ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4
|
|
- Mikael Ellefsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 27. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 1 / 53
2 Oppsummering, del 3 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 2 / 53
3 Oppsummering, del 3 Oppsummering, del 3 Styrke, styrkefunksjon Tosidige tester Test for p i binomisk modell;. t-fordeling Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 3 / 53
4 , Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 4 / 53
5 Oversikt, del 4, t-fordeling, t-test, t-intervall Test for forventningen, λt, i Poissonmodell;. Konfidensintervall t-fordeling, t-test, t-intervall Test for forventningen, λt, i Poissonmodell;. Konfidensintervall Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 5 / 53
6 t-fordeling, Rett på definisjon: Utgangspunktet er målemodellen med normalantakelse: X 1,...,X n, u.i.f. tilf. var. der X i N(µ, σ 2 ). La σ 2 = S 2 = 1 n 1 n i=1 (X i X) 2, og T = X µ S 2 n Def. Student s t-fordeling: Dersom X 1,...,X n, er n u.i.f. tilf. var. der X i er normalfordelt med forventning µ og varians σ 2, i = 1,...,n, så er T (Student s) t-fordelt med n 1 frihetsgrader: T t(n 1) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 6 / 53
7 t-fordeling Obs: I den beskrevne situasjonen har vi: X µ σ 2 n N(0, 1) og X µ S 2 n t(n 1), Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 7 / 53
8 t-fordeling, Egenskaper til t-fordelingen: t-fordelingen er avhengig av antall frihetsgrader (n). Den blir mer og mer lik N(0, 1)-fordelingen når antall frihetsgrader øker. symmetrisk omkring 0 t-tabell!! n(x) f1(x) f2(x) f15(x) tyngre haler enn N(0, 1)-fordelingen Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 8 / 53
9 t-fordeling, Fraktiler i t-fordelingen: Def. t α,d Dersom T er (Student s) t-fordelt med d frihetsgrader, defineres tallet t α,d ved at P(T > t α,d ) = α. (Tilsvarer z α i N(0,1)-fordelingen.) Skisse av t(d)-fordeling; arealet P(T > t α,d ) = α er farget. 0 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 9 / 53
10 t-test, Situasjon der vi bruker t-test: Målemodellen m/normalantakelse og ukjent varians, σ 2 : n målinger: x 1,..., x n ; betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable E(X i ) = µ og Var(X i ) = σ 2, i = 1,...,n X i normalfordelt og σ 2 ukjent. Obs. 1: X i normalfordelt Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 10 / 53
11 t-test, Obs. 1: X i normalfordelt Obs. 2: (Dersom n er stor, trenger vi ikke bry oss med t-fordeling.) Obs. 3: Målemodell 3 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 11 / 53
12 t-test, Eksempel: 10 blodsukkerinnholdmålinger: 4.1, 5.1, 4.3, 3.8, 3.7, 5.2, 4.5, 4.8, 3.6, 4.4 Ønsker å teste H 0 : µ = 4.0 mot H 1 : µ > 4.0 Vi antar at: De n = 10 målingene: x 1,..., x n ; kan betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable, der E(X i ) = µ og Var(X i ) = σ 2, i = 1,...,n, og der X i er normalfordelt og σ 2 er ukjent. Variansen,σ 2, estimeres med: σ 2 = S 2 = 1 n 1 n i=1 (X i X) 2 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 12 / 53
13 t-test, Vil teste: H 0 : µ = 4 mot H 1 : µ > 4 Under H 0 er (teststørrelse, nullfordeling) T = X 4 S 2 10 t(9) (jf. def. av t-fordeling) Forkaster H 0 dersom µ = X peker klart i retning av at H 1 er korrekt. Test (sign.nivå α): Forkast H 0 dersom f9(x) T t α, t(9) tetthet Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 13 / 53
14 t-test, Gjennomføring av test på 5% nivå: Sign.nivå, α = 0.05 t 0.05,9 = 1.83 Data: (Gj.sn. = 4.35, emp. varians = ) Utfall av: X 4 S 2 10 : = Siden > t 0.05,9 = 1.83, kan vi forkaste H 0. Dataene tyder på at virkelig blodsukkerinnhold, µ, er større enn 4. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 14 / 53
15 µ, målemodell, normalantakelse, ukjent varians, Oppsummering, t-tester, Målemodellen: n målinger: x 1,...,x n ; betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable E(X i ) = µ og Var(X i ) = σ 2, i = 1,...,n X i normalfordelt og σ 2 ukjent. Målemodell 3 Estimator for variansen: S 2 = σ 2 = 1 n 1 n i=1 ( Xi X ) 2 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 15 / 53
16 µ, målemodell, normalantakelse, ukjent varians,. t-test, ensidig., Test (sign.nivå α) for: H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ < µ 0 Forkast H 0 dersom X µ 0 S 2 n t α,n 1 0 Skisse av t-fordeling og forkastningsområde. Test (sign.nivå α) for: H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ > µ 0 Forkast H 0 dersom X µ 0 S 2 n t α,n 1 0 Skisse av t-fordeling og forkastningsområde. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 16 / 53
