ECON240 Høst 2017 Oppgaveseminar 1 (uke 35)

Transkript

1 ECON40 Høst 017 Oppgaveseminar 1 (uke 35) Oppgaver til prerequisites og kapittel 1 fra læreboken Example P.1, P.5, P.6, P.7, P.8, P.9, P.11, P.1, P.13, og P.14 Example 1.1, 1., 1.3, 1.4, 1.6, 1.7, 1.9, 1.13, 1.14 og 1.16 Tilleggsoppgaver relatert til del P.1 og P. i læreboken Oppgave 1 1. Resultatene på en prøve, X, blant 1 studenter, var som følger: 80, 16, 11, 71, 85, 95, 1, 71, 8, 15, 31, 5. Regn ut følgende størrelser: i. Gjennomsnittet ii. Typetall/modaltallet (se side 6) iii. Medianen iv. Variansen v. Standardavviket vi. Gjennomsnittsavviket (se side 13) vii. Anta at alle tallene blir halvert, dvs Y = X/. Hvordan påvirker det størrelsene du har regnet ut? Som hjelp kan du bruke følgende tabelloppsett (Tabell 1). Tallene er her rangert fra minst til størst, men du trenger ikke gjøre det. Rekkefølgen på tallene har ingenting å si, men det er lettere å finne medianen og typetallet ved å rangere tallene først. 1

2 Tabell 1: Data i X i X i (X i X) X i X ,33 35, Xi = X i = (X i X) = X i X = Løsningsforslag: Gjennomsnitt er: X = Xi n = 50 1 = 43, 33 Typetallet/modaltallet = 71 Median: M = X 6+X 7 = 5+31 = 8 Varians: v = X i n X = 3518/1 (43, 33) = 1049, 556 Standardavvik: v = 1049, 556 = 3, Gjennomsnittsavvik: Xmdev = Xi X n = 370,67 1 = 30, 89 Når X blir multiplisert med en constant a, hvor a = 0, 5 i dette tilfellet, så vil gjennomsnittet, medianen, gjennomsnittsavviket og standardavviket for Y være lik størrelsene for X delt på. Variansen må justers med a, i dette tilfellet altså delt på 4. Oppgave 1. Du blir gitt følgende data:

3 X Y Regn ut følgende størrelser i. X i ii. X i iii. X i Y i iv. ( X i ) v. (X i 4) vi. X i 4 vii. (X i + )(Y i 1) viii. 4 i= X i Her kan det være nyttig å bruke følgende tabelloppsett (Tabell ): Tabell : Data i X i Y i X i X i Y i Xi = Y i = X i = X i Y i = Løsningsforslag: X i = 33, X i = 69, X i Y i = 137, ( X i ) = 1089, (Xi 4) = 13, X i 4 = 9, (X i + )(Y i 1) = 138, 4 i= X i = 17, Tilleggsoppgaver relatert til del P. og P.3 i læreboken Oppgave 1 Du blir gitt følgende data:

4 1. Beregn gjennomsnitt og median (svar: 17,8 og 130). Skriv ned frekvensfordelingen til X med intervall på 10, dvs. grupper inn i klassene , , etc. Tegn et histogram med disse inndelingene. Er fordelingen symmetrisk, venstreskjev, eller høyreskjev. Histogram Oppgave En bedrift ansetter 100 personer, hvorav 45 er menn og 55 er kvinner. Av de 100 er 8 ansatt som ledere, hvorav 5 er kvinner. 1. Tegn et Venn-diagram for å illustrere denne informasjonen, hvor du indikerer antall ansatte i hver kategori.. En ansatt blir trekt ut som vinner i et lotteri. Hva er sannsynligheten for at den ansatte er i. kvinne; ii. leder; iii. kvinnelig leder; iv. enten en mannlig leder eller kvinnelig ikke-leder? Løsningsforslag: 0,55; 0.08; 0.05; 0,53. Oppgave 3 Du kaster en mynt 3 ganger og registrer resultatet, hvor K=krone og M=mynt. 4

5 1. Hvor mange muligheter har du, dvs. hva er utfallsrommet for de tre kastene? Bruk gjerne følgende tabell (Tabell 3) til å fylle inn alle mulighetene: Tabell 3: Myntkast 1. kast. kast 3. kast. Beregn følgende størrelse/sannsynlighet: i. det midterste kastet er K: ii. minst en M dukker opp; iii. minst to kast er K? 3. La E være en hendelse (event) hvor vi har følgende definisjoner: E 1 angir to påfølgende K og E angir at mynten viser det samme verdi for alle tre kastene. Beregn følgende størrelser: i. Pr(E 1 ) (svar: 0,375); ii. Pr(E 1 og E ) (svar: 0,15); iii. Pr(E 1 eller E ) (svar: 0,5); iv. Pr(E 1 E ) (svar: 0,5); v. Pr(E E 1 ) (svar: 1/3). Tilleggsoppgaver relatert til kapittel i læreboken Oppgave 1 1. Du kaster en terning en gang. La X angi verdien terningen viser. Skriv ned sannsynlighetsfordelingen (pdf) og den kumulative fordelingen (cdf) til X. Finn gjennomsnittet og variansen til X. Bruk gjerne Tabell 4 til hjelp. 5

6 Tabell 4: Terningkast x p(x) C(x) xp(x) x p(x) Sum (Svar: Gjennomsnitt=3,5 og varians=,9.) Oppgave 1. En ingeniør overvåker maskinene i en stor bedrift og registerer hvor mange ganger maskinene bryter sammen. Hun rapporterer følgende fordeling: Antall sammenbrudd Sannsynlighet 0,70 0,0 0,08 0,0 Finn gjennomsnittet og variansen til antall maskinsammenbrudd. (Svar: µ = 0, 4, σ = 0, 536) Oppgave 3 1. I en by er arbeidsledigheten 30 %. Du intervjuer 10 personer. Bruk den binomiske fordelingen til å finne sannsynligheten for i. ingen av de 10 intervjuobjektene er arbeidsledige; ii. 5 av de 10 intervjuobjektene er arbeidsledige; iii. minst men ikke mer enn 8 er arbeidsledige; iv. hvilke ekstra antakelser har du gjort for å berege disse størrelsene? Løsningsforslag: p(0)=0,08, p(5)=0,10, 0,85. Uavhengighet og en det bare er to mulige og gjensidig utelukkende tilstander (arbeidsledig og ikke arbeidsledig). 6