Binomisk sannsynlighetsfunksjon
|
|
- Monika Dale
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Binomisk sannsynlighetsfunksjon La det være n forsøk, sannsynlighet p for suksess og sannsynlighet q for fiasko. Den tilfeldige variable x er antall suksess i de n forsøk. Da er P(x) =c(p x )(q n x ) for x = 0, 1, 2,...,n der c er antallet grener med x suksesser. c kalles binomisk koeffisient og kan regnes ut ved ( ) n n! c = = x x!(n x)! der n! leses n-fakultet og er gitt ved n! =1 2 n. Tips: p 0 er alltid lik 1; også 0! =1. Situasjonen er som i quiz-eksempelet: n = 4, p = 1/3 ( suksess betyr å gjette riktig alternativ), q = 2/3. Oppgave: Finn P(x), x=0,1,2,3,4 fra den generelle formelen for binomisk sannsynlighetsfordeling Finn også P(x 3) Løsning: dvs. P(0) = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(x) = ( 4 x )( 1 3 ) x ( ) 2 4 x 3 ( )( ) ( ) 2 4 ( ) 2 4 = = ( )( ) ( ) 2 3 ( ) 1 1 ( ) 2 3 = 4 = ( )( ) ( ) 2 2 ( ) 1 2 ( ) 2 2 = 6 = ( )( ) ( ) 2 1 ( ) 1 3 ( ) 2 1 = 4 = ( )( ) ( ) 2 0 ( ) 1 4 = = dvs. P(x 3) =1 P(x = 4) = = 0.988
2 5 Forventning og standardavvik for binomisk fordeling (5.6) Forventning for binomisk fordeling med n forsøk, suksesssannsynlighet p og fiaskosannsynlighet q: μ = np Standardavvik for binomisk fordeling: σ = npq Oppgave: Finn forventning og varians for en binomisk tilfeldig variabel med n=30 og p=0.6. μ = = 18.0, σ = = 7.2 = Eksempel 5.9: Dårlige egg 8 Løsning på dårlige egg Bestyreren på Steve s Food Market garanterer at alle hans kartonger med 12 egg inneholder høyst ett dårlig egg. Hvis en kartong inneholder mer enn ett dårlig egg, vil han erstatte hele dusinet og la kunden beholde de gode eggene! Hvis sannsynligheten for et dårlig egg er 0.05, hva er sannsynligheten for at bestyreren må erstatte en gitt kartong? La x være antall dårlige egg i en tilfeldig eske. Hvilke forutsetninger må vi gjøre for at vi skal kunne anta at x har en binomisk fordeling med n = 12 forsøk og sannsynlighet for suksess lik 0.05? Sannsynligheten for at en kartong inneholder x dårlige egg er da ( ) 12 P(x) = (0.05) x (0.95) 12 x for x = 0, 1, 2,...,12 x
3 Bestyreren vil erstatte en eske hvis x er enten 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, Tabell 2 i Appendix B For å finne sannsynligheten for dette er det lettere å først finne sannsynligheten for å ikke erstatter kartongen, dvs. for at x = 0 eller 1. Her er ( ) 12 P(0) = (0.05) 0 (0.95) 12 =(0.95) 12 = P(1) = 0 ( 12 1 ) (0.05) 1 (0.95) 11 = 12 (0.05) 1 (0.95) 11 = Sannsynligheten for å få en kartong med høyst ett dårlig egg er da P(0)+ P(1) = = 0.881, så sannsynligheten for at bestyreren må erstatte en eske er = Leser av at med n = 12, p = 0.05 er P(0) =0.540, P(1) = Intelligenstester (6.1) 12 Sannsynlighetstetthet og histogram