17 µ, målemodell, normalantakelse, ukjent varians,. t-test, tosidig., Test (sign.nivå α) for: H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ µ 0 Forkast H 0 dersom X µ 0 S 2 n X µ 0 S 2 n t α/2,n 1, eller t α/2,n 1 0 Skisse av t-fordeling og forkastningsområde. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 17 / 53
18 µ, målemodell, normalantakelse, ukjent varians,. t-test, tosidig., Eksempel: Hardhet til et spesielt stål blir undersøkt; seks målinger (i kg/mm 2 ): 351, 322, 297, 291, 354, 322. Gjennomsnitt: 322.8; estimert varians (empirisk varians): Man er interessert i om hardheten er forskjelig fra 300 kg/mm 2. Tyder resultatene på at hardheten er ulik 300? Målemodell med normalantakelse; ukjent varians. Estimator for variansen: S 2 = σ 2 = 1 n ( n 1 i=1 Xi X ) 2 Forventningen, µ: virkelig hardhet Vil teste: H 0 : µ = 300 mot H 1 : µ 300 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 18 / 53
19 µ, målemodell, normalantakelse, ukjent varians,. t-test, tosidig., Vil teste: H 0 : µ = 300 mot H 1 : µ 300 Under H 0 er (teststørrelse, nullfordeling) T = X 300 S 2 6 t(n 1) Forkaster H 0 dersom µ = X peker klart i retning av at H 1 er korrekt. Test (sign.nivå α): Forkast H 0 dersom T t α/2,n 1 eller T t α/2,n Skisse av t(5)-fordeling. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 19 / 53
20 µ, målemodell, normalantakelse, ukjent varians,. t-test, tosidig., Gjennomføring av test på 5% nivå: Sign.nivå, α = 0.05 α/2 = 0.025; t 0.025,5 = 2.57 Data: Utfall av: X 300 S 2 6 : Siden 2.13 t 0.025,5 = 2.57 (og 2.13 t 0.025,5 = 2.57), kan vi ikke forkaste H 0. Det er ikke grunnlag i dataene for å hevde at virkelig hardhet, µ, er ulik 300 kg/mm 2. = Obs.: Jf. konklusjon med kjent varians: forkast H 0 ; z = Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 20 / 53
21 Oversikt, del 4, t-fordeling, t-test, t-intervall Test for forventningen, λt, i Poissonmodell;. Konfidensintervall t-fordeling, t-test, t-intervall Test for forventningen, λt, i Poissonmodell;. Konfidensintervall Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 21 / 53
22 t-intervall, Med målemodell 1 (normalantakelse og kjent varians): (1 α) 100% konfidensintervall for µ er ) σ (X z 2 α/2 n, X + z σ 2 α/2 n Dette er basert på 1. kjent verdi av σ 2 2. Z = X µ σ 2 n N(0, 1) (normalantakelsen) Med målemodell 3 (normalantakelse og ukjent varians) må vi basere oss på t-fordelingen. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 22 / 53
23 t-intervall, Med målemodell 3 (normalantakelse og ukjent varians): (1 α) 100% konfidensintervall for µ er ) S (X t 2 α/2,n 1 n, X + t S 2 α/2,n 1 n Dette er basert på 1. σ 2 estimeres med σ 2 = S 2 = 1 n 1 n i=1 2. Normalantakelse og 3. T = X µ S 2 n t(n 1) ( X i X) 2, Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 23 / 53
24 t-intervall,, Eksempel: 10 blodsukkerinnholdmålinger: 4.1, 5.1, 4.3, 3.8, 3.7, 5.2, 4.5, 4.8, 3.6, 4.4 Ønsker et 95% konfidensintervall for virkelig blodsukkerinnhold. Vi antar at: De n = 10 målingene: x 1,..., x n ; kan betraktes som utfall av: X 1,...,X n, u.i.f. tilfeldige variable, der E(X i ) = µ og Var(X i ) = σ 2, i = 1,...,n, og der X i er normalfordelt og σ 2 er ukjent. µ: virkelig blodsukkerinnhold Variansen, σ 2, estimeres med: σ 2 = S 2 = 1 n 1 n i=1 (X i X) 2 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 24 / 53
25 t-intervall,, n = 10; 95% α = 0.05 t α/2,n 1 = t 0.025,9 = Et 95% ( konfidensintervall for virkelig blodsukkerinnhold, µ, er ) S gitt ved: X , X S 2 10 Innsatt data (Gj.sn. = 4.35, emp. varians = ), blir utregnet intervall: ( ) ( ) , = 3.95, 4.75 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 25 / 53
26 t-intervall, begrunnelse, Jf.: Generell definisjon av konfidensintervall: Situasjon: Data x 1,...,x n ; utfall av : X 1,..., X n ; n u.i.f. tilfeldige variable Ukjent parameter (i fordelingen til X i ene): θ Dersom L og U (L < U) er to funksjoner av X 1,...,X n, som er slik at: ( ) 1 α = P L θ U, sier vi at det utregnete intervallet (l, u) er et (1 α) 100% konfidensintervall for θ. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 26 / 53
27 t-intervall, begrunnelse, Obs. 1: Det utregnete intervallet (l, u): Framkommer når vi setter dataverdiene x 1,..., x n inn i funksjonene L og U. Obs. 2: Eventuelt tilnærmede intervall For t-intervallet er: L = X t α/2,n 1 S 2 n og U = X + t α/2,n 1 S 2 n Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 27 / 53
28 t-intervall, begrunnelse, ( S 2 X t α/2,n 1 } {{ n } L ) S 2, X + t α/2,n 1 }{{ n } U er et (1 α) 100% konfidensintervall for µ, fordi ( 1 α = P t α/2,n 1 X µ S 2 n t α/2,n 1 ) ( S 2 S 2 = P X t α/2,n 1 µ X + t }{{ n α/2,n 1 }}{{ n } L U = P ( L µ U ) ) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 28 / 53
