Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Transkript

1 2 Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte vi forventer at hendelsen inntreffer, dvs. den forventede relative frekvens av hendelsen. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag Sannsynligheter kan finnes på tre måter. Empirisk, dvs. ved å gjøre forsøk. Teoretisk, dvs. ved å regne. Subjektivt, dvs. ved (kvalifisert) gjetning. 3 Empirisk sannsynlighet Eksempel: Kast én terning. Hva er sannsynligheten for å få 1 er? 4 Teoretisk sannsynlighet for en hendelse ( event ) La hendelse A være at terningen viser 1. Den teoretiske sannsynligheten for A skrives P(A). (P for probability). For en normal terning skal vi senere se at P(A) =1/6. Empirisk sannsynlighet for A skrives P (A). Denne finnes ved å: kaste terningen n ganger registrere n(a) antall ganger 1 inntreffer regne ut P (A) = n(a) n som er den relative frekvensen av hendelse A. Når n blir stor vil P (A) etterhvert nærme seg P(A). Dette kalles store talls lov: Når antall forsøk n øker, vil den relative frekvensen til en hendelse nærme seg den teoretiske sannsynligheten for hendelsen. Eksperiment Aktiviteten som gir et resultat eller en observasjon. Utfall Et bestemt resultat fra et eksperiment ( outcome, sample point ) Utfallsrom Mengden av alle mulige utfall av et eksperiment, betegnet S ( sample space ). n(s) betegner antall utfall i utfallsrommet. Hendelse Et resultat av eksperimentet som vi ønsker sannsynligheten for. Vil være en delmengde A av utfallsrommet. For en hendelse A er n(a) antall utfall i A.

2 5 6 Teoretisk sannsynlighet (forts.) Eksempel: Kast en mynt Sannsynlighet Hvis alle utfall i S er like sannsynlige, er teoretisk sannsynlighet for A = dvs. P(A) = n(a) n(s) antall utfall som gir A totalt antall utfall i S Utfall Krone (H) eller Mynt (T ) Utfallsrom S = {H, T } og n(s) =2 Hendelse Ønsker for eksempel sannsynligheten for hendelsen A = Krone dvs. H. Daern(A) =1. dvs. Teoretisk sannsynlighet for A = P(A) = n(a) n(s) = 1 2 antall utfall som gir A totalt antall utfall i S 7 Eksempel: Kast en terning Utfall 1,2,3,4,5 eller 6 øyne Utfallsrom S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} og n(s) =6 Hendelse Ønsker for eksempel sannsynligheten for hendelsen A = minst 5 øyne = {5, 6}. Daern(A) =2. dvs. Teoretisk sannsynlighet for A = P(A) = n(a) n(s) = 2 6 = 1 3 antall utfall som gir A totalt antall utfall i S 8 Eksempel: Kast to terninger Utfallsrommet S har n(s) =6 6 = 36 og kan skrives opp i et gitter Andre terning ,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 Første 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 terning 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 La A = sum øyne er 5. Da er P(A) = n(a) n(s) = n({(4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4)}) n(s) = 4 36 = 1 9

3 Oppgave: Kast to terninger og la den interesseante hendelsen være A at sum øyne er lik 5. Oppgave: Kast to terninger og legg sammen tallene. Hvilke(n) summer er mest sannsynlig(e)? Forklar at dersom utfallet defineres som sum antall øyne, blir utfallrommet S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Hvorfor kan vi ikke da slutte at P(A) = n(a) n(s) = 1 11? (Husk at vi fikk 1 9 tidligere.) 11 Eksempel: Trediagram Kast tikrone og femkrone og registrer utfallet. Trediagrammet lages slik: 10 er H 5 er H T Utfall H,H H,T 12 Eksempel: Trediagram (fra boka) Trediagram for familie med tre barn (B=gutt, G=jente) T H T T,H T,T Liste: S = {(H, H), (H, T ), (T, H), (T, T )} n(s) =4

4 14 Egenskaper ved sannsynligheter Oppgave: En mynt og en terning blir kastet. Skriv opp utfallsrommet S ved hjelp av et trediagram en liste et gitter Hva er n(s)? Egenskap 1 for sannsynligheter: En sannsynlighet er alltid et tall mellom 0 og 1, dvs. 0 P(A) 1 Sannsynligheten er null dersom hendelsen ikke kan inntreffe. Sannsynligheten er 1 dersom hendelsen inntreffer hver gang. Ellers er den gitt ved en forventet relativ frekvens, dvs. forventet antall ganger A vil inntreffe i n forsøk dividert på n (som blir et tall mellom 0 og 1). 16 Egenskap 2 for sannsynligheter: Summen av sannsynlighetene for alle utfall i et eksperiment er eksakt lik 1, dvs. Σ alle utfall P(w) =1 Eksempel: Kast én terning. Da er S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} og P(1) =P(2) =P(3) =P(4) =P(5) =P(6) = 1 6. Σ alle utfall P(w) =1/6 + 1/ /6 = 1 Odds Eksempel: Anta at det er fem ganger så stor sannsynlighet for å stå som for å stryke ved en eksamen. Dette kan uttrykkes ved at oddsen er 5 : 1 i favør av å stå til eksamen. Hva er da sannsynligheten for å stå til denne eksamen? A=stå til eksamen B=stryke til eksamen P(A) :P(B) =5 P(A) =5P(B) P(A)+P(B) =1 P(A)+P(A)/5 = 1 P(A) = 5/6 = 0.83

