Notasjon. Løsninger. Problem. Kapittel 7

Transkript

1 3 Notasjon Kapittel 7 Funksjoner av stokastiske variabler Har n stokastiske variabler, X 1, X 2,..., X n, med kjent fordeling f( 1, 2,..., n ) og kumulativ fordeling F( 1, 2,..., n ). Ser på Y = u(x 1, X 2,..., X n ), der u er kjent funksjon. Hva er fordelingen til Y? TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 4 Problem Hovedkarakter NTNU: I hvert fag fordeler karakterer seg i forhold til en sannsynlighetsfordeling. Hovedkarakter er et vektet gjennomsnitt av karakterer i alle fag. Hvilken fordeling har hovedkarakteren? Gass: Vi har en ideell gass i en tett beholder, pv = nrt. Vi har målt trykk (p), volum (V ) og temperatur (T ) med usikkerhet og vil vite fordelingen til antall mol av gassen (n). Vindmølle: Vi skal konstruere en vindølle for energiproduksjon. Vindmøllen må tåle kraftige vinder (og produsere maksimal med energi). Hvor kraftige vinder må vindmøllen tåle? Snølast: Hvilken foredeling har årsekstrem for snølast? Jeg skal fra stripa opp i 12 etasje i sentralbygg 2. Det er tre heiser, men en er avstengt pga. reparasjon. Jeg trykker på at jeg skal opp på begge de to heisene. Hvor mye korter ventetid ville jeg hatt hvis alle tre heisene var i funksjon? Løsninger 1. Fra kumulativ fordeling [Notat om Ordningsvariabler og ekstremvariabler]: Jobber med kumulativ fordeling P(Y y), og finner derifra fordeling g(y) (derivere eller ta differanser). Gjør dette for ekstremvariabler (når X-ene er uavhengige). Kan bli mye regning for generell situasjon. 2. Transformasjonsformler [kap. 7.2]: Jobber direkte med fordelingen g(y), for generell avhengighetsstruktur. Vi bruker det mest for en-til-en funksjon av EN stokastisk variabel. Formel i formelsamlingen.

2 5 7 Løsninger Maksimum Uavhengige stokastiske variabler: X 1, X 2,..., X n med kumulativ fordelingsfunksjon F X () = P(X ) og fordeling f X (). 1. Fra kumulativ fordeling [Notat om Ordningsvariabler og ekstremvariabler]: 2. Transformasjonsformler [kap. 7.2]: 3. Momentgenererende funksjoner [kap. 7.3]: En transformasjon som tar oss over i et annet rom (ligner på Laplace og Fourier-transform som dere møter i Matematikk 4N). Der er det enkelt å finne fordelingen til Y = lineær kombinasjon av uavhengige stokastiske variabler. Kan også enkelt finne momenter til Y. V = ma(x 1, X 2,..., X n ) Kumulativ fordelingsfunksjon for maksimum: F V (v) = [F X (v)] n Hvis maksimum er mindre enn v må alle være mindre enn v. Sannsynlighetstetthet (hvis X-ene er kontinuerlige) Eksempler: f V (v) = n[f X (v)] n 1 f X (v) Parallellsystem Ventetid til siste gjest ankommer (forlater) festen. Største årlige snølast og vindhastighet. 6 8 Ordningsvariabler Minimum Stokastiske variabler: X 1, X 2,..., X n Sorterer etter størrelse: X (1) X (2) X (n). Velger variabel basert på hvor i følgen den kommer Minimum X (1) = min(x 1, X 2,..., X n ) Maksimum X (n) = ma(x 1, X 2,..., X n ) kte ordningsvariabel: X (k) ) Median { X X = ((n+1)/2) hvis n er oddetall 1 2 (X (n/2) + X (n/2+1) ) hvis n er partall Variasjonsbredden X (n) X (1). Uavhengige stokastiske variabler: X 1, X 2,..., X n med kumulativ fordelingsfunksjon F X () = P(X ) og fordeling f X (). U = min(x 1, X 2,..., X n ) Kumulativ fordelingsfunksjon for minimum F U (v) = 1 [1 F X (u)] n Hvis minimum er større enn u, må alle være større enn u. Sannsynlighetstetthet (hvis X-ene er kontinuerlige) f U (u) = n[1 F X (u)] n 1 f X (u) Eksempler: Seriesystem, f.eks juletrelys Ventetid til første heis (av n) mulige kommer. Minimum av eksponensialfordelte størrelser er også eksponensialfordelt. Ditto for Weibull.