29 Konfidensintervall,, Målemodell 1; (1 α) 100% konfidensintervall for µ er ) σ (X z 2 α/2 n, X + z σ 2 α/2 n Målemodell 2; tiln. (1 α) 100% konfidensintervall for µ er ) S (X z 2 α/2 n, X + z S 2 α/2 n Binomisk modell; tiln. (1 α) 100% konfidensintervall for p er ( ) p(1 p) p(1 p) p z α/2 n, p + z α/2 n Målemodell 3; (1 α) 100% konfidensintervall for µ er S (X t 2 α/2,n 1 n, X + t α/2,n 1 S 2 n ) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 29 / 53
30 Oversikt, del 4, t-fordeling, t-test, t-intervall Test for forventningen, λt, i Poissonmodell;. Konfidensintervall t-fordeling, t-test, t-intervall Test for forventningen, λt, i Poissonmodell;. Konfidensintervall Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 30 / 53
31 Test for forventningen, λt, i Poissonmodell, n liten, Eksempel: Overvåking av dødsrate for fugler (jf. fugleinfluensa); For et bestemt vann registreres det gjennomsnittlig 2.5 døde fugler pr. døgn under normale forhold. En dag registreres det 6 døde fugler. Gir dette grunnlag for å påstå at virkelig dødsrate har økt til over det normale? Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 31 / 53
32 Test, Poissonmodell,, Statistisk tenking: Vi betrakter resultatet (6 registrerte døde fugler i et døgn) som utfall av en tilfeldig variabel Y, der Y Poisson(λt), λ: ukjent, t = 1. Obs.: det er rimelig med Poissonfordeling for Y! λ 1, er forventet antall døde fugler ved det aktuelle vannet i løpet av et døgn. Normalt har vi: λ normalt = 2.5. Vi vil teste H 0 : λ = 2.5 mot H 1 : λ > 2.5 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 32 / 53
33 Test, Poissonmodell,, Vi vil teste H 0 : λ = 2.5 mot H 1 : λ > 2.5 Teststørrelse: Y ; nullfordeling: Y Poisson(2.5): Dette beskriver hva som er tenkelige utfall under H 0 Store verdier av Y indikerer at H 1 er riktig. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 33 / 53
34 Test, Poissonmodell,, Store verdier av Y indikerer at H 1 er riktig. Derfor: Test: Forkast H 0 dersom Y k, der k (kritisk verdi) er slik at testen får nærmest mulig ønsket signifikansnivå. Kritisk verdi, k, finnes vha. Poissontabell (λt = 2.5) slik at sign.nivå = P(forkaste H 0 H 0 riktig) = P(Y k λt = 2.5) er nærmest mulig ønsket sign.nivå Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 34 / 53
35 Test, Poissonmodell,, Fra Poissontabell (λt = 2.5): y P(Y = y) Vi må prøve oss fram med forskjellige verdier av k. Dersom vi ønsker sign.nivå (nærmest mulig) 0.05, ser vi at: P(Y 9) = = P(Y 8) = P(Y = 8) + P(Y 9) = = P(Y 7) = = P(Y 6) = = P(Y 5) = = Dvs., med k = 6 får vi en test med sign.nivå Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 35 / 53
36 Test, Poissonmodell,, Gjennomføring/konklusjon: Data: utfall av Y : 6 = k = 6 Konklusjon: Forkast H 0 ; (Test: Forkast H 0 dersom Y k) Det er grunnlag for å påstå at virkelig dødsrate (rate av registrerte døde fugler) har økt til over det normale. Skisser styrkefunksjonen til denne testen! Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 36 / 53
37 Oversikt, del 4, t-fordeling, t-test, t-intervall Test for forventningen, λt, i Poissonmodell;. Konfidensintervall t-fordeling, t-test, t-intervall Test for forventningen, λt, i Poissonmodell;. Konfidensintervall Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 37 / 53
38 Konfidensintervall, En (tosidig) test kan gjennomføres vha. av et konfidensintervall. For, dersom vi i målemodell 1 vil teste: H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ µ 0, kan vi bruke: Test (sign.nivå α): Forkast H 0 dersom X µ 0 σ 2 n z α/2 eller Vi skal se at dette er det samme som: X µ 0 σ 2 n z α/2 Forkast H 0 dersom µ 0 ikke er inkludert i konfidensintervallet for µ. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 38 / 53
39 Konfidensintervall, Eksempel: Vi skal kjøpe smolt av en smoltoppdretter. Det hevdes at gjennomsnittsvekten til smolten i merden er 80 gram. Vekt av ni tilfeldig valgte smolt: gj.sn.-vekt: gram. Vi er interessert i om vekten (gjennomsnittsvekt for alle smolt i merden) kan være ulik 80 gram. Tyder resultatene på at vekten kan er ulik 80 gram? Målemodell med normalantakelse; kjent varians, σ 2 = Forventningen, µ: vekt (gjennomsnittsvekt for alle smolt i merden) Vil teste: H 0 : µ = 80 mot H 1 : µ 80 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 39 / 53
40 Konfidensintervall, Vil teste: H 0 : µ = 80 mot H 1 : µ 80 Test (sign.nivå α = 0.10): Forkast H 0 dersom X z 0.05 eller Er det samme som: Forkast H 0 dersom X z X 80 z eller X 80 + z Er det samme som: Behold H 0 dersom 80 z X 80 + z Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 40 / 53
41 Konfidensintervall, Behold H 0 dersom z X 80 + z Er det samme som: behold H 0 dersom X z X + z Dette siste betyr: behold H 0 dersom µ 0 = 80 90% konfidensintervall for µ. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 41 / 53
