ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
|
|
- Anette Tønnessen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 5: Sannsynlighetsfordelinger for diskrete variabler Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag
2 2 Tilfeldige variabler (5.1) Dersom vi til hvert utfall av eksperimentet tilordner et tall, har vi laget en tilfeldig variabel. Tilfeldig variabel: En variabel som har en numerisk verdi for hvert utfall i utfallsrommet. (Dvs. vi beskriver observasjonene med tall) Eksempler: 1. Kast terning og registrer antall øyne. 2. Trekk student og registrer antall vekttall i et semester 3. Trekk en velger og registrer 1 hvis han/hun vil stemme på partiet BP og 0 hvis ikke. 4. Registrer antall epost som kommer til en epostadresse på en bestemt dag. Merk: Tilfeldige variabler er knyttet til et eksperiment der vi ikke kan forutse utfallet.
3 Vi skiller mellom: diskrete tilfeldige variabler med tellbart antall mulige verdier f.eks.: Antall biler som passere et lyskryss i løpet av en periode Antall mål i en fotballkamp kontinuerlige tilfeldige variabler med ikke-tellbart antall mulige verdier f.eks.: Høyden på en person Tiden en person er innlagt på sykehus
4 4 Hvilke av disse er tilfeldige variabler? Tilf.=tilfeldig, Determ.=deterministisk. Antall dager i oktober 2011 Antall dager med temperatur over 10 grader i oktober 2011 Antall studiepoeng i ST0202 Antall spørsmål i en ST0202 forelesning Antall minutter i en time Høyden til en tilfeldig valgt student Tilf. Determ.
5 5 Sannsynlighetsfordelingen til en diskret tilfeldig variabel (5.2) Sannsynlighetsfordeling: De mulige verdiene den tilfeldige variabelen kan ta, sammen med de tilhørende sannsynlighetene for disse verdiene. Sannsynlighetene gis ofte ved hjelp av en Sannsynlighetsfunksjon: En regel som gir en sannsynlighet P(x) til hver mulig verdi x for den tilfeldige variablen. Eksempel: Terningkast x=antall øyne P(x)=sannsynligheten for at antall øyne er lik x (dvs. 1/6)
6 6 Sannsynlighetsfordeling til terningkast P(x) er altså en kort skrivemåte for sannsynligheten for den hendelsen at vi får et utfall som gir verdien x på den tilfeldige variabelen. x P(x) 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 Alternativ skrivemåte: P(x)=1/6 for x=1,2,3,4,5,6
7 7 Egenskaper til sannsynlighetsfordeling Sannsynlighetsfunksjonen P(x) tilfredstiller de vanlige kravene til sannsynligheter: 1. 0 P(x) 1 2. P(x) = 1 Oppgave: Er P(x) = x 10 for x = 1, 2, 3, 4 en sannsynlighetsfordeling? Hva er P(x = 5)?
8 8 Eksempel: Meningsmåling I en populasjon er det 43% EU-tilhengere og 57% EU-motstandere. Spør en tilfeldig valgt person om EU, og sett x=1 hvis personen er for og sett x=0 ellers. Da er sannsynlighetsfordelingen til x gitt ved x P(x) Merk: En sannsynlighetsfordeling viser teoretiske sannsynligheter. Den skal representere populasjonen.
9 9 Eksempel: Meningsmåling (forts.) Ved meningsmålinger er andelen av EU-tilhengere i populasjonen ukjent, og vi setter den til p og skriver x P(x) 0 1 p 1 p Da er p en parameter siden den beskriver populasjonen. Vi ønsker nå å bruke meningsmålingen (dvs. utvalget) til å anslå verdien på p. (Vi kommer tilbake til dette i kap. 9)
10 10 Eksempel: Maskinutleie Maskinutleiefirma disponerer 4 mobile heisekraner Tilfeldig variabel er x = antall utleide kraner en tilfeldig dag. Sannsynlighetsfordeling: x P(x) Sannsynlighetene kan f.eks. være basert på lang erfaring.
11 11 Grafisk representasjon av sannsynlighetsfordeling Husk: sannsynlighet er areal og derfor skal summen av arealene av sã ylene bli 1.
12 12 Forventning og varians til en diskret tilfeldig variabel (5.3) Forventningen til en diskret tilfelding variabel x er eller mu = sum av hver x multiplisert med sannsynligheten P(x) µ = Σ[x P(x)] Dette er parameteren (for populasjonen) som svarer til gjennomsnittet i et utvalg: x = Σx n
13 13 Eksempel: Terningkast P(x) = 1 6 for x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 µ = [xp(x)] = = 3.5
14 14 Eksempel: Maskinutleie x P(x) Forventet antall utleide heisekraner: µ = [xp(x)] = = 1.95
15 15 Grafisk representasjon av forventning
16 16 Oppgave x P(x) Sjekk at P(x) er en sannsynlighetsfordeling. 2. Finn forventningsverdien µ.
