EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 10. juni Ingeniørutdanning. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs

Transkript

1 KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: EMNENUMMER: Statistikk. Rea181 EKSAMENSDATO: 1. juni 28 KLASSE: Ingeniørutdanning. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 (innkl. forside) TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller. INNFØRING MED PENN, evt. trykkblyant som gir gjennomslag. Ved innlevering skilles hvit og gul besvarelse og legges i hvert sitt omslag. Oppgavetekst, kladd og blå kopi beholder kandidaten. Husk kandidatnummer på alle ark.

2 Eksamen i Statistikk. 1. juni 28 1 Hvert av de 12 bokstavpunktene teller likt ved bedømmelsen. Oppgave 1 En kjemilærer har en saltsyreoppløsning som studentene skal bestemme konsentrasjonen av i en labøvelse, ved å måle hvor mye lut med kjent konsentrasjon som trengs for å nøyrtralisere syra. Læreren vet at syra har en konsentrasjon på μ = 12. molper kubikkmeter (.12 mol/dm 3 ). Fra lang erfaring på kjemilabben veit han også atmålefeil gir et standardavvik på σ =1.5 mol per kubikkmeter. Det vil si at en students resultat kan betraktes som en observasjon på konsentrasjonen fra en stokastisk variabel med N (12., 1.5) fordeling. Du kan regne uten benevninger. a ) Hva er sannsynligheten for at en student finner en verdi på konsentrasjonen mellom og 12.5 i en enkelt måling? b ) Hva er sannsynligheten for at gjennomsnittsverdien av alle de 6 målingene de 2 studentene i klassen får når de målet 3 ganger hver ligger mellom og12.5? Oppgave 2 Den samme kjemilæreren som i oppgave 1 har også en annen saltsyreoppløsning med ukjent konsentrasjon. Resultatet fra de 6 beregnede konsentrasjonene er samlet inn og oppsummert i følgende frekvenstabell: Intervall 92.5, 93.5] 93.5, 94.5] 94.5, 95.5] 95.5, 96.5] 96.5, 97.5] 97.5, 98.5] Midtpunkt Antall Andel a ) Regn ut den empiriske forventningsverdien x og det empiriske standardavviket s for dette datasettet. Siden du ikke kjenner enkeltresultatene må du regne som om alle observasjonene i et intervall er midtpunktverdien. b ) Regn ut 95% konfidensintervall for den virkelige syrekonsentrasjonen μ. Oppgave 3 En bedrift skal gjennomføre en spørreundersøkelse blant sine potensielle kunder. På et av spørsmålet blir respondentene bedt om å si hva de liker best av to alternative design på et av produktene. Dette er det nåværende, A, og en utforming B bedriften vurderer å bytte til. For å analysere dette antar bedriften at andelen potensielle kunder som foretrekker design Berp. Den stokastiske variabelen X er antall som krysser av for B blant n (ikke-blanke) svar, og de antar X er binomisk fordelt, X bin (n, p). a ) Anta i første omgang at p =1/2, og de bare analyserer n = 8 skjemaer. Hva er sannsynligheten for at nøyaktig seks av skjemaene har avkrysning for alternativ B?

3 Eksamen i Statistikk. 1. juni 28 2 b ) Hva er sannsynligheten for at minst 1 foretrekker design B hvis de får inn 19 skjemaer der svaralternativet er avkrysset, og p = 1/2. c ) I resten av oppgaven er p ukjent, formålet med spørreskjemaet er jo å finne denne. Hvis det er klart at p>1/2 er det et argument for å bytte design, mens for p 1/2 beholder de det gamle. De setter derfor opp følgende hypotesetest: H : p =1/2 moth 1 : p>1/2 signifikansnivå 5%. De får inn 19 (brukbare) skjemaer, og vil bruke en Z test (basert på tilnærming til normalfordeling). Finn kritisk verdi og forkastningsområde for antall avkrysninger for alternativ B. Vil de, hvis de kun baserer seg på denne testen, bytte design om de observerer 991 avkrysninger påb? d) Finn γ(.55), sannsynligheten for at testen avslører at H 1 er sann hvis p =.55. Oppgave 4 La den stokastiske variabelen X ha Poissonfordeling med parameter λ = 1(og t = 1). a ) Regn ut sannsynligheten P (X 4). b ) Regn ut den betingede sannsynligheten P (X 4 X 2). Oppgave 5 Morten skal kaste pil på en vanlig sirkulær blink med radius nøyaktig 1 (centimeter). Han er en god kaster som ofte treffer nær blinkens sentrum og aldri utenfor blinkskiva. Vi setter opp følgende modell for dette: La X være avstanden (i centimeter) fra sentrum til treffpunktet. I modellen antar vi selvfølgelig at utfallet blir et entydig reelt tall, det vil si en kontinuerlig fordeling. Denne har sannsynlighetstetthet f gitt ved for x< f(x) =.2.2x for x 1 for x>1 Siden avstanden x er minst ved treff nær sentrum omregnes denne til en poengskala som gir flest poeng y nær sentrum ved formelen y = 1 1x, slik at den stokastiske variabelen Y = 1 1X er poengene han får. a ) Regn ut sannsynlightene P (X 5) og P (Y <5). b ) Finn forventningsverdien E (X). Dette spørsmålet teller 4/1 av deloppgaven. Finn også forventningsverdien E (Y ). Dette spørsmålet teller 3/1 av deloppgaven. Hvor stor er korrelasjonen ρ mellom X og Y? Dette spørsmålet teller 3/1 av deloppgaven. Lykke til!