4 13 Sannsynlighetstetthet og histogram 14 Sannsynlighetstetthet Sannsynlighetsfordelingen til en kontinuerlig tilfeldig variabel x er gitt ved en såkalt sannsynlighetstetthet f (x) ( probability distribution function ). Sannsynligheten for å få et resultat i intervallet fra a til b finnes fra P(a < x < b) = b a f (x)dx som er lik arealet av det skraverte området på figuren under. 15 Normalfordelingen (6.2) Sannsynlighetstettheten til en normalfordelt tilfeldig variabel x har formel: f (x) = 1 e 1 2 ( x μ σ )2 2πσ 16 Standardnormalfordelingen (6.3) Dette er normalfordelingen med μ = 0,σ = 1. En standardnormalfordelt tilfeldig variabel betegnes ofte med z. Sannsynlighetstettheten er gitt ved formelen f (z) = 1 e 1 2 z2 2π Som for diskrete tilfeldige variable kan vi definere forventning og standardavvik også for kontinuerlige variable. For x med sannsynlighetstetthet f (x) ovenfor er: forventningen gitt ved μ (lik 100 i IQ-eksemplet) standardavviket gitt ved σ (lik 16 i IQ-eksemplet)
5 17 Egenskaper for standardnormalfordelingen 1. Det totale areal under kurven er Sannsynlighetstettheten har en topp, er symmetrisk om 0, og strekker seg uendelig langt ut i hver retning uten å berøre den horisontale aksen. 3. Forventningen i fordelingen er 0 og standardavviket er Arealet på hver side av 0 er lik Nesten hele arealet ligger mellom z = 3 ogz = z-score (standard score) Standardnormalfordelingen er fordelingen til såkalte z-score, som kan dannes fra en normalfordelt tilfeldig variabel x med forventning μ og standardavvik σ ved å beregne: z = x μ σ z-score kan også beregnes for et sett av data med gjennomsnitt x og utvalgsstandardavvik s ved å standardisere alle observasjonene med z = x x s 19 Beregning av sannsynligheter for standardnormalfordelingen Sannsynligheten for at z har en verdi i et intervall fra a til b er gitt som arealet under standardnormalfordelingskurven fra a til b. Formelt kan vi skrive dette arealet som P(a < z < b). Tabell 3 i Appendix B viser arealet under kurven mellom a = 0og ulike verdier av b, dvs. P(0 < z < b) Tabellen kan brukes til å finne arealer for alle valg av a, b.
6 Eksempel: Finn arealet under standard normalfordelingen fra z=0 til z=1.52. z P(0 < z < 1.52) = Eksempel: Finn P(z>1.52) P(z > 1.52) = 1 P(z < 1.52) = 1 (P(z < 0)+P(0 < z < 1.52)) = =
7 Eksempel: Finn P(z<-1.52) Oppgave: Finn P(z>2.03) P(z < 1.52) = P(z > 1.52) = 1 P(z < 1.52) = 1 (P(z < 0)+P(0 < z < 1.52)) = = Oppgave: Finn P(z<-1.65) Eksempel: Finn P(-1.5<z<2.1) P( 1.5 < z < 2.1) = P( 1.5 < z < 0)+P(0 < z < 2.1) = P(0 < z < 1.5)+P(0 < z < 2.1) = = Eksempel: Finn P(0.7<z<2.1) P(0.7 < z < 2.1) = P(0 < z < 2.1) P(0 < z < 0.7) = = Oppgave: Finn P(0.75<z<2.25)
8
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag Situasjonen er som i quiz-eksempelet: n = 4, p = 1/3 ( suksess betyr å gjette riktig alternativ), q = 2/3. Oppgave: Finn
DetaljerLøsning på Dårlige egg med bruk av Tabell 2 i Appendix B
Situasjonen er som i quiz-eksempelet: n = 4, p = 1/3 ( suksess betyr å gjette riktig alternativ), q = 2/3. Oppgave: Finn P(x), x=0,1,2,3,4 fra den generelle formelen for binomisk sannsynlighetsfordeling
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 6: Normalfordelingen Normalfordelingen regnes som den viktigste statistiske fordelingen!
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Tilfeldige variable (5.2) Dersom vi til hvert utfall av eksperimentet tilordner et tall, har vi laget en tilfeldig variabel.