17 17 Varians til en diskret tilfeldig variabel Variansen til en diskret tilfeldig variabel er gitt ved: sigma i annen, som beregnes ved å multiplisere de kvadratiske avvikene fra gjennomsnittet, (x µ) 2, med de tilsvarende sannsynligheter P(x) og så summere dette, dvs. σ 2 = [(x µ) 2 P(x)] Formel: Husk utvalgsvarians σ 2 = [x 2 P(x)] µ 2 s 2 = (x x) 2 n 1 = x 2 ( x) 2 /n n 1
18 18 Standardavvik til en tilfeldig variabel Dette er definert som kvadratroten til variansen, dvs. standardavvik: σ = σ 2
19 Eksempel: Terningkast, µ = 21 6 [x 2 P(x)] = = 91 6 σ 2 = Σx 2 P(x) µ 2 = 91 ( ) = σ = σ 2 = 1.71
20 20 Mynteksempel En student kaster en mynt tre ganger. La antall kron som inntreffer i de tre kastene være den tilfeldig variablen x. Finn forventningsverdi, varians og standardavvik til x. Da må vi først skrive ned sannsynlighetsfordelingen til x, ved å telle opp ulike utfall i utfallsrommet. Hint: sannsynlighetstre!
21 21 Mynteksempel Det er åtte mulige utfall (K=kron, M=mynt): { KKK, KKM, KMK, KMM, MKK, MKM, MMK, MMM} Ett utfall gir x = 0, tre gir x = 1, tre gir x = 2 og ett gir x = 3. x P(x)
22 22 Mynteksempel
23 23 Mynteksempel µ = [xp(x)] = 1.5 σ 2 = [x 2 P(x)] { [xp(x)]} 2 = 3.0 (1.5) 2 = = 0.75 σ = 0.75 = 0.87 Dette betyr at 0.87 er standardavviket i den teoretisk fordelingen til den tilfeldige variablen antall kron i tre kast med en mynt. Vi vil forvente at hvis vi kaster en mynt tre ganger, og gjentar ekspermentet mange ganger så vil standardavviket (som vi regner ut fra dette utvalget) være omtrent 0.87.
24 24 Oppgave: Gitt P(x) = x 10 for x = 1, 2, 3, 4, finn forventning og varians.
25 5.3 Binomisk sannsynlighetsfordeling
26 26 Lekseprøve! I et fag på ungdomsskolen trekker læreren plutselig opp et ark og forteller at det skal være lekseprøve. Det er fire spørsmål og det er angitt tre svaraltenativer for hvert spørsmål. Du har ikke lest på leksa, og bestemmer deg for å krysse av helt tilfeldig. Svararket ser slik ut: Sett en ring rundt det beste svaret p\aa\ hvert sp\o rsm\aa 1. a b c 2. a b c 3. a b c 4. a b c
27 27 Spørsmål 1. Hvor mange riktige svar har du mest sannsynlig? 2. Hvor sannsynlig er det at mer enn halvparten av svarene dine er riktige? 3. Hva er sannsynligheten for at alle fire svar er korrekte? 4. Hvor sannsynlig er det at du har fire gale svar? 5. Hvis alle i klassen svarte helt tilfeldig på spørsmålene, hva er da det gjennomsnittlige antallet riktige svar?
28 28 Vi gjør følgende La den tilfeldige variabelen x være antall korrekte svar på de fire spørsmålene. For hvert spørsmål lar vi C betegne rett svar ( correct ) og W betegne galt svar ( wrong ). Sett opp et sannsynlighetstre for de fire spørsmålene i rekkefølge 1,2,3,4. Hint: det er 16 mulige utfall, slik at treet ditt skal ha 16 greiner.
29
30 30 Vi setter sannsynligheter inn i treet For hvert spørsmål er det bare ett riktig svar blant de tre mulige svarene, slik at sannsynligheten for å velge det korrekte svaret er 1/3. Sannsynligheten for å velge galt svar er da 2/3. Sannsynligheten for en gren finner vi ved å gange (multiplisere) sammen sannsynlighetene i treet som leder frem til grenen. Sannsynligheten for hver verdi av x finner vi ved å regne ut sannsynligheten for hver gren i treet og så summere sannsynlighetene til de grenene som har samme x verdi.
31
32 For hvert spørsmål er P(C) = 1/3, P(W) = 2/3 Vi ser at sannsynlighetsfunksjonen P(x) blir: P(0) = P(0 rette) = = ( ) 2 4 = 16 3 ( 1 P(1) = P(1 rett) = (4) = (4) P(2) = P(2 rette) = (6) = (6) P(3) = P(3 rette) = (4) = (4) P(4) = P(4 rette) = = ( = ) 1 ( ) 2 3 = ( ) 1 2 ( ) 2 2 = ( ) 1 3 ( ) 2 1 = ) 4 = 1 81 = 0.012
33 33 Binomisk sannsynlighetsfunksjon La det være n forsøk, sannsynlighet p for suksess og sannsynlighet q for fiasko. Da er P(x) = c(p x )(q n x ) for x = 0, 1, 2,..., n der c er antallet grener med x suksesser. c kalles binomisk koeffisient og kan regnes ut ved ( ) n n! c = = x x!(n x)! der n! leses n-fakultet og er gitt ved n! = 1 2 n. Tips: p 0 er alltid lik 1; også 0! = 1.