42 Konfidensintervall, Gjennomføring / konklusjon: 90% α = 0.1 z α/2 = z 0.05 = Et 90% konfidensintervall for vekten, µ, er (innsatt data, gj.sn. = 76.87): ( ) ( ) , = 71.4, 82.4 Dvs.: siden µ 0 = 80 ikke grunnlag for å hevde at µ 80. ( ) 71.4, 82.4, beholdes H 0. Dataene gir Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 42 / 53
43 Konfidensintervall, Generelt: La (L, U) være et (ev. tilnærmet) 100(1 α)% konfidensintervall for parameteren θ. Vi vil teste H 0 : θ = θ 0 mot H 1 : θ θ 0 Test: Forkast H 0 dersom θ 0 (L, U). Testen har signifikansnivå α (ev. tilnærmet). Veldig god måte å gjennomføre (tosidige) tester på! Obs.: dersom dette blir brukt for ensidig test får vi en annen sammenheng mellom intervallets konfidensgrad og sign.nivået til testen. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 43 / 53
44 Konfidensintervall, Eksempel: Hardhet til et spesielt stål blir undersøkt; seks målinger (i kg/mm 2 ): 351, 322, 297, 291, 354, 322. Gjennomsnitt: 322.8; estimert varians (empirisk varians): Man er interessert i om hardheten er forskjelig fra 300 kg/mm 2. Tyder resultatene på at hardheten er ulik 300? Målemodell med normalantakelse; ukjent varians. Estimator for variansen: S 2 = σ 2 = 1 n ( n 1 i=1 Xi X ) 2 Forventningen, µ: virkelig hardhet Vil teste: H 0 : µ = 300 mot H 1 : µ 300 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 44 / 53
45 Konfidensintervall, Ønsker å bruke 5% signifikansnivå. Gjennomfører test vha. konfidensintervall; dvs., testen er: Forkast H 0 dersom et 95% konfidensintervall for µ ikke inneholder 300. Et 95% konfidensintervall for µ er gitt ved: ) S (X t ,5 6, X + t S ,5 6 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 45 / 53
46 Konfidensintervall, Et 95% konfidensintervall for µ er gitt ved: ) S (X t ,5 6, X + t S ,5 6 Innsatt data (Gj.sn. = 322.8, emp. varians = 689.4, t 0.025,5 = 2.571), blir utregnet intervall: ( ) ( ) , = 295.2, Konklusjon: Behold H 0 siden µ 0 = 300 (295.2, 350.4) siden µ 0 = 300 er inneholdt i konfidensitervallet. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 46 / 53
47 Konfidensintervall, Eksempel: Sammenligne meningsmålinger Forrige meningsmåling: 28% oppslutning Denne meningsmåling: 31% oppslutning Er det endring i virkelig oppslutning? Obs.: Sammenligner resultater fra to grupper; ikke standardmetode i dette kurset. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 47 / 53
48 Konfidensintervall, Modell: Forrige meningsmåling: X 1 B(n 1, p 1 ) Denne meningsmåling: X 2 B(n 2, p 2 ) X 1 og X 2 antas å være statistisk uavhengige. Vi vil teste H 0 : p 1 = p 2 mot H 1 : p 1 p 2 Vi vil teste H 0 : p 1 p 2 = 0 mot H 1 : p 1 p 2 0 Det vil være best å lage et konfidensintervall for p 1 p 2, og bruke dette til testen. p 1 p 2 estimeres med: p 1 p 2 = X 1 n 1 X 2 n 2 Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 48 / 53
49 Konfidensintervall, p 1 = X 1 n 1, p 2 = X 2 n 2 E ( p 1 p 2 ) = E ( p1 ) E ( p2 ) = p1 p 2 Var ( p 1 p 2 ) = Var ( p1 ) + Var ( p2 ) = p 1 (1 p 1 ) n 1 + p 2(1 p 2 ) n 2 p 1 og p 2 er begge tilnærmet normalfordelte og de uavhengige. Vi kan da slutte at også p 1 p 2 er tilnærmet normalfordelt. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 49 / 53
50 Konfidensintervall, p 1 p 2 er tilnærmet normalfordelt. Altså: p 1 p 2 (p 1 p 2 ) p1 (1 p 1 ) n 1 + p 2(1 p 2 ) n 2 N(0, 1), tilnærmet Nevneren (standardavviket til p 1 p 2 ) kan tilnærmes med: p1 (1 p 1 ) + p 2(1 p 2 ). n 1 n 2 Bruker symbolet ŜD( p 1 p 2 ) for denne. Vi har: p 1 p 2 (p 1 p 2 ) ŜD( p 1 p 2 ) N(0, 1), tilnærmet Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 50 / 53
51 Konfidensintervall, Vi har: Medfører: ( P Derfor: p 1 p 2 (p 1 p 2 ) ŜD( p 1 p 2 ) N(0, 1), z α/2 p 1 p 2 (p 1 p 2 ) ŜD( p 1 p 2 ) L ({}}{ P p 1 p 2 z α/2 ŜD( p 1 p 2 ) p 1 p 2 p 1 p 2 + z α/2 ŜD( p 1 p 2 ) }{{} U tilnærmet z α/2 ) 1 α ) 1 α Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 51 / 53
52 Konfidensintervall, Vi har altså at (L, U) er et tilnærmet (1 α)100% konfidensintervall for differansen p 1 p 2. Data: n 1 = 1120, n 2 = 1050; α = 0.05 α/2 = og z = 1.96 Utfall av p 1 p 2 : = 0.03 p1 Utfall av ŜD( p (1 p 1 ) 1 p 2 ) = + p 2(1 p 2 ) : n 1 n (1 0.28) (1 0.31) 1050 = Derfor, konfidensintervall: ( , ) = ( 0.008, ) Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 52 / 53
53 Konfidensintervall, Derfor, konfidensintervall: ( , ) = ( 0.008, ) Konklusjon: Siden 0 er inneholdt i intervallet kan vi ikke forkaste H 0. Det er ikke grunnlag for å påstå at virkelig oppslutning er endret. Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting del 4 53 / 53
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 3. april Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 24. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 21. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting. Kp. 6 Hypotesetesting ...