DetaljerTilfeldige variable (5.2)
Tilfeldige variable (5.) Dersom vi til hvert utfall av eksperimentet tilordner et tall, har vi laget en tilfeldig variabel. Tilfeldig variabel: En variabel som har en numerisk verdi for hvert utfall i
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 5: Sannsynlighetsfordelinger for diskrete variabler Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Tilfeldige variabler (5.1) Dersom vi til hvert utfall av eksperimentet
DetaljerSTK1100 våren Normalfordelingen. Normalfordelingen er den viktigste av alle sannsynlighetsfordelinger
STK00 våren 206 Normalfordelingen Svarer til avsnitt 4.3 i læreboka Geir Storvik Matematisk institutt Universitetet i Oslo Normalfordelingen er den viktigste av alle sannsynlighetsfordelinger Normalfordelingen
DetaljerBernoulli forsøksrekke og binomisk fordeling
Bernoulli forsøksrekke og binomisk fordeling Bernoulli forsøksrekke i) gjentar et forsøk n ganger ii) hvert forsøk gir enten suksess eller fiasko iii) sannsynligheten for suksess er p i alle forsøkene
DetaljerEt lite notat om og rundt normalfordelingen.
Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Observasjoner Histogram Viser fordelingen av faktiske observerte
DetaljerEt lite notat om og rundt normalfordelingen.
Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Observasjoner Histogram Viser fordelingen av faktiske observerte
DetaljerEt lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver?
Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Boka (Ch 1.4) motiverer dette ved å gå fra histogrammer til tetthetskurver.
DetaljerForelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen. Jo Thori Lind
Forelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Kontinuerlige fordelinger 2. Uniform fordeling 3. Normal-fordelingen 1. Kontinuerlige fordelinger
DetaljerSTK1000 Uke 36, Studentene forventes å lese Ch 1.4 ( ) i læreboka (MMC). Tetthetskurver. Eksempel: Drivstofforbruk hos 32 biler
STK1000 Uke 36, 2016. Studentene forventes å lese Ch 1.4 (+ 3.1-3.3 + 3.5) i læreboka (MMC). Tetthetskurver Eksempel: Drivstofforbruk hos 32 biler Fra histogram til tetthetskurver Anta at vi har kontinuerlige
DetaljerDiskrete sannsynlighetsfordelinger som histogram. Varians. Histogram og kumulativ sannsynlighet. Forventning (gjennomsnitt) (X=antall mynt i tre kast)
Diskret sannsynlighetsfordeling (kap 1.1-1.6) Oversikt Utfallsrom (sample space) Sannsynlighetsfordeling Forventning (expectation), E(X), populasjonsgjennomsnitt Bruk av figurer og histogram Binomialfordelingen
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Fra første forelesning: Populasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg En delmengde av
DetaljerDiskrete sannsynlighetsfordelinger som histogram. Varians. Histogram og kumulativ sannsynlighet. Binomial-fordelingen
Diskret sannsynlighetsfordeling (kap 1.1-1.6) Oversikt Utfallsrom (sample space) Sannsynlighetsfordeling Forventning (expectation), E(, populasjonsgjennomsnitt Bruk av figurer og histogram Binomialfordelingen
DetaljerOppfriskning av blokk 1 i TMA4240
Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Geir-Arne Fuglstad November 21, 2016 2 Hva har vi gjort i dette kurset? Vi har studert to sterkt relaterte grener av matematikk Sannsynlighetsteori: matematisk teori for
DetaljerMedisinsk statistikk Del I høsten 2009:
Medisinsk statistikk Del I høsten 2009: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Pål Romundstad Beregning av sannsynlighet i en binomisk forsøksrekke generelt Sannsynligheten for at suksess intreffer X
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 9: Inferens om én populasjon Statistisk inferens har som mål å tolke/analysere
Detaljer1 Section 6-2: Standard normalfordelingen. 2 Section 6-3: Anvendelser av normalfordelingen. 3 Section 6-4: Observator fordeling
1 Section 6-2: Standard normalfordelingen 2 Section 6-3: Anvendelser av normalfordelingen 3 Section 6-4: Observator fordeling 4 Section 6-5: Sentralgrenseteoremet Oversikt Kapittel 6 Kontinuerlige tilfeldige
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 7: Utvalgsfordeling Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Fra kapittel 1: Populasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Det er to populasjoner som vi ønsker å sammenligne. Vi trekker da et utvalg
DetaljerKapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger
Kapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger TMA4240 Statistikk (F2 og E7) Foreleses 15. september, 2004. µ µ µ + Basert på slides av Mette Langås p.1/16 6.1 Kontinuerlig uniform fordeling Kontinuerlig
DetaljerFra første forelesning:
2 Fra første forelesning: ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag opulasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg En delmengde av populasjonen
DetaljerEcon 2130 Forelesning uke 10 (HG) Geometrisk og normal fordeling
Econ 2130 Forelesning uke 10 (HG) Geometrisk og normal fordeling 1 Geometrisk fordeling Binomisk forsøks-serie En serie likeartete forsøk med to mulige utfall, S og F, i hvert. (Modell) forutsetninger
DetaljerSTK1100 våren Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner
STK1100 våren 2017 Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner Svarer til avsnittene 4.1 og 4.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i
DetaljerEkstreme bølger. Geir Storvik Matematisk institutt, Universitetet i Oslo. 5. mars 2014
Ekstreme bølger Geir Storvik Matematisk institutt, Universitetet i Oslo 5. mars 2014 Bølger Timesvise max-bølger ved bøye utenfor østkyst av USA (17/12/1991-23/2-1992) Størrelse på bølger varierer sterkt
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2008
TMA4240 Statistikk Høst 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave 1 Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Inferens om varians og standardavvik for ett normalfordelt utvalg (9.4) Inferens om variansen til en normalfordelt populasjon
DetaljerForelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable
Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Eksempel X = "antall kron på kast med to mynter (før de er kastet)" Uniformt utfallsrom {MM, MK, KM, KK}. X = x beskriver hendelsen "antall kron på kast med
DetaljerNotasjon og Tabell 8. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
2 Inferens om varians og standardavvik for ett normalfordelt utvalg (9.4) Inferens om variansen til en normalfordelt populasjon bruker kjikvadrat-fordelingen ( chi-square distribution ) (der kji er den
DetaljerSeksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen
Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen Har sett på ulike metoder for å plotte eller oppsummere data Vil nå starte på hvordan beskrive data ved modeller Hovedmetode er tetthetskurver Tetthetskurver
DetaljerHøgskolen i Telemark. Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING Statistikk I. Til bruk ved eksamen. Per Chr. Hagen
Høgskolen i Telemark Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING 6005 Statistikk I Til bruk ved eksamen Per Chr. Hagen . Sannsynlighetsregning. Regneregler Komplementsetningen: Addisjonssetningen:
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2012
TMA424 Statistikk Høst 212 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving 5 blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 X N(18,2.5 2 ) P(X < 15) = P ( X 18 < 15 18 ) = P(Z < 1.2)
DetaljerST0103 Brukerkurs i statistikk Forelesning 26, 18. november 2016 Kapittel 8: Sammenligning av grupper
ST0103 Brukerkurs i statistikk Forelesning 26, 18. november 2016 Kapittel 8: Sammenligning av grupper Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kapittel 8: Sammenligning av grupper Situasjon: Vi ønsker
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent) Mette Langaas Foreleses mandag 11.oktober,
DetaljerHypotesetesting. Hvorfor og hvordan? Gardermoen 21. april 2016 Ørnulf Borgan. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf:
Hypotesetesting Hvorfor og hvordan? Gardermoen 21. april 2016 Ørnulf Borgan H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400 www.aschehoug.no 1 Oversikt Sannsynlighetsregning og statistikk
DetaljerStatistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent)
TMA440 Statistikk H010 Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent) Mette Langaas Foreleses mandag 11.oktober,
DetaljerUtvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer.
Utvalgsfordelinger Vi har sett at utvalgsfordelinger til en statistikk (observator) er fordelingen av verdiene statistikken tar ved mange gjenttatte utvalg av samme størrelse fra samme populasjon. Utvalg
DetaljerÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 2010, s. 1. Oppgave 1. Histogram over frekvenser.
ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 0, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) a) Gjennomsnitt: x = 1 Emp. standardavvik: Median: 1 (1.33 + 1.) = 1.35
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må
DetaljerUtfordring. TMA4240 Statistikk H2010. Mette Langaas. Foreleses uke 40, 2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må
DetaljerSensurveiledning for eksamen i lgu52003 våren 2015
Sensurveiledning for eksamen i lgu5200 våren 205 Oppgave a) Gjennomsnittsfart fra 0-0 minutt: tilbakelagt strekning etter 0 min tilbakelagt strekning ved start tid = Gjennomsnittsfart fra 5-0 minutt: (5
DetaljerMidtveiseksamen i STK1100 våren 2017
Midtveiseksamen i STK1100 våren 2017 Denne midtveiseksamenen består av 20 oppgaver. Det er ett riktig svaralternativ for hvert spørsmål. Hvis svaret er oppgitt som et desimaltall, er det rundet av til
DetaljerKapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable
Kapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable Forventning og varians til stokastiske variable Histogrammer for observerte data: Sannsynlighets-histogrammer og tetthetskurver for stokastiske
DetaljerKapittel 3: Studieopplegg
Oversikt over pensum Kapittel 1: Empirisk fordeling for en variabel o Begrepet fordeling o Mål for senter (gj.snitt, median) + persentiler/kvartiler o Mål for spredning (Standardavvik s, IQR) o Outliere
DetaljerUtvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer.
Utvalgsfordelinger Vi har sett at utvalgsfordelinger til en observator er fordelingen av verdiene observatoren tar ved mange gjenttatte utvalg av samme størrelse fra samme populasjon. Utvalg er en tilfeldig
DetaljerTMA4240 Statistikk H2015
TMA4240 Statistikk H2015 Kapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 6.1 Uniform fordeling 6.2-6.3 Normalfordeling Mette Langaas Institutt for matematiske fag, NTNU wiki.math.ntnu.no/emner/tma4240/2015h/start/
DetaljerSTK1100 våren 2019 Mere om konfidensintevaller
STK1100 våren 2019 Mere om konfidensintevaller Svarer til avsnitt 8.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Konfidensintervall for µ i store utvalg Anta at de stokastiske
DetaljerTMA4240 Statistikk H2015
TMA4240 Statistikk H2015 Funksjoner av stokastiske variabler (kapittel 7+notat) Fokus på start med kumulativ fordeling 7.2 Funksjon av en SV (inkludert en-entydighet). Fordeling til max/min (fra notat).
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 0, blokk II Løsningsskisse Oppgave Surhetsgrad i ferskvann Eksamen august 00, oppgave av 3 a) En god estimator
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer
Detaljer1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger
1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk
DetaljerSTK Oppsummering
STK1100 - Oppsummering Geir Storvik 6. Mai 2014 STK1100 Tre temaer Deskriptiv/beskrivende statistikk Sannsynlighetsteori Statistisk inferens Sannsynlighetsregning Hva Matematisk verktøy for å studere tilfeldigheter
DetaljerForeleses onsdag 8. september 2010
TMA4240 Statistikk H200 4.2: Varians (univariat del) 4.4: Chebyshevs teorem 3.4: Simultanfordelinger Mette Langaas Foreleses onsdag 8. september 200 Mette.Langaas@math.ntnu.no, TMA4240H200 2 4.2 Varians
DetaljerForelesning 3. april, 2017
Forelesning 3. april, 2017 APPENDIX TIL KAP. 6 Sentralgrenseteoremet AVSNITT 6.3 Anvendelser av sentralgrenseteoremet Histogrammer S-kurver Q-Q-plot Diverse eksempler MGF for følger av uavhengige identisk
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: STK Sannsynlighetsregning og statistisk modellering Eksamensdag: Mandag 4. mars 26 Tid for eksamen: 5. 7. Oppgavesettet er
DetaljerKapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable
Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable Litt repetisjon: Sannsynlighetsteori Stokastisk forsøk og sannsynlighet Tilfeldig fenomen Individuelle utfall er usikre, men likevel et regulært mønster for
DetaljerFormelsamling i medisinsk statistikk
Formelsamling i medisinsk statistikk Versjon av 6. mai 208 Dette er en formelsamling til O. O. Aalen (red.): Statistiske metoder i medisin og helsefag, Gyldendal, 208. Gjennomsnitt x = n (x + x 2 + x 3
DetaljerSeksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen
Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen Har sett på ulike metoder for å plotte eller oppsummere data ved tall Vil nå starte på hvordan beskrive data ved modeller Hovedmetode er tetthetskurver Tetthetskurver
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 3.3: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 4.1: Matematisk forventing (univariat del) Mette Langaas Foreleses mandag 6. september 2010 2 3.1 Stokastisk variabel (repetisjon)
Detaljer3.1 Stokastisk variabel (repetisjon)
TMA4240 Statistikk H2010 3.3: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 4.1: Matematisk forventing (univariat del) Mette Langaas Foreleses mandag 6. september 2010 2 3.1 Stokastisk variabel (repetisjon)
DetaljerObservatorar og utvalsfordeling. Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU
Observatorar og utvalsfordeling Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU 08.10.2018 I dag Til no i emnet Observatorar Utvalsfordelingar Sentralgrenseteoremet 2 Til no i emnet definisjon av
DetaljerUtvalgsfordelinger; utvalg, populasjon, grafiske metoder, X, S 2, t-fordeling, χ 2 -fordeling
Kapittel 8 Utvalgsfordelinger; utvalg, populasjon, grafiske metoder, X, S 2, t-fordeling, χ 2 -fordeling TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 Til nå... Definert sannsynlighet og stokastiske variabler (kap. 2 & 3).