34 34 Hands-on P(x) = ( ) n (p x )(q n x ) for x = 0, 1, 2,...,n x Anta at vi har den situasjon som fører til en binomisk fordeling. Vi har n = 5 forsøk med p = 0.25 som suksess-sannsynlighet. x er antallet suksesser på n = 5 forsøk. Finn P(x), x=0,1,2 fra den generelle formelen for binomisk sannsynlighetsfordeling. (Du må gjerne finne for x=3,4,5 også.) Finn P(x 2). Vi kan regne på kalkulatoren eller slå opp i Appendix B, tabell 2.
35 35 Forstå P(x) P(x) = ( ) n (p x )(q n x ) for x = 0, 1, 2,...,n x Vi ser at sannsynlighetsfunksjonen er produktet av tre faktorer: På hvor mange måter kan akkurat x suksesser inntreffe i løpet av n forsøk: ( n x). Sannsynligheten for akkurat x suksesser: p x. Sannsynligheten for akkurat n x fiaskoer: q (n x), der q = 1 p.
36 36 Når bruker vi binomisk sannsynlighetsfunksjon? Svar: når vi har et binomisk eksperiment. Binomisk eksperiment: Et eksperiment som består i gjentatte forsøk med følgende egenskaper: 1. Det er n identiske uavhengige forsøk. 2. Hvert forsøk har to mulige utfall, ofte kalt suksess og fiasko. 3. P(suksess)=p, P(fiasko)=q, p + q = Den binomiske tilfeldige variabelen x er antallet suksessfulle utfall som inntreffer, og x kan anta enhver heltallsverdi fra 0 til n.
37 37 Hvilke er binomiske eksperimenter? Du triller en terning 12 ganger. La suksess være at terningen viser 1. Fiasko er dermed at terningen ikke viser 1. La x være antallet suksesser. Vi tipper en rekke Lotto (velger 7 av 34 tall). La x være antallet rette vi får. Jeg står slalom og teller antall ganger, x, jeg faller. Jeg øver meg på å stupe og forsøker 10 stup. Jeg teller antall ganger som jeg ikke ender opp med mageplask og lar det være x.
38 38 Quiz-eksemplet: Svar på spørsmålene x er binomisk fordelt med n = 4 og p = 1/3. 1. Hvor mange riktige svar har du mest sannsynlig? Det mest sannsynlige antall riktige svar er ett, siden det har en sannsynlighet på Hvor sannsynlig er det at mer enn halvparten av svarene dine er riktige? Halvparten er 4/2 = 2, og mer enn halvparten er x = 3 eller x = = Hvis det kreves mer enn halvparten korrekt for å klare testen så gjør man det 11% av tiden.
39 39 Svar på spørsmålene 3. Hva er sannsynligheten for at alle fire svar er korrekte? x = 4 hvis alle svar er korrekte og P(4) = Inntreffer 1% av tiden. 4. Hvor sannsynlig er det at du har fire gale svar? x = 0 hvis aller gale og P(0) = Inntreffer nesten 20% av tiden.
40 40 Forventning og standardavvik for binomisk fordeling Forventning for binomisk fordeling med n forsøk, suksesssannsynlighet p og fiaskosannsynlighet q: µ = np Standardavvik for binomisk fordeling: σ = npq Oppgave: Finn forventning og varians for en binomisk tilfeldig variabel med n=4 og p=1/3. Hvor komme disse tallene fra?
41 41 Grafisk fordeling Binomisk fordeling med n = 20 og p = 0.2.
42 42 Grafisk fordeling med µ og σ Binomisk fordeling med n = 20 og p = 0.2.
43 43 Eksempel 5.9: Dårlige egg Bestyreren på Steve s Food Market garanterer at alle hans kartonger med 12 egg inneholder høyst ett dårlig egg. Hvis en kartong inneholder mer enn ett dårlig egg, vil han erstatte hele dusinet (dvs. alle 12 eggene) og la kunden beholde de gode eggene! Hvis sannsynligheten for et dårlig egg er 0.05, hva er sannsynligheten for at bestyreren må erstatte en gitt kartong?