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 6 Kp. 6 (kp. 6)... Begrep: nullhypotese alternativhypotese ensidig, tosidig teststørrelse (testobservator) nullfordeling kritisk verdi, forkastningsområde
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 53
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Hypotesetesting (kp. 6) Hypotesetesting, innledning. Kp.
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. 6 Hypotesetesting Hypotesetesting (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivende statistikk. Sannsynlighetsteori, sannsynlighetsregning 3. Statistisk
DetaljerHypotesetesting (kp. 6) ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Tre deler av faget/kurset: 1. Beskrivende statistikk
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2 Kp. 6 Hypotesetesting Hypotesetesting (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivende statistikk 2. Sannsynlighetsteori, sannsynlighetsregning 3. Statistisk
Detaljer(Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) Oppgave 1
ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2011, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) Oppgave 1 a) Data: x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 Gjennomsnitt: x = 1 5 (x 1
DetaljerKp. 9.8 Forskjell mellom to forventninger
andeler I analysene skal vi se på situasjonene der σx og σ Y er kjente; normalantakelse a σx og σ Y er ukjente men σ X = σ Y ; normalantakelse og b σx og σ Y er ukjente og σ X σ Y ; normalantakelse 3 og
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4
ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 21 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 22. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 29 Bjør
DetaljerÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 2010, s. 1. Oppgave 1. Histogram over frekvenser.
ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 0, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) a) Gjennomsnitt: x = 1 Emp. standardavvik: Median: 1 (1.33 + 1.) = 1.35
DetaljerÅMA 110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK Løsningsforslag til regneøving nr. 12 (s. 34)
ÅMA 110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK Løsningsforslag til regneøving nr. s. 34 Oppgave.1 Situasjon betraktes som 7 Bernoulliforsøk; Suksess: dyr velger belønning 1, motsatt fiasko. P suksess = p;
DetaljerHypotesetesting, del 4
Oversikt, del 4 t-fordelig t-test t-itervall Del 5 Kofidesitervall vs. test p-verdi t-fordelig Rett på defiisjo: Utgagspuktet er målemodelle med ormalatakelse: X 1,...,X,u.i.f.tilf.var.derX i Nμ, σ 2 ).La
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4
ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 27 Bjør
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010 (20)
TMA4240 Statistikk H2010 (20) 10.5: Ett normalfordelt utvalg, kjent varians (repetisjon) 10.4: P-verdi 10.6: Konfidensintervall vs. hypotesetest 10.7: Ett normalfordelt utvalg, ukjent varians Mette Langaas
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1 / 56
DetaljerÅMA 110 (TE 199) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2005, s. 1. Oppgave 1
ÅMA 0 (TE 99) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 005, s. Oppgave a) P (X 0) 0.04 + 0.04 + 0.06 + 0.06 + 0. + 0. + 0. 0.6 P (0 X 40) 0.0 + 0.0 + 0.04 + 0.04 + 0.06 0.0 P
DetaljerHøgskolen i Telemark. Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING Statistikk I. Til bruk ved eksamen. Per Chr. Hagen
Høgskolen i Telemark Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING 6005 Statistikk I Til bruk ved eksamen Per Chr. Hagen . Sannsynlighetsregning. Regneregler Komplementsetningen: Addisjonssetningen:
DetaljerFasit for tilleggsoppgaver
Fasit for tilleggsoppgaver Uke 5 Oppgave: Gitt en rekke med observasjoner x i (i = 1,, 3,, n), definerer vi variansen til x i som gjennomsnittlig kvadratavvik fra gjennomsnittet, m.a.o. Var(x i ) = (x
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 56
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5
ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 7 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 59 Bjør
DetaljerHypotesetesting. Formulere en hypotesetest: Når vi skal test om en parameter θ kan påstås å være større enn en verdi θ 0 skriver vi dette som:
Hypotesetesting. 10 og fore- Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte for å undersøke hypoteser (påstander) knyttet til parametre i sannsynlighetsfordelinger.