4 Løsning, eksamen i Statistikk. 1. juni 28 1 Løsningsforslaget inneholder en del kommentarer. Disse er selvfølgelig ikke en del av hva kandidatens besvarelse skal inneholde, men ment for studenter som senere bruker dette som øvelsesopgaver. Oppgave P (119, 5 <X<12.5) = Φ Φ = Φ(.33) Φ(.33) = 2Φ (.33) 1 tab.5.1 = =.2586 b ) Gjennomsnittet har også μ = 12. og standardavvik 1.5/ 6 =.194 så ( ) P 119, 5 < X<12.5 =Φ Φ = Oppgave 2 x =93 Φ(2.58) Φ( 2.58) = 2Φ (2.58) 1 tab.5.1 = = = = s 2 = =1.279 s = = 1.13 Ved å avrunde x mer, f.eks. til 95.43, oppstår en avrundingsfeil som er litt for stor til ågifull uttelling. b ) Siden σ er ukjent bruker vi t intervall, x t α/2 s/ n, x + t α/2 s/ n, med59 6 frihetsgrader og α/2 =.5 gir tabell 5.3 t α/2 =2.: / 6, / 6 = 95.14, Oppgave 3 P(X =6)= (1 ) = =.194 b) Med så store tall bør vi bruke tilnærming med normalfordeling. Bruker μ = np = 19 1/2 = 95 og σ = np(1 p) = 19/4 = 21.79, og lar Y N (95, 21.79). Med halvkorreksjon får vi da P(X 1) = 1 P(X 999) 1 P(Y 999.5) = 1 Φ =1 Φ(2.27) = =.116

5 Løsning, eksamen i Statistikk. 1. juni 28 2 c) Oppgaven er her løst med halvkorreksjon, men det trekkes ikke ved bedømmingen om det ikke er med i denne og neste deloppgave. Hvis H er sann er antall kryss for B tilnærmet Y N (95, 21.79) og vi er ute etter det minste heltallet k slik at P (Y >k 1/2).5. Omforming til Z N(, 1) gir da P ( Z> ) k 1/2 95 = slik at k 95.5 = z.5 =1.645 k = = Siden k skal være heltall og sannsynligheten ikke skal være mindre enn.5 avrunder vi oppover og får kritisk verdi: k = 987. Forkastningsområdet er observasjoner minst så store,detvilsi H forkastes hvis det er minst 987 avkrysninger for B. Siden 991 >k= 987 forkastes H, bedriften beslutter å bytte til design B. d) Hvis p =.55 er μ = np = = 145 og σ = np(1 p) = = Da er altså X N (145, 21.69), tilnærmet. H forkasteshvisviobservererx 987, og sannsynligheten for dette (tilnærmet og med halvkorreksjon) er P(X 987 p =.55) = 1 P(X<987 p =.55) 1 Φ Oppgave 4 =1 Φ( 2.7) = Φ(2.7) =.9965 P(X 4) = 1 P(X<4) = 1 (P (X =)+P(X =1)+P(X =2)+P(X =3))= 1 1! ! ! + 13 e 1 =.19 3! b ) Definisjonen av betinget sannsynlighet gir P(X 4 X 2) = P((X 4) (X 2)) P(X 2) Hendelsen (X 4) (X 2) er det samme som X 4, siden (X 4) (X 2), siden utfallet at det minst er 4 innebærer at det må væreminst2. 1 P(X 2) = 1! + 11 e 1 = = ! og P (X 4) =.19 fra a oppgaven, så P(X 4 X 2) = P(X 4) P(X 2) = =.719

6 Løsning, eksamen i Statistikk. 1. juni 28 3 Oppgave 5 P(X 5) = F (5) = 5 f(x) dx = 5.2.2xdx = [.2x.1x 2] 5 = =.75 y =5svarertilx =5day = 1 1x = Siden y er en avtagende funksjon av x må imidlertid ulikhetstegnet snues, Y < 5 X > 5: P(Y<5) = P (X >5) = 1 P(X 5) = 1.75 =.25 b) E(X) = xf(x) dx = 1 x(.2.2x) dx = 1 [.1x 2.2/3x 3] 1 = = x.2x 2 ) dx = E(Y ) = E (1 1X) = 1 1E (X) = = 66.7 Siden Y er eksakt en lineær funksjon av X er ρ 2 avtagende er ρ<. Dermed er ρ = 1. = 1, og siden denne funksjonen er