44 44 Løsning på dårlige egg La x være antall dårlige egg i en tilfeldig eske. Hvilke forutsetninger må vi gjøre for at vi skal kunne anta at x har en binomisk fordeling med n = 12 forsøk og sannsynlighet for suksess lik 0.05? Sannsynligheten for at en kartong inneholder x dårlige egg er da ( ) 12 P(x) = (0.05) x (0.95) 12 x for x = 0, 1, 2,...,12 x
45 Bestyreren vil erstatte en eske hvis x er enten 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12. For å finne sannsynligheten for dette er det lettere å først finne sannsynligheten for å ikke erstatter kartongen, dvs. for at x = 0 eller 1. Dette har sannsynlighet P(0)+P(1) = ( ) 12 (0.05) 0 (0.95) ( ) 12 (0.05) 1 (0.95) 11 1 = (0.95) (0.05) 1 (0.95) 11 = = Sannsynligheten for å erstatte en kartong er da =
46 46 Løsning på Dårlige egg med bruk av Tabell 2 i Appendix B La x være antall dårlige egg i en tilfeldig eske. x har en binomisk fordeling med n = 12 forsøk og sannsynlighet for suksess lik Sannsynligheten for at en kartong inneholder x dårlige egg er da gitt i Tabell 2 i Appendix B Leser ut av tabell: Sannsynligheten for å få en kartong med høyst ett dårlig egg er P(0)+P(1) = = 0.881
47 47 Tabell 2 i Appendix B Leser av at med n = 12, p = 0.05 er P(0) = 0.540, P(1) = 0.341
48 48 Hands-on: Eksamen desember 2010 Et mobiltelefonselskap tilbyr et abonnement som er tilpasset kunder som ringer relativt lite, og som er spesielt gunstig dersom total ringetid i løpet av en måned er under 275 minutter. En kunde som har abonnementet nevnt ovenfor, regner med at hans sannsynlighet for å overskride en ringetid på 275 minutter i løpet av en måned er 0.25 og at ringetidene i ulike måneder er uavhengige av hverandre. Hva er da sannsynligheten for å overskride en ringetid på 275 minutter i to eller flere måneder i løpet av ett år? A) 0.90 B) 0.12 C) 0.84 D) 0.87 E) 0.50
49 49 Hands-on: Eksamen desember 2009 En håndballspiller tar 4 straffkast i løpet av en kamp. Det antas at spilleren har en sannsynlighet p = 0.8 for å få mål på hvert straffekast og at straffekastene resulterer i mål eller ikke mål uavhengig av hverandre. Hva er sannsynligheten for at spilleren får mål på minst 3 av de 4 kastene? A) 0.82 B) 0.75 C) 0.51 D) 0.92 E) 0.24
50 50 Hands-on: Regnvær Det er 50% sannsynlighet at det vil regne på lørdag. Det er 50% sannsynlighet at det vil regne på sødag. Hvor stor sannsynlighet er det for at det regner minst en av dagene? Hvilke antagelser må du gjøre? Hva har dette med binomisk fordeling å gjøre? Hva er x og hva betyr minst en av dagene?
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Tilfeldige variable (5.2) Dersom vi til hvert utfall av eksperimentet tilordner et tall, har vi laget en tilfeldig variabel.
DetaljerTilfeldige variable (5.2)
Tilfeldige variable (5.) Dersom vi til hvert utfall av eksperimentet tilordner et tall, har vi laget en tilfeldig variabel. Tilfeldig variabel: En variabel som har en numerisk verdi for hvert utfall i
DetaljerBinomisk sannsynlighetsfunksjon
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Binomisk sannsynlighetsfunksjon La det være n forsøk, sannsynlighet p for suksess og sannsynlighet q for fiasko. Den tilfeldige
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag Situasjonen er som i quiz-eksempelet: n = 4, p = 1/3 ( suksess betyr å gjette riktig alternativ), q = 2/3. Oppgave: Finn
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 6: Normalfordelingen Normalfordelingen regnes som den viktigste statistiske fordelingen!
DetaljerLøsning på Dårlige egg med bruk av Tabell 2 i Appendix B
Situasjonen er som i quiz-eksempelet: n = 4, p = 1/3 ( suksess betyr å gjette riktig alternativ), q = 2/3. Oppgave: Finn P(x), x=0,1,2,3,4 fra den generelle formelen for binomisk sannsynlighetsfordeling
Detaljer1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger
1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Fra første forelesning: Populasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg En delmengde av
DetaljerTMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger
TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger Binomisk fordeling* ( ) n b(x; n, p) = p x (1 p) n x = x ( ) n p x q n x, x x = 0, 1, 2,..., n Fenomén: i) n forsøk. ii) Suksess/fiasko
DetaljerTilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger Hypergeometrisk fordeling Binomisk fordeling Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Tilfeldige
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable Diskrete tilfeldige variable, innledning
DetaljerFra første forelesning:
2 Fra første forelesning: ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag opulasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg En delmengde av populasjonen
DetaljerBetinget sannsynlighet
Betinget sannsynlighet Multiplikasjonsloven for sannsynligheter (s. 49 i bok): P( AB ) = P( A B ) P(B) Veldig viktig verktøy for å finne sannsynligheter for snitt. (Bevises ved rett fram manipulering av
DetaljerForelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable
Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Eksempel X = "antall kron på kast med to mynter (før de er kastet)" Uniformt utfallsrom {MM, MK, KM, KK}. X = x beskriver hendelsen "antall kron på kast med
DetaljerKapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians.
Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians. Tilfeldige variable Tilfeldige variable kalles også stokastiske variable. En tilfeldig variabel er en variabel som får sin numeriske verdi bestemt
Detaljerstatistikk, våren 2011
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 011 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable 1 Diskrete tilfeldige variable, innledning Hva er en tilfeldig variabel (stokastisk variabel)? Diskret tilfeldig
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 7: Utvalgsfordeling Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Fra kapittel 1: Populasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008
ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 008 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori).5 Betinget sannsynlighet Betinget sannsynlighet (kp..5) - innledning Eks.: Et terningkast; {,, 3, 4,
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger : Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling
TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger 5.1-5.4: Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling Mette Langaas 2 Arbeidshverdag etter endt studium Studere et fenomen (f.eks.
DetaljerTilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilnærming av binomiske sannsynligheter Konfidensintervall Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo
DetaljerDiskrete sannsynlighetsfordelinger som histogram. Varians. Histogram og kumulativ sannsynlighet. Forventning (gjennomsnitt) (X=antall mynt i tre kast)
Diskret sannsynlighetsfordeling (kap 1.1-1.6) Oversikt Utfallsrom (sample space) Sannsynlighetsfordeling Forventning (expectation), E(X), populasjonsgjennomsnitt Bruk av figurer og histogram Binomialfordelingen
DetaljerKapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable
Kapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable Forventning og varians til stokastiske variable Histogrammer for observerte data: Sannsynlighets-histogrammer og tetthetskurver for stokastiske
DetaljerTest, 3 Sannsynlighet og statistikk
Test, 3 Sannsynlighet og statistikk Innhold 3. Stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger... 3. Forventningsverdi, varians og standardavvik... 5 3.3 Normalfordelingen... 4 3.4 Sentralgrensesetningen...
DetaljerDiskrete sannsynlighetsfordelinger som histogram. Varians. Histogram og kumulativ sannsynlighet. Binomial-fordelingen
Diskret sannsynlighetsfordeling (kap 1.1-1.6) Oversikt Utfallsrom (sample space) Sannsynlighetsfordeling Forventning (expectation), E(, populasjonsgjennomsnitt Bruk av figurer og histogram Binomialfordelingen
DetaljerEKSAMEN ST0202 STATISTIKK FOR SAMFUNNSVITERE
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist, tlf. 97589418 EKSAMEN ST0202 STATISTIKK FOR SAMFUNNSVITERE Tirsdag
Detaljerµ = E(X) = Ʃ P(X = x) x
Redigerte høydepunkt fra forrige episode 3.2: Punktsannsynlighet og kumulativ sannsynlighet punktsannsynlighet: sanns. for at en stok. var. X har en viss verdi x; P(X = x) kumulativ sannsynlighet: sanns.
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 9: Inferens om én populasjon Statistisk inferens har som mål å tolke/analysere
DetaljerEKSAMEN ST0202 STATISTIKK FOR SAMFUNNSVITERE
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Øyvind Bakke, tlf. 99041673 EKSAMEN ST0202 STATISTIKK FOR SAMFUNNSVITERE Tirsdag
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Deleksamen i: UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet STK1000 Innføring i anvendt statistikk. Eksamensdag: Onsdag 10. oktober 2012. Tid for eksamen: 15:00 17:00. Oppgavesettet
DetaljerECON240 Vår 2018 Oppgaveseminar 1 (uke 6)
ECON240 Vår 2018 Oppgaveseminar 1 (uke 6) Oppgaver til prerequisites og kapittel 1 fra læreboken Example P.1, P.5, P.6, P.7, P.8, P.9, P.11, P.12, P.13, og P.14 Example 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.6, 1.7, 1.9,
DetaljerRegneregler for forventning og varians
Regneregler for forventning og varians Det fins regneregler som er til hjelp når du skal finne forventningsverdier og varianser. Vi skal her se nærmere på disse reglene. Vi viser deg også hvordan reglene
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011
ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 0 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsynlighetsmodeller Noen viktige sannsynlighetsmodeller ( Sanns.modell : nå betyr det klasse/type sanns.fordeling.
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Grunnbegrep. Grunnbegrep, sannsynligheten for et utfall
ÅM110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 006 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige utfallen
DetaljerTilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger (repetisjon) Hypergeometrisk fordeling (repetisjon) Binomisk fordeling Forventningsverdi Tilfeldige variabler
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable. Diskrete tilfeldige variable, varians (kp. 3.