DetaljerOppgave 1. . Vi baserer oss på at p 47 1 og p 2 er tilnærmet normalfordelte (brukbar tilnærming). Vi har tilnærmet at (n 1 = n 2 = 47)
MOT310 tatistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen vår 006, s. 1 Oppgave 1 a) En tilfeldig utvalgt besvarelse får F av sensor 1 med sannsynlighet p 1 ; resultatene for ulike besvarelser er uavhengige.
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2007
TMA4240 Statistikk Høst 2007 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b4 Løsningsskisse Oppgave 1 Eksamen juni 1999, oppgave 3 av 3 a) µ populasjonsgjennomsnitt,
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 0, blokk II Løsningsskisse Oppgave Surhetsgrad i ferskvann Eksamen august 00, oppgave av 3 a) En god estimator
DetaljerLØSNINGSFORSLAG ) = Dvs
LØSNINGSFORSLAG 12 OPPGAVE 1 D j er differansen mellom måling j med metode A og metode B. D j N(µ D, 0.1 2 ). H 0 : µ D = 0 mot alternativet H 1 : µ D > 0. Vi forkaster om ˆµ D > k Under H 0 er ˆµ D =
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer
DetaljerKandidatene 4507, 4542, 4545 og 4569 har meget gode besvarelser supert!
MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1 Flott! Samlet sett leverer dere gode resultater. Kandidatene 4507, 4542, 4545 og 4569 har meget gode besvarelser supert! Totalt
DetaljerKapittel 9 og 10: Hypotesetesting
Kapittel 9 og 1: Hypotesetesting Hypotesetesting er en standard vitenskapelig fremgangsmåte for å sjekke påstander. Generell problemstilling: Basert på informasjonen i data fra et tilfeldig utvalg ønsker
DetaljerOppgave 1. X 1 B(n 1, p 1 ) X 2. Vi er interessert i forskjellen i andeler p 1 p 2, som vi estimerer med. p 1 p 2 = X 1. n 1 n 2.
Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 17 november 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk Tapir
DetaljerRep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3
Kp. 1, oversikt ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Hypoteseig; ett- og to-utvalg Rep.: geerelle begrep og defiisjoer Kp. 1.1, 1.2 og 1.3 Rep.: ett-utvalgser for μ (...), p Kp. 1 og 1.8 Nytt: ett-utvalgs
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2009
TMA4240 Statistikk Høst 2009 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b5 Løsningsskisse Oppgave 1 Vi ønsker å finne ut om et nytt serum kan stanse leukemi.
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2010 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 12. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 59
DetaljerOppgave 1. a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA). Modell for y ij = ekspedisjonstid nr. j for skrankeansatt nr. i:
MOT310 tatistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 010, s 1 Oppgave 1 a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA) Modell for y ij ekspedisjonstid nr j for skrankeansatt nr i: Y ij µ i + ε ij,
DetaljerST0103 Brukerkurs i statistikk Forelesning 26, 18. november 2016 Kapittel 8: Sammenligning av grupper
ST0103 Brukerkurs i statistikk Forelesning 26, 18. november 2016 Kapittel 8: Sammenligning av grupper Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kapittel 8: Sammenligning av grupper Situasjon: Vi ønsker
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 11 Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale begreper
DetaljerLøsning eksamen desember 2017
Løsning eksamen desember 017 Oppgave 1 Innfører hendelsene D: enheten er defekt K: enheten blir kassert a i Disse sannsynlighetene kan leses ut av oppgaveteksten: P D = 0, 10 P K D = 0, 07 P K D = 0, 95
DetaljerMOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1. Oppgave 1
MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1 Oppgave 1 a) Normalantakelse: Målingene x 1,..., x 21 og y 1,..., y 8 betraktes som utfall av tilfeldige variable X 1,..., X 21
DetaljerHØGSKOLEN I STAVANGER
HØGSKOLEN I STAVANGER Avdeling for TEKNISK NATURVITEN- EKSAMEN I: TE199 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK SKAPELIGE FAG VARIGHET: 4 TIMER DATO: 5. JUNI 2003 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR OPPGAVESETTET
DetaljerDekkes av kap , 9.10, 9.12 og forelesingsnotatene.
