Forelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen. Jo Thori Lind

Transkript

1 Forelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen Jo Thori Lind

2 Oversikt 1. Kontinuerlige fordelinger 2. Uniform fordeling 3. Normal-fordelingen

3 1. Kontinuerlige fordelinger

4 Diskrete og kontinuerlige fordelinger De stokastiske variablene og fordelingene vi har sett på så langt kunne bare ta distinkte verdier Kron eller mynt/suksess eller fiasko Heltallene 0,1,,10 Alle positive tall 0,1,2, Slike fordelinger kalles diskrete I en del tilfeller er alle verdier (i et intervall) mulige Høyden på personer Tid brukt på å løpe 100m Disse sier vi har en kontinuerlig fordeling

5 Sannsynligheten for et utfall Hvis X kan ta alle mulige verdier i et intervall [a,b] For eksempel alle utfall like sannsynlige Hva er sannsynligheten Pr(X = x)? Den er 0 Utfallet x er mulig, men et av uendelig mange så sannsynligheten er 0 I kontinuerlige fordelinger er sannsynligheten for et gitt tall alltid 0 I stedet må vi se på et intervall

6 Regning på kontinuerlige fordelinger Tetthet x f(x) Beskrive sannsynlighet som et tall for et intervall Arealet under en kurve Kurven kan beskrives med funksjonen f(x) Vet at f x 0 Sannsynligheten er 1 Pr 2 x 1 = න 2 f(x) dx

7 Forventning og varians Kan tenke på forventning og varians som før Litt mer slitsomt å regne ut Forventning Varians + EX = න xf(x) dx + Var(X) = න x μ 2 f(x) dx Erstatter summetegn Erstatter sannsynlighet

8 Kontinuerlig med massepunkter Det er tilfeller hvor det er fornuftig å modellere en fordelingen som kontinuerlig, men hvor sannsynligheten for noen verdier ikke er 0 Fordelingen av aksjeformue blant de som har aksjer er kontinuerlig Men mange har ingen aksjer, så aksjeformuen er 0 Da sier vi at det er et massepunkt på 0 Formell definisjon av slike fordelinger er utenfor dette kurset Krever målteori som er ganske komplisert matematikk

9 2. Uniform fordeling

10 Uniform fordeling En enkelt kontinuerlig fordeling er den uniforme fordelingen Tar verdier mellom a og b Alle utfall like sannsynlige Vi skriver U(a, b) Hvis X U(a, b) kan X ta alle verdier mellom a og b, alle er like sannsynlige 1 b a Areal=1 a b

11 Uniform fordeling (forts.) Si at X U(0,1) Hva er sannsynligheten Pr X 1? 2 Siden alle verdier er like sannsynlige vil halvparten være under ½ Derfor er Pr X 1 = 1 2 2

12 Regne på uniforme sannsynligheter Variabelen X U(a, b) Areal= y x b a Areal=1 Hele det lyseblå området er tegnet så det har areal=1 1 b a Hva er sannsynligheten for å komme mellom x og y? Hvor stort er y-x i forhold til b-a Det er y x b a Kan finne det ved å regne ut arealet av det mørkeblå området a x y b

13 Sannsynlighetstettheter Kurven i rødt kalles sansynlighetstettheten For den uniforme fordelingen er den 0 hvis x < a f x = 1 b a hvis x < a x b 0 hvis x > b 1 b a f(x) a b

14 Egenskaper ved uniforme sannsynligheter Hvis X U(a, b) så er EX = Var x = a + b 2 b a 2 12 Utfallsrommet til X er [a,b]

15 Bruksområder for uniforme sannsynligheter Ranger har uniforme sannsynligheter En tilfeldig løper i halvmaraton i Oslo Maraton har rang x Den er uniformt fordelt U(1,8898) Tidene ikke uniformt fordelt Enkel å regne på, så mye brukt i eksempler Grunnlag for å trekke tilfeldige tall En stokastisk variabel X har en fordeling med kumulativ sannsynlighetsfunksjon F(x) Vi kan trekke tilfeldige uniformt fordelte tall u Da kan vi få tall fra «vår» fordeling som F(u)

16 3. Normalfordelingen

17 Hva er normalfordelingen? Kontinuerlig fordeling med klokkeform En god del fordelinger i naturen har tilnærmet denne formen Høyde på rekrutter IQ Karakterer?? Egenskaper som gjør den veldig nyttig Tetthet x

