ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Transkript

1 ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag

2 2 Fra første forelesning: Populasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg En delmengde av populasjonen (eng.: sample ) Parameter En tallverdi som oppsummerer populasjonen Observator En tallverdi som oppsummerer utvalget (eng.: statistic ) Primær problemstilling: Hva kan vi konkludere om populasjonen ved å analysere utvalget? I denne forelesningen (kap. 7) studeres spesielt observatoren utvalgsgjennomsnitt, dvs. x, som skal si noe om parameteren µ som er populasjonsgjennomsnittet.

3 Skillbuilder Applet Exercise 7.68 Ønsker å estimere populasjonsgjennomsnittsalder ved å ta et utvalg på 100 fra populasjonen. Hvis vårt utvalg er nr. 8 som gir gjennomsnitt 38.04, hvor godt er dette estimatet?

4 4 Fordelingen til observatorer (7.2) Sampling distributions Observatoren er en tallverdi som oppsummerer utvalget. Eksempler på observatorer er x, s, Q 1, x, Q 3. Særlig viktig er utvalgsgjennomsnittet x, som er utvalgsversjonen av populasjonsparameteren µ. Merk: En observator er en tilfeldig variabel med tilhørende fordeling. (Engelsk: sampling distribution ) Oppgave: I hvilken forstand er x en tilfeldig variabel? Hva er da det underliggende eksperiment?

5 Utvalgsfordeling for en observator: Fordelingen av verdier for en observator når det tas repeterte utvalg, alle av samme størrelse og fra den samme populasjonen.

6

7 7 Fordelingen til utvalgsgjennomsnittet x (7.3) Som nevnt er x en tilfeldig variabel. Vi kan f.eks. ikke forutse gjennomsnittet av n = 10 terningkast. Det er også klart at dersom vi gjør 10 nye kast, vil gjennomsnittet vanligvis ikke bli det samme. Det er denne variasjonen som uttrykkes ved fordelingen til utvalgsgjennomsnittet. Empirisk faktum: Fordelingen til x ligner mer og mer på en normalfordeling når antall kast n øker (se neste side).

8 P P Eksempel: Kast en terning n ganger og la x betegne antall øyne. Hva blir fordelingen til x? P P P n= n= n= P n= n= n=32

9 Oppgave: La x være gjennomsnitt antall øyne ved kast med n = 2 terninger. Hva er de mulige verdier for x? Finn sannsynlighetsfordelingen.

10 Karakteristiske trekk ved fordelingen til x: Fordelingen blir spissere og spissere (mindre variasjon) når n øker Fordelingen ser mer og mer ut som en normalfordeling når n øker P P P n= n= n= P P P n=8 n=16 n=32

11 11 Generell regel 1. Forventningen til x, µ x, er lik forventningen til x, dvs. µ 2. Standardavviket til x, σ x, er lik σ n (som avtar når n øker) σ x = σ n kalles standardfeilen for x (engelsk: standard error )

12 Oppgave: Dersom en populasjon har standardavvik på 20, hva er standardavviket til utvalgsgjennomsnittet dersom utvalgsstørrelsen er 16?

13 13 Sentralgrenseteoremet: Fordelingen til utvalgsgjennomsnittet vil nærme seg normalfordelingen når utvalgsstørrelsen n øker. Dette betyr at hvis n er stor vil x kunne regnes som normalfordelt med forventning µ x = µ og standardavvik σ x = σ n, dvs. P(a < x < b) P( a µ σ/ n < z < b µ σ/ n ) MERK: Dersom populasjonen som x trekkes fra selv er normalfordelt, vil x være eksakt normalfordelt for alle utvalgsstørrelser.

14 Eksempel: Ta gjennomsnittet av 16 terningkast. Hva er sannsynligheten for at gjennomsnittet er større enn eller lik 3 og mindre enn eller lik 4? Direkte metode gir at sannsynligheten er summen av sylene over den grønne streken, men det er arbeidskrevende å finne søylene (sannsynlighetene for de enkelte utfallene). Dersom en gjør dette får en svaret P(3 X 4) =

15

16 Alternativt kan vi bruke sentralgrenseteoremet: P(a < x < b) P( a µ σ/ n < z < b µ σ/ n ) Trenger da µ og σ for ett terningkast: Velkjent at µ = 3.5 Standardavvik σ er beregnet i forelesning 6, uke 36: σ 2 = Σx 2 P(x) µ 2 = = σ = σ 2 =

17 P(3 x 4) = P( 3 µ σ/ n < z < 4 µ σ/ n ) = P( / < z < / 16 ) = P( 1.17 < Z < 1.17) = 2 P(0 < Z < 1.17) = = (eksakt metode: )

18 Mer nøyaktig: Søylene svarende til x = 3 og x = 4 har egentlig bredde 1/16. Hvorfor? Dermed vil vi få mer nøyaktig svar ved å forlenge intervallet for z med halvparten av 1/16 både til venstre for 3 og til høyre for 4. Dette gir: P(3 x 4) = P(3 1/16 < x < 4 + 1/ ) = P( µ σ/ < z < µ n σ/ ) n = P( / < z < / 16 ) = P( < z < ) = 2 P(0 < z < ) = = (mens altså eksakt metode gir )

19 19 Anvendelser med fordelingen til gjennomsnittet (7.4) Eksempel: Betrakt en populasjon med µ = 100 og σ = 16. Dersom et utvalg med størrelse 16 velges, hva er sannsynligheten for at utvalgsgjennomsnittet vil være mellom 90 og 110? Husk: Gjennomsnittet til normalfordelte variable er også eksakt normalfordelt. P(90 < x < 110) = P( 90 µ σ/ n < z < 110 µ σ/ n ) = P( 16/ < z < 16 16/ 16 ) = P( 2.5 < z < 2.5) = 2 P(0 < z < 2.5) = =

20 Oppgave: Et tilfeldig utvalg med n=36 blir trukket fra en populasjon som har forventning 50 og standardavvik 10. Finn forventningen til x Finn standardavviket til x Hva er sannsynligheten for at x vil være mellom 45 og 55?

21 De neste figurene skal illustrere de tidligere nevnte karakteristiske trekk ved fordelingen til x: Fordelingen blir spissere og spissere (mindre variasjon) når n øker Fordelingen ser mer og mer ut som en normalfordeling når n øker De to foregående punktene holder selv om utvalget tas fra en populasjon med skjev og uregulær form.

22

23

24