Estimering 2 -Konfidensintervall Dekkes av kap. 9.4-9.5, 9.10, 9.12 og forelesingsnotatene. En (punkt-)estimator ˆΘ gir oss et anslag på en ukjent parameterverdi, men gir oss ikke noen direkte informasjon
DetaljerMOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011
MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 30. oktober, 2011 Bjørn H. Auestad Kp. 13: Én-faktor eksperiment 1 / 15 -tabell
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må
DetaljerUtfordring. TMA4240 Statistikk H2010. Mette Langaas. Foreleses uke 40, 2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må
Detaljer+ S2 Y ) 2. = 6.737 6 (avrundet nedover til nærmeste heltall) n Y 1
Løsningsforslag for: MOT10 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 6. november 007 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP0S, Casio FX8 eller TI-0 Tabeller og formler i statistikk (Tapir forlag) MERKNADER:
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 11, blokk II I denne øvingen skal vi fokusere på hypotesetesting. Vi ønsker å gi dere
Detaljeri x i
TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 11, blokk II Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 9 Løsningsskisse Oppgave 1 a) Vi lar her Y være antall fugler som kolliderer med vindmølla i løpet av den gitte
DetaljerHypotesetesting. Hvorfor og hvordan? Gardermoen 21. april 2016 Ørnulf Borgan. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf:
Hypotesetesting Hvorfor og hvordan? Gardermoen 21. april 2016 Ørnulf Borgan H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400 www.aschehoug.no 1 Oversikt Sannsynlighetsregning og statistikk
DetaljerLøsningsforslag eksamen 25. november 2003
MOT310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag eksamen 25. november 2003 Oppgave 1 a) Vi har µ D = µ X µ Y. Sangere bruker generelt trapesius-muskelen mindre etter biofeedback dersom forventet bruk av trapesius
DetaljerTMA4240 Statistikk 2014
TMA4240 Statistikk 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 12, blokk II Oppgave 1 På ein av vegane inn til Trondheim er UP interessert i å måle effekten
DetaljerOppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom << >>. Oppgave 1
ECON 0 EKSMEN 007 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom >. Oppgave. La begivenhetene BC,, være slik at og
DetaljerHypotesetesting. mot. mot. mot. ˆ x
Kapittel 6.4-6.5: ypotesetesting ypotesetesting er en standard vitenskapelig fremgangsmåte for å sjekke påstander. Generell problemstilling: Basert på informasjonen i data fra et tilfeldig utvalg ønsker
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806
DetaljerHypotesetest: generell fremgangsmåte
TMA4240 Statistikk H2010 (21) 10.8, 10.10: To normalfordelte utvalg 10.9: Teststyrke og antall observasjoner Mette Langaas Foreleses mandag 1.november, 2010 2 Hypotesetest: generell fremgangsmåte Generell
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Det er to populasjoner som vi ønsker å sammenligne. Vi trekker da et utvalg
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 9.6: Prediksjonsintervall 9.8: To utvalg, differanse µ 1 µ 2 Mette Langaas Foreleses mandag 18.oktober, 2010 2 Prediksjonsintervall for fremtidig observasjon,
DetaljerEksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 20. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 2
ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap 5. mars 21 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 1/ 42 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 2/ 42
DetaljerSTK Oppsummering
STK1110 - Oppsummering Geir Storvik 11. November 2015 STK1110 To hovedtemaer Introduksjon til inferensmetoder Punktestimering Konfidensintervall Hypotesetesting Inferens innen spesifikke modeller/problemer
DetaljerEKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 26. mai 2006. SENSURFRIST: 16. juni 2006. KLASSE: HIS 04 07. TID: kl. 8.00 13.00.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 26. mai 2006. SENSURFRIST: 16. juni 2006. KLASSE: HIS 04 07. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER
DetaljerSTK Oppsummering
STK1100 - Oppsummering Geir Storvik 6. Mai 2014 STK1100 Tre temaer Deskriptiv/beskrivende statistikk Sannsynlighetsteori Statistisk inferens Sannsynlighetsregning Hva Matematisk verktøy for å studere tilfeldigheter
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Inferens om varians og standardavvik for ett normalfordelt utvalg (9.4) Inferens om variansen til en normalfordelt populasjon
DetaljerKapittel 10: Hypotesetesting
Kapittel 10: Hypotesetesting TMA445 Statistikk 10.1, 10., 10.3: Introduksjon, 10.5, 10.6, 10.7: Test for µ i normalfordeling, 10.4: p-verdi Turid.Follestad@math.ntnu.no p.1/19 Estimering og hypotesetesting
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Løsningsforslag: Statistiske metoder og dataanalys Eksamensdag: Fredag 9. desember 2011 Tid for eksamen: 14.30 18.30
DetaljerEksamensoppgave i Løsningsskisse TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i Løsningsskisse TMA440 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland a, Sara Martino b Tlf: a 48 18 96, b 99 40 33 30 Eksamensdato: 30. november
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 1/ 38 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 2/ 38 Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. Hypotesetestig
DetaljerSFB LØSNING PÅ EKSAMEN HØSTEN 2018
SFB107111 - LØSNING PÅ EKSAMEN HØSTEN 018 Eksamen høsten 018 Oppgave 1 Anta at 70% av studentene spiller fotball og at 0% ikke spiller fotball. Anta at av de som spiller fotball så er det 40% som spiller
DetaljerLøsningsforslag statistikkeksamen desember 2014
Løsningsforslag statistikkeksamen desember 2014 Oppgave 1 a i. To hendelser er disjunke hvis det er intet overlapp mellom hendelsene, altså hvis A B = Ø. Siden vi har en sannsynlighet for å finne A B som
DetaljerSTK1100 våren 2019 Mere om konfidensintevaller
STK1100 våren 2019 Mere om konfidensintevaller Svarer til avsnitt 8.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Konfidensintervall for µ i store utvalg Anta at de stokastiske