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. Diskrete tilfeldige variable Kp. Diskrete tilfeldige variable Har sett på (tidligere: begrep/definisjoner; tilfeldig (stokastisk variabel sannsynlighetsfordeling
DetaljerA) B) 400 C) 120 D) 60 E) 10. Rett svar: C. Fasit: ( 5 6 = 60. Hvis A, B, C er en partisjon av utfallsrommet S, så er P (A B) lik.
Oppgave 1 Det skal velges en komité bestående av 2 menn og 1 kvinne. Komitéen skal velges fra totalt 5 menn og 6 kvinner. Hvor mange ulike komitéer kan dannes? A) 86400 B) 400 C) 120 D) 60 E) 10 Rett svar:
DetaljerFASIT TIL NOEN OPPGAVER I SANNSYNLIGHET OG KOMBINATORIKK. Oppgave 9 a) 8 utfall: MMM, MMK, MKM, MKK, KMM, KMK, KKM, KKK b)
FASIT TIL NOEN OPPGAVER I SANNSYNLIGHET OG KOMBINATORIKK Oppgave 9 utfall: MMM, MMK, MKM, MKK, KMM, KMK, KKM, KKK b) d) Oppgave 0 40.4 % b) 4. % Oppgave 9 4 b) d) 7 Oppgave 5 0. % b) 9. % 50.5 % Oppgave
DetaljerForeleses onsdag 8. september 2010
TMA4240 Statistikk H200 4.2: Varians (univariat del) 4.4: Chebyshevs teorem 3.4: Simultanfordelinger Mette Langaas Foreleses onsdag 8. september 200 Mette.Langaas@math.ntnu.no, TMA4240H200 2 4.2 Varians
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt
UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt Midtveiseksamen i: STK 1000: Innføring i anvendt statistikk Tid for eksamen: Onsdag 9. oktober 2013, 11:00 13:00 Hjelpemidler: Lærebok, ordliste for STK1000, godkjent
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må
DetaljerUtfordring. TMA4240 Statistikk H2010. Mette Langaas. Foreleses uke 40, 2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må
DetaljerTMA4240 Statistikk H2015
TMA4240 Statistikk H2015 Kapittel 5: Noen diskrete sannsynlighetsfordelinger 5.4 Geometrisk og negativ binomisk fordeling 5.5 Poisson-prosess og -fordeling Mette Langaas Institutt for matematiske fag,
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen august 2014
TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Oppgave 1 En bedrift produserer en type medisin i pulverform Medisinen selges på flasker
DetaljerECON240 Høst 2017 Oppgaveseminar 1 (uke 35)
ECON40 Høst 017 Oppgaveseminar 1 (uke 35) Oppgaver til prerequisites og kapittel 1 fra læreboken Example P.1, P.5, P.6, P.7, P.8, P.9, P.11, P.1, P.13, og P.14 Example 1.1, 1., 1.3, 1.4, 1.6, 1.7, 1.9,
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2008
TMA4240 Statistikk Høst 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave 1 Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har
DetaljerKapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable
Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable Litt repetisjon: Sannsynlighetsteori Stokastisk forsøk og sannsynlighet Tilfeldig fenomen Individuelle utfall er usikre, men likevel et regulært mønster for
DetaljerUtvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer.
Utvalgsfordelinger Vi har sett at utvalgsfordelinger til en statistikk (observator) er fordelingen av verdiene statistikken tar ved mange gjenttatte utvalg av samme størrelse fra samme populasjon. Utvalg
DetaljerSannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
2 Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte vi forventer at hendelsen inntreffer, dvs. den forventede relative frekvens av hendelsen. ST0202 Statistikk for
DetaljerST1101/ST6101 Sannsynlighetsregning og statistikk Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ST/ST Sannsynlighetsregning og statistikk Vår 9 Oppgaver fra boka 3..9 Ved et terningkast anses utfallet antall øyne lik for
DetaljerBernoulli forsøksrekke og binomisk fordeling
Bernoulli forsøksrekke og binomisk fordeling Bernoulli forsøksrekke i) gjentar et forsøk n ganger ii) hvert forsøk gir enten suksess eller fiasko iii) sannsynligheten for suksess er p i alle forsøkene
DetaljerOppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<. >>. Oppgave 1
ECON 0 EKSAMEN 004 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 0 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger 5.5-5.6: Negativ binomisk, geometrisk, Poisson Mette Langaas Foreleses mandag 20. september 2010 2 Kabel En kabel består av mange