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt
UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt Midtveiseksamen i: STK 1000: Innføring i anvendt statistikk Tid for eksamen: Onsdag 9. oktober 2013, 11:00 13:00 Hjelpemidler: Lærebok, ordliste for STK1000, godkjent
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2009
TMA4240 Statistikk Høst 2009 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b5 Løsningsskisse Oppgave 1 Vi ønsker å finne ut om et nytt serum kan stanse leukemi.
DetaljerECON Statistikk 1 Forelesning 4: Stokastiske variable, fordelinger. Jo Thori Lind
ECON2130 - Statistikk 1 Forelesning 4: Stokastiske variable, fordelinger Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Betinget sannsynlighet 2. Stokastiske variable 3. Forventning og varians 4. Regneregler
DetaljerUtvalgsfordelinger (Kapittel 5)
Utvalgsfordelinger (Kapittel 5) Observator En observator er en funksjon av data for mange individer, for eksempel Gjennomsnitt Andel Stigningstall i regresjonslinje En observator er en tilfeldig variabel
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig
DetaljerLøsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002
Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002 Oppgave 1 a) En god estimator er forventningsrett og har liten varians. Vi tester forventningsretthet: E[ˆµ] E[Y ] µ E[ µ] E[ 1 2 X + 1 2 Y ] 1 2 E[X]
DetaljerLøsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår
Løsningsforslag ECON 130 Obligatorisk semesteroppgave 017 vår Andreas Myhre Oppgave 1 1. (i) Siden X og Z er uavhengige, vil den simultane fordelingen mellom X og Z kunne skrives som: f(x, z) = P(X = x
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 9: Inferens om én populasjon I Kapittel 8 brukte vi observatoren z = x µ σ/ n for å trekke konklusjoner om µ. Dette
DetaljerTMA4240 Statistikk H2015
TMA4240 Statistikk H2015 Kapittel 4: Matematisk forventning [4.1+start 4.3] Quiz kjørt med Kahoot! fra kahoot.it. Mette Langaas wiki.math.ntnu.no/emner/tma4240/2015h/start/ 2 Høyde, kvinner Frequency
DetaljerEksamensoppgave i LGU52003 MATEMATIKK 2 (5-10), EMNE 2
Institutt for grunnskolelærerutdanning 5.-10. og bachelor i tegnspråk og tolking Eksamensoppgave i LGU52003 MATEMATIKK 2 (5-10), EMNE 2 Faglig kontakt under eksamen: Tore Forbregd a, Øyvind Lundeby b,
DetaljerTMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger
TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger Binomisk fordeling* ( ) n b(x; n, p) = p x (1 p) n x = x ( ) n p x q n x, x x = 0, 1, 2,..., n Fenomén: i) n forsøk. ii) Suksess/fiasko
DetaljerOppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<. >>. Oppgave 1
ECON 0 EKSAMEN 004 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 0 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen august 2014
TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Oppgave 1 En bedrift produserer en type medisin i pulverform Medisinen selges på flasker
DetaljerTilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilnærming av binomiske sannsynligheter Konfidensintervall Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo
Detaljer(Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) Oppgave 1
ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2011, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) Oppgave 1 a) Data: x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 Gjennomsnitt: x = 1 5 (x 1
DetaljerEksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: August 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerStatistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig om populasjonen. Konkret: Analysere en observator for å finne ut noe om korresponderende
DetaljerStatistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig om populasjonen. Konkret: Å analysere en utvalgsobservator for å trekke slutninger
DetaljerDEL 1 GRUNNLEGGENDE STATISTIKK
INNHOLD 1 INNLEDNING 15 1.1 Parallelle verdener........................... 18 1.2 Telle gunstige.............................. 20 1.3 Regneverktøy og webstøtte....................... 22 1.4 Oppgaver................................