Detaljerfor x 0 F X (x) = 0 ellers Figur 1: Parallellsystem med to komponenter Figur 2: Seriesystem med n komponenter
TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 3, blokk II Dette er den første av to innleveringer i blokk 2. Denne øvingen skal oppsummere
DetaljerForeleses onsdag 13.oktober, 2010
TMA440 Statistikk H010 Statistisk inferens: 9.4: Konfidensintervall for µ 8.7: Student-t fordeling 8.6: Fordeling til S Mette Langaas Foreleses onsdag 13.oktober, 010 Estimering Mål: finne sannheten om
DetaljerKapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering
Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering TMA4245 Statistikk Kapittel 8.1-8.5. Kapittel 9.1-9.3+9.15 Turid.Follestad@math.ntnu.no p.1/21 Har sett
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Sara Martino a, Torstein Fjeldstad b Tlf: a 994 03 330, b 962 09 710 Eksamensdato: 28. november 2018 Eksamenstid
DetaljerTMA4240 Statistikk 2014
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 9, blokk II Løsningsskisse Oppgave Scriptet run confds.m simulerer n data x,..., x n fra en normalfordeling med
DetaljerStatistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig om populasjonen. Konkret: Analysere en observator for å finne ut noe om korresponderende
DetaljerStatistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig om populasjonen. Konkret: Å analysere en utvalgsobservator for å trekke slutninger
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 9: Inferens om én populasjon I Kapittel 8 brukte vi observatoren z = x µ σ/ n for å trekke konklusjoner om µ. Dette
DetaljerNotasjon og Tabell 8. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
2 Inferens om varians og standardavvik for ett normalfordelt utvalg (9.4) Inferens om variansen til en normalfordelt populasjon bruker kjikvadrat-fordelingen ( chi-square distribution ) (der kji er den
DetaljerLøsning eksamen desember 2016
Løsning eksamen desember 016 Oppgave 1 a) En drone har to uavhengige motorer. Vi innfører hendelsene A: motor 1 svikter B: motor svikter Dronen er avhengig av at begge virker, slik at sannsynligheten for
DetaljerLøsningsforslag, eksamen statistikk, juni 2015
Løsningsforslag, eksamen statistikk, juni 0 Oppgave 1 Siden det spørres om tall fra et intervall, som oppgaven viser kan være et reelle, er det tydelig at tallene er tatt fra en kontinuerlig fordeling.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1. Eksamensdag: Mandag 1. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet
DetaljerKapittel 2: Hendelser
Kapittel 2: Hendelser FENOMEN Eksperiment Utfall Utfallsrom Eksperiment. Utfall. Eksperiment Utfall Hendelse Sannsynlighet: egenskaper, gunstige vs. mulige, relativ frekvens Sannsynlighet for mer enn en
Detaljer1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m
Formelsamling og tabeller FO020E Matte 2000 for elektroprogrammet 1 Matematikk 1.1 Denisjoner av ulike typer polynomer og rekker 1.1.1 Rekke med konstante ledd En rekke med konstante ledd er gitt som a
DetaljerDekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte
Hypotesetesting. 10 og fore- Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte for å undersøke hypoteser (påstander) knyttet til parametre i sannsynlighetsfordelinger.
DetaljerNorske hoppdommere og Janne Ahonen
TMA440 Statistikk H010 9.8: To uvalg (siste del) 9.9: Parvise observasjoner 9.10-9.11: Andelser 9.1: Varians Mette Langaas Foreleses onsdag 0.oktober, 010 Norske hoppdommere og Janne Ahonen Janne Ahonen
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 9.8: To uvalg (siste del) 9.9: Parvise observasjoner 9.10-9.11: Andelser 9.12: Varians Mette Langaas Foreleses onsdag 20.oktober, 2010 2 Norske hoppdommere og Janne Ahonen Janne
Detaljera ) Forventningen estimeres med gjennomsnittet: x = 1 12 (x 1 + + x 12 ) = 1 (755 + 708 + + 748) = 8813/12 = 734.4
ÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 011, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget. Oppgave 1 Vi betrakter dataene x 1,..., x 1 somutfall av n = 1 u.i.f.
DetaljerEcon 2130 uke 16 (HG)
Econ 213 uke 16 (HG) Hypotesetesting I Løvås: 6.4.1 6, 6.5.1-2 1 Testing av µ i uid modellen (situasjon I Z-test ). Grunnbegreper. Eksempel. En lege står overfor følgende problemstilling. Standardbehandling
DetaljerLøsningsforslag eksamen 27. februar 2004
MOT30 Statistiske metoder Løsningsforslag eksamen 7 februar 004 Oppgave a) Y ij = µ i + ε ij, der ε ij uavh N(0, σ ) der µ i er forventa kopperinnhold for legering i og ε ij er feilleddet (tilfeldig variasjon)
DetaljerKapittel 9 og 10: Hypotesetesting
Kapittel 9 og 1: ypotesetesting ypotesetesting er en standard vitenskapelig fremgangsmåte for å sjekke påstander. Generell problemstilling: Basert på informasjonen i data fra et tilfeldig utvalg ønsker
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 / TMA4245 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 / TMA4245 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland Tlf: 48 22 18 96 Eksamensdato: 10. august 2017 Eksamenstid (fra til): 09.00-13.00
DetaljerKap. 10: Inferens om to populasjoner. Eksempel. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis μ 1 og μ. Vi trekker da ett utvalg fra hver populasjon. ST00 Statistikk for
DetaljerEmnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
EKSAMEN Emnekode: SFB107111 Emnenavn: Metode 1, statistikk deleksamen Dato: 16. mai 2017 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og vedlagt formelsamling m/tabeller Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010 (19)
TMA4240 Statistikk H2010 (19) Hypotesetesting 10.1-10.3: Generelt om statistiske hypoteser 10.5: Ett normalfordelt utvalg Mette Langaas Foreleses mandag 25.oktober, 2010 2 Estimering og hypotesetesting
DetaljerForelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen. Jo Thori Lind
Forelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Kontinuerlige fordelinger 2. Uniform fordeling 3. Normal-fordelingen 1. Kontinuerlige fordelinger
Detaljer