3 9 kte ordningsvariabel Ser på X (k) : F X(k) () = P(k eller flere X i -er er ) Vi har en binomisk situasjon: n forsøk i hver forsøk (nummer i) registerer vi om X i eller ikke P(X i ) = F X () for alle forsøkene og de n forsøkene er uavhengige. n ( ) n F X(k) () = P(k eller flere X i -er er ) = [F X ()] j [1 F X ()] n j j Når X-ene er kontinuerlige kan sannsynlighetstettheten finnes ved å derivere m.h.p. og etter noe mellomregning kan den skrives: ( ) n 1 f X(k) () = n [F X ()] k 1 [1 F X ()] n k f X () k 1 j=k Transformasjoner: u() og w(y) y = u() er en transformasjon fra til y. Når y = u() er en-til-en, også kalt en-entydig, betyr det at en verdi av er knyttet til bare en verdi av (og omvendt). Ønsker å finne som en funksjon av y: Løser y = u(). Løsningen kaller vi = w(y). Vi kaller u() og w(y) for inverse (omvendte) funksjoner. 10 Eksponentialfordeling Blå (midterst) F X (), rød (øverst) min F U (), grønn (nederst) ma F V (). 12 Inverse funksjoner 2 * y=2 ^2 ^ * y=0.5 sqrt() y=sqrt()

4 13 en diskret variabel TEO 7.1: Anta at X er en diskret stokastisk variabel med fordeling f(). La Y = u(x) være en en-til-en transformasjon mellom verdiene av X og verdiene av Y, slik at ligningen y = u() har en unik løsning, kall den = w(y). Da er fordelingen til Y gitt som g(y) = f[w(y)]. g(y) = P(Y = y) = P[u(X) = y] = P[X = w(y)] = f[w(y)]. 15 Fordeling til funksjon av SV 1. Fra kumulativ fordeling [Notat om Ordningsvariabler og ekstremvariabler]: 2. Transformasjonsformler [kap. 7.2]: Jobber direkte med fordelingen g(y), for generell avhengighetsstruktur. Vi bruker det mest for en-til-en funksjon av EN stokastisk variabel. Formel i formelsamlingen. 3. Momentgenererende funksjoner [kap. 7.3]: En transformasjon som tar oss over i et annet rom (ligner på Laplace og Fourier-transform som dere møter i Matematikk 4N). Der er det enkelt å finne fordelingen til Y = lineær kombinasjon av uavhengige stokastiske variabler. Kan også enkelt finne momenter til Y. 14 to diskrete variabler TEO 7.2: Anta at X 1 og X 2 er diskrete stokastisk variabler med simultan fordeling f( 1, 2 ). La Y 1 = u 1 (X 1, X 2 ) og Y 2 = u 2 (X 1, X 2 ) være en en-til-en transformasjon mellom punktene ( 1, 2 ) og (y 1, y 2 ), slik at ligningene y 1 = u 1 ( 1, 2 ) y 2 = u 2 ( 1, 2 ) har en unik løsning for 1 og 2 som funksjoner av y 1 og y 2, kall dem 1 = w 1 (y 1, y 2 ) og 2 = w 2 (y 1, y 2 ). Da er den simultane fordelingen til Y 1 og Y 2 gitt som g(y 1, y 2 ) = f[w 1 (y 1, y 2 ), w 2 (y 1, y 2 )]. g(y 1, y 2 ) = P(Y 1 = y 1, Y 2 = y 2 ) = P(u 1 (X 1, X 2 ) = y 1, u 2 (X 1, X 2 ) = y 2 ) = P(X 1 = w 1 (y 1, y 2 ), X 2 = w 2 (y 1, y 2 )) = f[w 1 (y 1, y 2 ), w 2 (y 1, y 2 )] Transformasjoner: u() og w(y) y = u() er en transformasjon fra til y. Når y = u() er en-til-en, også kalt en-entydig, betyr det at en verdi av er knyttet til bare en verdi av (og omvendt). Ønsker å finne som en funksjon av y: Løser y = u(). Løsningen kaller vi = w(y). Vi kaller u() og w(y) for inverse (omvendte) funksjoner. ^2 ^2 sqrt() y=sqrt()