18 Familien av normalfordelinger Normalfordelingen kan beskrives med to parametere Forventning Varians (eller standardavvik) Kjenner vi disse kjenner vi hele fordelinger Skriver X N(μ, σ 2 ) Utfallsrommet til alle normalfordelte variable er hele tallinja Alle utfall mulige Men utfall langt fra μ veldig usannsynlige

19 Forventningen Tetthet N(0,1) N(1,1) Flytter kurven høyre/venstre x

20 Variansen Tetthet N(0,0.6) N(0,1) Trekker fordelingen utover og innover x

21 Symmetri Normalfordelingen er symmetrisk Like stor sannsynlighet for å være over eller under forventningen Pr X μ = Pr X μ = 1 2 Forventningen, medianen og typetallet identiske

22 Regning på normalfordelingen Tetthetsfunksjonen til normalfordelingen er f x = 1 2πσ For å regne på sannsynligheter må vi ta integralet til denne funksjonen Ikke mulig å gjøre med penn og papir Må bruke datamaskiner eller tabeller x μ 2 e 2σ 2

23 Standard-normalfordelingen Se på en variabel X N(μ, σ 2 ) Den har EX = μ, Var X = σ 2 Lag en ny variabel Y = X μ Den har EY = μ μ = 0 Og Var X = σ 2 Lag enda en ny variabel Z = Y σ Den har EZ = 0 σ = 0 Og Var Z = 1 σ 2 σ 2 = 1 For alle X N(μ, σ 2 ) kan vi definere Z = X μ σ Den har Z N(0,1) Dette kalles standard normalfordelingen

24 Bruke standard normalfordelinger Kjenner vi fordelingen til Z (og μ og σ) vet vi alt om fordelingen til X Betyr at vi bare trenger tabell eller dataprogram som kan regne på standard normalfordelingen Selvsagt kan et dataprogram også regne på andre Men innarbeidet at standard normal er standarden

25 Bruke tabell Sannsynligheten Pr 0 Z 1 = Sannsynligheten Pr 1 Z 2 = Pr 0 Z 2 Pr 0 Z 1 = = Sannsynligheten Pr 1 Z 0 = Pr 0 Z 1 = Sannsynligheten Pr 1.96 Z 1.96 = 2 Pr 0 Z 1.96 = = 0.95

26 Bruke R Dette er enklere i R: Bruker pnorm() For sannsynligheten Pr Z 1.64 bruker vi pnorm(1.64) Gir For sannsynligheten Pr 1 Z 1 bruker vi pnorm(1)- pnorm(-1) Gir

27 Regning på normalfordelingen II X N(μ, σ 2 ) Bruke R Sannsynligheten Pr X 5 når μ = 3, σ = 2 Bruker pnorm(5,mean=3,sd=2) Det gir Bruke tabell Vet at Pr X 5 = Pr X μ σ Som gir Pr X 5 = Pr Z 1 = Pr Z 0 + Pr 0 Z 1 = =0.8413

28 Motsatt vei Hvis vi kjenner sannsynligheten p, hva er nivået x så Pr X x = p? I R bruker vi qnorm() qnorm(0.75) gir qnorm(0.95) gir

29 Regning med normalfordelte variable I Pluss, minus og gange med tall bevarer normalfordeling Hvis X N(μ, σ 2 ) og a og b ax + b N(aμ + b, a 2 σ 2 ) Kan bare bruke vanlige regler for forventning og varians NB: Dette er ikke sant for de fleste andre fordelinger

30 Regning med normalfordelte variable II Summen av to normalfordelte variable er normalfordelt Hvis X N(μ X, σ X 2 ) og Y N(μ Y, σ Y 2 ) så er X + Y N(μ X + μ Y, σ X 2 + σ Y 2 ) NB: Gjelder ikke for multiplikasjon, divisjon eller andre funksjoner NB: Hvis X og Y ikke er uavhengige er utrykket for variansenlitt annerledes

31 Hvorfor normalfordelingen? Hvorfor bryr vi oss om normalfordelingen? Og hvordan dukker den opp i virkeligheten? Normalfordelingen er en god tilnærming til andre fordelinger Binomisk fordeling når n blir stor blir tilnærmet normalfordelt Poisson-fordelingen med stor λ Dette er ikke tilfeldig I begge tilfellene legger vi sammen mange uavhengige tilfeldige variable

32 Sentralgrenseteoremet Trekk verdier fra (nesten) hvilken som helst fordeling mange ganger og ta gjennomsnittet Da vil gjennomsnittet tilnærmet følge normalfordelingen Dette gjelder eksakt hvis vi trekker uendelig mange ganger Dette gjør at normalfordelingen er ekstremt nyttig når vi har mange datapunkter Asymptotisk statistikk