DetaljerEksamensoppgave i TMA4245 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland Tlf: 48 22 18 96 Eksamensdato:??. august 2014 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerST0103 Brukerkurs i statistikk Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ST0103 Brukerkurs i statistikk Høst 2014 Løsningsforslag Øving 1 2.1 Frekvenstabell For å lage en frekvenstabell må vi telle
DetaljerOppfriskning av blokk 1 i TMA4240
Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Geir-Arne Fuglstad November 21, 2016 2 Hva har vi gjort i dette kurset? Vi har studert to sterkt relaterte grener av matematikk Sannsynlighetsteori: matematisk teori for
DetaljerMAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem
MAT400 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2 Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem 20. mai 205 Innhold. Stokastisk Variabel.. Stokastiske variable som funksjoner 3 2. Forventningsverdi
DetaljerDa vil summen og gjennomsnittet være tilnærmet normalfordelte : Summen: X 1 +X X n ~N(nµ,nσ 2 ) Gjennomsnittet: X 1 +X
Me me me me metallic hvit 4.4: Tilnærming til normalfordeling Tilnærming til normalfordeling: binomisk og Poisson kan tilnærmes v.h.a. normalfordeling under bestemte forhold (ved "mange" delforsøk/hendelser)
DetaljerHøgskolen i Telemark. Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING Statistikk I. Til bruk ved eksamen. Per Chr. Hagen
Høgskolen i Telemark Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING 6005 Statistikk I Til bruk ved eksamen Per Chr. Hagen . Sannsynlighetsregning. Regneregler Komplementsetningen: Addisjonssetningen:
DetaljerStatistikk 1 kapittel 5
Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel om en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 006. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsynlighetsmodeller Noen viktige sannsynlighetsmodeller (k. 3.6 Hyergeometrisk modell (k. 3.7 Geometrisk
DetaljerECON Statistikk 1 Forelesning 4: Stokastiske variable, fordelinger. Jo Thori Lind
ECON2130 - Statistikk 1 Forelesning 4: Stokastiske variable, fordelinger Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Betinget sannsynlighet 2. Stokastiske variable 3. Forventning og varians 4. Regneregler
DetaljerStatistikk 1 kapittel 5
Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2015 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel om en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like
DetaljerStatistikk 1 kapittel 5
Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2016 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel med en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like
DetaljerTerningkast. Utfallsrommet S for et terningskast med en vanlig spillterning med 6 sider er veldefinert 1, 2, 3, 4, 5, 6
Terningkast Halvor Aarnes, UiO, 2014 Innhold Ett terningkast og utfallsrom... 1 Union og snitt... 4 Betinget sannsynlighet... 5 Forventningsverdi E(X) og varianse Var(X)... 5 Konfidensintervall for proporsjoner...
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Det er to populasjoner som vi ønsker å sammenligne. Vi trekker da et utvalg
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer
DetaljerPrøvemidtveiseksamen TMA4240 Statistikk H2004
Prøvemidtveiseksamen TMA4240 Statistikk H2004 Lagt ut 21.09.2004, løsningsforslag tilgjengelig 04.10.2004. Tilatte hjelpemiddel: Bestemt enkel kalkulator, dvs. HP30S. Tabeller og formler i statistikk (Tapir).
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 3.3: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 4.1: Matematisk forventing (univariat del) Mette Langaas Foreleses mandag 6. september 2010 2 3.1 Stokastisk variabel (repetisjon)
Detaljer3.1 Stokastisk variabel (repetisjon)
TMA4240 Statistikk H2010 3.3: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 4.1: Matematisk forventing (univariat del) Mette Langaas Foreleses mandag 6. september 2010 2 3.1 Stokastisk variabel (repetisjon)
DetaljerSannsynlighet og statistikk S2 Løsninger
Sannsynlighet og statistikk S2 Løsninger Innhold 3. Stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger... 2 3.2 Forventningsverdi Varians Standardavvik... 9 3.3 Normalfordelingen... 7 3.4 Sentralgrensesetningen...
DetaljerMAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Uordnet utvalg uten tilbakelegging (repetisjon) Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger Hypergeometrisk fordeling Binomisk fordeling Ørnulf Borgan
DetaljerSTK1100 våren Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner
STK1100 våren 2017 Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner Svarer til avsnittene 4.1 og 4.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i
DetaljerST0103 Brukerkurs i statistikk Forelesning 26, 18. november 2016 Kapittel 8: Sammenligning av grupper
ST0103 Brukerkurs i statistikk Forelesning 26, 18. november 2016 Kapittel 8: Sammenligning av grupper Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kapittel 8: Sammenligning av grupper Situasjon: Vi ønsker
DetaljerKap. 5.2: Utvalgsfordelinger for antall og andeler
Kap. 5.2: Utvalgsfordelinger for antall og andeler Binære data (1/0, Ja/Nei, Suksess/Feil) Utvalgsundersøkelser: Ja/Nei-spørsmål Tilstedeværelse av arter: Tilstede/Ikke-tilstede (1/0) Overlevelse etter
DetaljerHØGSKOLEN I STAVANGER
HØGSKOLEN I STAVANGER Avdeling for TEKNISK NATURVITEN- EKSAMEN I: TE199 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK SKAPELIGE FAG VARIGHET: 4 TIMER DATO: 30. AUGUST 2003 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR OPPGAVESETTET
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 2.8: Bayes regel 3.1: Stokastisk variabel 3.2: Diskrete sannsynlighetsfordelinger 3.3: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Mette Langaas Foreleses onsdag 1. september 2010
DetaljerEksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: August 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerStatistikk 1 kapittel 5
Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2017 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel med en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like
DetaljerLoven om total sannsynlighet. Bayes formel. Testing for sykdom. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
2 Loven om total sannsynlighet La A og Ā være komplementære hendelser, mens B er en annen hendelse. Da er: P(B) P(B oga)+p(b ogā) P(B A)P(A)+P(B Ā)P(Ā) ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis
DetaljerHypotesetesting. Hvorfor og hvordan? Gardermoen 21. april 2016 Ørnulf Borgan. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf:
Hypotesetesting Hvorfor og hvordan? Gardermoen 21. april 2016 Ørnulf Borgan H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400 www.aschehoug.no 1 Oversikt Sannsynlighetsregning og statistikk
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Inferens om varians og standardavvik for ett normalfordelt utvalg (9.4) Inferens om variansen til en normalfordelt populasjon
DetaljerDenne uken: Kapittel 4.3 og 4.4
Sist: Kapittel 4.1, 4.2, 4.5 Tilfeldighet Sannsynlighetsmodeller Regler for sannsynlighet Denne uken: Kapittel 4.3 og 4.4 Tilfeldige variable Forventning og varians til tilfeldige variable Litt repetisjon:
DetaljerLøsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 ( februar 2012)
1 ECON 130 HG - februar 01 Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 (0.-. februar 01) Oppg..1. Variabel: x = antall kundehenvendelser pr. dag 1. Antall observasjoner: n = 100 dager. I Excel
DetaljerBinomisk fordeling. Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilfeldige variabler Når vi kaster to terninger er det 36 utfall Vi ser på X = «sum antall øyne» De mulige verdiene
DetaljerTestobservator for kjikvadrattester
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 11: Anvendelser av kjikvadratfordelingen: Kjikvadrattester Situasjon: Et tilfeldig utvalg av n individer er trukket
DetaljerKapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger
Kapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger TMA4245 Statistikk (B, K1, I) 3.1, 3.2, 3.3 foreleses torsdag 15.januar 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 160 170 180 190 hoyde i cm Mette.Langaas@math.ntnu.no
DetaljerForelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen. Jo Thori Lind
Forelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Kontinuerlige fordelinger 2. Uniform fordeling 3. Normal-fordelingen 1. Kontinuerlige fordelinger
DetaljerOppgaver fra 8.3, 8.4, , 8.51, 8.52, 8.231, 8.232, 8.250, 8.252
Oppgaver fra 8.3, 8.4, 8.5 8.41, 8.51, 8.52, 8.231, 8.232, 8.250, 8.252 8.41 Populasjon: Tilfeldig variabel X : Trekke en tilfeldig flaske og måle volumet Ukjent sannsynlighetsfordeling, men forventning
DetaljerSannsynlighet og statistikk
Sannsynlighet og statistikk Innhold Kompetansemål Sannsynlighet og statistikk, S... 3. Stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger... 3 Stokastisk forsøk... 3 Definisjon av sannsynlighet og sannsynlighetsmodell...
DetaljerSTK1100 våren Forventningsverdi. Forventning, varians og standardavvik
STK00 våren 0 Forventning, varians og standardavvik Svarer til avsnitt 3.3 i læreboka Geir Storvik (Ørnulf Borgan) Matematisk institutt Universitetet i Oslo Forventningsverdi Punktsannsynligheten px (
DetaljerNotasjon og Tabell 8. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
2 Inferens om varians og standardavvik for ett normalfordelt utvalg (9.4) Inferens om variansen til en normalfordelt populasjon bruker kjikvadrat-fordelingen ( chi-square distribution ) (der kji er den
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007
ÅMA0 Sannsnlighetsregning med statistikk, våren 007 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsnlighetsmodeller Noen viktige sannsnlighetsmodeller Binomisk modell (kp. 3.6) (kp. 3.7) (notater)
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Loven om total sannsynlighet La A og Ā være komplementære hendelser, mens B er en annen hendelse. Da er: P(B) =P(B oga)+p(b
DetaljerHØGSKOLEN I STAVANGER
HØGSKOLEN I STAVANGER Avdeling for TEKNISK NATURVITEN- EKSAMEN I: TE199 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK SKAPELIGE FAG VARIGHET: 4 TIMER DATO: 5. JUNI 2003 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR OPPGAVESETTET
DetaljerLøsninger. Innhold. Sannsynlighet 1P, 1T og 2P-Y
Løsninger Innhold 3. Hva er sannsynlighet?... 2 3.2 Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 3.3 Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 2 3.4 Beregne sannsynligheter ved å bruke
DetaljerBeskrivende statistikk.
Obligatorisk oppgave i Statistikk, uke : Beskrivende statistikk. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut
Detaljer