5 17 en diskret variabel TEO 7.1: Anta at X er en diskret stokastisk variabel med fordeling f(). La Y = u(x) være en en-til-en transformasjon mellom verdiene av X og verdiene av Y, slik at ligningen y = u() har en unik løsning, kall den = w(y). Da er fordelingen til Y gitt som g(y) = f[w(y)]. g(y) = P(Y = y) = P[u(X) = y] = P[X = w(y)] = f[w(y)]. Ikke en-entydig: dele opp i områder med en-entydighet og summere. 19 en kontinuerlig variabel TEO 7.3: Anta at X er en kontinuerlig stokastisk variabel med fordeling f(). La Y = u(x) være en en-til-en transformasjon mellom verdiene av X og verdiene av Y, slik at ligningen y = u() har en unik løsning, kall den = w(y). Da er fordelingen til Y gitt som g(y) = f[w(y)] J. der J = w (y) = dw(y) dy kalles Jakobi-determinanten til transformasjonen. Videre: Generaliseringen til to variabler i Teorem 7.4 er ikke pensum. 18 to diskrete variabler TEO 7.2: Anta at X 1 og X 2 er diskrete stokastisk variabler med simultan fordeling f( 1, 2 ). La Y 1 = u 1 (X 1, X 2 ) og Y 2 = u 2 (X 1, X 2 ) være en en-til-en transformasjon mellom punktene ( 1, 2 ) og (y 1, y 2 ), slik at ligningene y 1 = u 1 ( 1, 2 ) y 2 = u 2 ( 1, 2 ) har en unik løsning for 1 og 2 som funksjoner av y 1 og y 2, kall dem 1 = w 1 (y 1, y 2 ) og 2 = w 2 (y 1, y 2 ). Da er den simultane fordelingen til Y 1 og Y 2 gitt som g(y 1, y 2 ) = f[w 1 (y 1, y 2 ), w 2 (y 1, y 2 )]. g(y 1, y 2 ) = P(Y 1 = y 1, Y 2 = y 2 ) = P(u 1 (X 1, X 2 ) = y 1, u 2 (X 1, X 2 ) = y 2 ) = P(X 1 = w 1 (y 1, y 2 ), X 2 = w 2 (y 1, y 2 )) = f[w 1 (y 1, y 2 ), w 2 (y 1, y 2 )] 20 en kontinuerlig variabel TEO 7.5: Anta at X er en kontinuerlig stokastisk variabel med fordeling f(). La Y = u(x) være en transformasjon mellom verdiene av X og verdiene av Y som ikke er en-til-en. Hvis intervallet som X er definert på kan deles inn i k disjunkte intervaller slik at for hvert intervall så er de inverse funksjonene en-til-en. 1 = w 1 (y), 2 = w 2 (y),... k = w k (y) Da er fordelingsfunksjonen til Y g(y) = k f[w i (y)] J i. i=1 der J i = w i (y) = dw i(y) dy for i = 1,..., k

