3 fikk vi et smalere intervall, <106.0, 112.8>, selv om vi fikk s=2.33 litt mindre enn "sann verdi" σ=3. Dette skyldes at t α/2 =4.303 er mye større enn z α/2 = Det reflekterer det som generelt gjelder i Statistikk (og andre fagområder): Vi får mindre presise resultater (her: bredere konfidensintervall) når vi har mindre informasjon (vi kjenner ikke σ). 2

3 Litt om utledningen av formel for t intervall. Sentralt i utledningen av formelen for z intervall var fordelingsresultatet Noen viktige aspekter som fikk dette til å virke var at parameteren µ som vi skal ha konfidensintervall for er eneste ukjente parameter i Z, og Z har en kjent fordeling uten ukjente parametre. Når σ er ukjent bytter vi ut σ med det empiriske standardavviket s, og kaller brøken vi da får for T : T har heller ingen andre ukjente parametre enn µ. Vi. Vi trenger derfor fordelingen (sannsynlighetstettheten) til T, og dette lar seg gjøre. Den har fått navnet "Students t fordeling" 1. Den har en parameter som er et naturlig tall ({1,2,3,4...}), og i denne situasjonen er det n 1 som skal settes inn for dette. Det kalles da "Students t fordeling med n 1 frihetsgrader", og en skrivemåte for dette er Fotnote 1: Den første som regnet ut denne fordelingen og lagde fraktiltabell for den var engelskmannen William Gossett ( ) omkring Han var en beskjeden mann som publiserte under pseudonymet "Student", og fordelingen fikk navn etter dette. 3

4 Grafen til sannsynlighetstettheten til students t fordeling med 1 frihetsgrad ( grønn kurve), 3 frihetsgrader ( gul kurve) og 8 frihetsgrader ( blå kurve), samt til standard normalfordeling ( rød kurve). Fordelingene er symmetrisk om y aksen (like funksjoner), og nærmer seg raskt standard normalfordeling når det blir mange frihetsgrader. For mer enn 30 frihetsgrader er det ingen praktisk forskjell på Students t fordeling og standard normalfordeling (som av og til kalles Students t fordeling med uendelig mange frihetsgrader). For å konstruere konfidensintervall med signifikansnivå 1 α, betrakter vi som er illustret i figuren til høyre (med α=0.05 og 2 frihetsgrader): Siden det er sannsynlighet (areal) 1 α for at utfallet av T blir mellom k og k, er sannsynligheten α for at utfallet blir utenfor (arealet av de fyllte, røde områdene). Da blir det α/2 på hver side (på grunn av symmetrien om y aksen), og dermed er k α/2 fraktilen, som vi betegner t α/2 Det vil si at α/2 1 α α/2 k k 4

5 Teknikken er nå å omforme dobbeltulikheten slik at µ blir stående aleine i midten, akkurat som for z intervaller: Når vi så har gjort observasjonene kan vi regne ut utfallet av de stokastiske variablene og kaller utfallene og. og Da vil de stokastiske variablene og med sannsynlighet 1 α havne slik at µ ligger mellom dem. Vi kan nå regne ut hva utfallene ble, men siden det fremdeles er ukjent om utfallene ble slik at dem kan vi fortsatt bare vite at µ ligger mellom disse verdiene med sannsynlighet 1 α. Ved å sette disse utfallene som grenser for et intervall får vi da konfidensintervallet µ ligger mellom 5

6 Videre arbeid. Du kan godt begynne på oppgavene med t intervaller nå. Neste forelesning blir mer teknisk, der skal vi se litt mer på bakgrunnen for Students t fordeling. Dette innebærer også at vi skal se litt på kjikvadratfordeling, som blant annet brukes til konfidensintervall (og hypotesetesting) for standardavviket σ. 6