Detaljerx λe λt dt = 1 e λx for x > 0 uavh = P (X 1 v)p (X 2 v) = F X (v) 2 = (1 e λv ) 2 = 1 2e λv + e 2λv = 2 1 λ 1 2λ = 3
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 7 Løsningsskisse Oppgave 1 a) Regner først ut den kumulative fordelingsfunksjonen til X: F X (x) = x λe λt dt
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting
DetaljerKap. 10: Inferens om to populasjoner. Eksempel. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis μ 1 og μ. Vi trekker da ett utvalg fra hver populasjon. ST00 Statistikk for
DetaljerLærebok Robert Johnson og Patricia Kuby: Elementary Statistics, 10. utgave. Pensumoversikt. Forelesninger og øvinger
2 Lærebok Robert Johnson og Patricia Kuby: Elementary Statistics, 10. utgave ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 3 4 Pensumoversikt Forelesninger og øvinger
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere. Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Lærebok Robert Johnson og Patricia Kuby: Elementary Statistics, 10. utgave 3 Pensumoversikt Kap. 2 Beskrivende statistikk,
DetaljerUtvalgsfordelinger (Kapittel 5)
Utvalgsfordelinger (Kapittel 5) Oversikt pensum, fortid og fremtid Eksplorativ data-analyse (Kap 1, 2) Hvordan produsere data (Kap 3) Sannsynlighetsteori (Kap 4) Utvalgsfordelinger til observatorer (Kap
DetaljerTMA4240 Statistikk H2015
TMA4240 Statistikk H2015 Ett utvalg: estimere forventningsverdi og intervall [9.4] Student-t fordeling [8.6] Quiz fra SME og konfidensintervall Mette Langaas Institutt for matematiske fag, NTNU wiki.math.ntnu.no/emner/tma4240/2015h/start/
DetaljerLøsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON2130 våren 2014 av Jonas Schenkel.
Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON2130 våren 2014 av Jonas Schenkel. Det er i flere av oppgavene flere fremgangsmåter. Om din måte var riktig burde komme frem i rettingen. A Både X og Y tilfredsstiller
DetaljerTMA4240 Statistikk H2017 [15]
TMA4240 Statistikk H207 [5] Del 2: Statistisk inferens Populasjon og utvalg [8.] Observatorer og utvalgsfordelinger [8.2-8.3] Fordeling til gjennomsnittet og sentralgrenseteoremet [8.4] Normalplott [8.8]
DetaljerST1101/ST6101 Sannsynlighetsregning og statistikk Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ST/ST Sannsynlighetsregning og statistikk Vår 9 Oppgaver fra boka 3..9 Ved et terningkast anses utfallet antall øyne lik for
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 8, blokk II Løsningsskisse Oppgave 1 Da komponentene danner et parallellsystem, vil systemet fungere dersom minst
DetaljerTransformasjoner av stokastiske variabler
Transformasjoner av stokastiske variabler Notasjon merkelapper på fordelingene Sannsynlighetstettheten og den kumulative fordelingen til en stokastisk variabel X betegnes hhv. f X og F X. Indeksen er altså
DetaljerFasit for tilleggsoppgaver
Fasit for tilleggsoppgaver Uke 5 Oppgave: Gitt en rekke med observasjoner x i (i = 1,, 3,, n), definerer vi variansen til x i som gjennomsnittlig kvadratavvik fra gjennomsnittet, m.a.o. Var(x i ) = (x
DetaljerTMA4240 Statistikk 2014
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 6, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 Fremgangsmetode: P X 1 < 6.8 Denne kan finnes ved å sette opp integralet over
Detaljer1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m
Formelsamling og tabeller FO020E Matte 2000 for elektroprogrammet 1 Matematikk 1.1 Denisjoner av ulike typer polynomer og rekker 1.1.1 Rekke med konstante ledd En rekke med konstante ledd er gitt som a
Detaljer