6 21 en kontinuerlig variabel 23 Momenter fra momentgenererende funksjoner Viktige resultater: Hvis X er normalfordelt med forventning µ og varians σ 2, så er Z = X µ σ standard normalfordelt (forventning 0 og varians 1). Videre er Z 2 kjikvadrat-fordelt med ν = 1 frihetsgrader. TEO 7.6: La X være en stokastisk variabel med momentgenererende funksjon M X (t). Da er d r M X (t) dt r t=0 = µ r Momenter og momentgenererende funksjoner DEF 7.1: rte ordens moment til en stokastisk variabel X er gitt som { µ r = E(X r ) = r f() diskret r f()d kontinuerlig DEF 7.2: Den moment-genererende funksjonen til en stokastisk variabel X er gitt ved E(e tx ) og kalles M X (t). Dermed, { M X (t) = E(e tx ) = etx f() diskret etx f()d kontinuerlig M X (t) eksisterer bare hvis summen (evt. intergralet) eksisterer. Formelsamlingen: M X (t) for de fordelingene vi har jobbet med står i formelsamlingen. 24 Fordeling fra momentgenererende funksjoner TEO 7.7: Unikhet La X og Y være to stokastiske variabler med moment-genererende funksjoner M X (t) og M Y (t). Hvis M X (t) = M Y (t) for alle verdier av t, så har X og Y samme fordeling. TEO 7.8: TEO 7.9: M X+b (t) = e bt M X (t) M X+b (t) = E[e t(x+b) ] = e bt E(e tx ) = e bt M X (t) M ax (t) = M X (at) M ax (t) = E[e t(ax) ] = E(e (at)x ) = M X (at)

7 25 Fordeling fra momentgenererende funksjoner 27 Sum av uavhengige variabler TEO 7.11 Hvis X 1, X 2,..., X n er uavhengige normalfordelte stokastiske variabler med forventninger µ 1, µ 2,..., µ n og varianser σ1 2, σ2 2,..., σ2 n, så er TEO 7.10: Hvis X 1, X 2,..., X n er uavhengige stokastiske variabler med momentgenererende funksjoner M X1 (t), M X2 (t),..., M Xn (t), og la Y = X 1 + X 2 + X n. Da er M Y (t) = M X1 (t) M X2 (t) M Xn (t) Y = a 1 X 1 + a 2 X a n X n også normalfordelt med forventning µ Y = a 1 µ 1 + a 2 µ a n µ n og varians σ 2 Y = a2 1 σ2 1 + a2 2 σ a2 n σ2 n 26 Sum av uavhengige variabler Binomisk: Hvis X 1,..., X n er uavhengige og binomisk fordelt med parametre m i og p (samme p for alle variabler), så vil n i=1 X i være binomisk fordelt med parametre m = n i=1 m i og p. Poisson: Hvis X 1,..., X n er uavhengige og hver Poisson-fordelt med parameter µ i, så vil n i=1 X i være Poisson-fordelt med parameter µ = n i=1 µ i. 28 Sum av uavhengige kjikvadrat-fordelte variabler TEO 7.12 Hvis X 1, X 2,..., X n er uavhengige kjikvadratfordelte stokastiske variabler med ν 1, ν 2,..., ν n frihetsgrader, så er Y = X 1 + X X n en kjikvadratfordelt stokastisk variabel med ν = ν 1 + ν ν n frihetsgrader. COR Hvis X 1, X 2,..., X n er uavhengige normalfordelte stokastiske variabler, der alle har forventning µ og varians σ 2, da er den stokastiske variabelen n Y = ( X i µ ) 2 σ i=1 kjikvadratfordelt med ν = n frihetsgrader.

8 29 BEVIS: Sum uavhengige normal SV X n(; µ, σ) M X (t) = e µt+ 1 2 σ2 t 2, slik at M Xi (t) = e µ i t+ 1 2 σ2 i t 2, i = 1,...,n. M ai X i (t) = M Xi (a i t) = e a iµ i t+ 1 2 a2 i σ 2 i t 2, i = 1,..., n. M Y (t) = M P n i=1 a i X i (t) = M a1 X 1 (t) M a2 X 2 (t) M an X n (t) = e a 1µ 1 t+ 1 2 a2 1 σ2 1 t2 e a 2µ 2 t+ 1 2 a2 2 σ2 2 t2 e a nµ n t+ 1 2 a2 n σ2 n t2 = e P n i=1 a iµ i t + P n i=1 1 2 a2 i σ 2 i t 2 = e (P n i=1 a iµ i )t (P n i=1 a2 i σ 2 i )t 2 Gjenkjenner dette som momentgenererende funksjon for en normalfordelt stokastisk variabel med µ = E(Y) = n i=1 a iµ i og σ 2 = Var(Y) = n i=1 a2 i σ2 i, dvs. Y n(y; µ, σ).