5 17 Betinget sannsynlighet (4.3) Se igjen på krysstabellen med frekvenser for gender og major for 30 studenter (Kap. 2). En betinget sannsynlighet er den forventede relative frekvens for en hendelse dersom det er gitt en tilleggsinformasjon om en annen hendelse. P(A B) brukes for å uttrykke den betintgede sannsynligheten for hendelsen A gitt at hendelsen B har inntruffet, dvs. kort: Sannsynligheten for A gitt B Anta at én av de 30 studentene velges tilfeldig. 1. Sannsynligheten for at denne har major i LA er 11/30 = MEN: Hvis vi får vite at den uttrukne er en kvinne, er sannsynligheten for at hun har major i LA lik 6/12 = OGSÅ: Hvis vi får vite at den uttrukne er en mann, er sannsynligheten for at han har major i LA lik 5/18 = 0.28 Dette er eksempler på betingede sannsynligheter. 20 (forts.) La A være hendelsen at den uttrukne har major LA. La B være hendelsen at den uttrukne er kvinne. La C være hendelsen at den uttrukne er mann. Da er sannynlighetene på forrige slide: P(A) = P(major i LA) =0.37 P(A B) = P(major i LA kvinne) =0.5 P(A C) = P(major i LA mann) =0.28 Regler for sannsynligheter (4.4) Komplementet til en hendelse A: Mengden av alle utfall som ikke hører til A. Skrives Ā (leses A-komplement ) Eksempel: Kast én terning og la A betegne partall antall øyne. Da er Ā hendelsen at antall øyne er et oddetall. Fordi A og Ā tilsammen dekker hele utfallsrommet, har vi at P(A)+P(Ā) =1 Dette gir komplementregelen: Sannsynligheten for komplementet til A er lik 1 minus sannsynligheten for A, dvs. P(Ā) =1 P(A)

6 Alle hendelser har et komplement. Iblant er det enklere å beregne sannsynligheten for Ā enn for A. Eksempel: Kast to terninger. Hva er sannsynligheten for at summen blir større enn eller lik 4? A=summen er større enn eller lik 4 Ā=summen er mindre enn eller lik 3 n(ā) P(A) =1 P(Ā) =1 n(s) n({(1, 1), (1, 2), (2, 1)}) = 1 n(s) = = = Oppgave (eksamen høst 2005): La X være summen av to terningkast. Hva er P(X 10)? A) 1/6 B) 3/12 C) 5/36 D) 12/36 E) 9/18 23 Sammensatte hendelser dvs. kombinasjoner av flere hendelser. Betrakt to hendelser A og B. Disse kan for eksempel være Kast en terning og registrer antall øyne: A=partall B=5 eller bedre Ta sit-ups A=flere enn 10 sit-ups B=færre enn 20 sit-ups Trekk student fra en populasjon A=kvinne B=fulltidsstudent Interessante problemer er: Hva er P(A eller B), dvs. sannsynligheten for at hendelse A eller B (eller begge) inntreffer? Hva er P(A og B), dvs. sannsynligheten for at både A og B inntreffer? Hva er P(A B), dvs. den betingede sannsynligheten for at A inntreffer gitt at B har inntruffet? (Har allerede sett eksempel på dette)

7 25 Den generelle addisjonsregel La A og B være to hendelser definert i et utfallsrom S. sannsynligheten for A eller B (eller begge) = sannsynligheten for A + sannsynligheten for B - sannsynligheten for A og B, Eksempel: Kast to terninger. Hva er sannsynligheten for at summen er 10 (hendelse A) eller at terningene viser to like (hendelse B)? dvs. P(A eller B) =P(A)+P(B) P(A ogb) Se igjen på krysstabellen med frekvenser for gender og major for 30 studenter (Kap. 2). P(A eller B) =P(A)+P(B) P(AogB)= = 8 36 = 2 9 Anta at én av de 30 studentene velges tilfeldig. La A være hendelsen at den uttrukne har major LA. La B være hendelsen at den uttrukne er kvinne. siden hendelsen A og B her svarer til det ene utfallet (5, 5). Da er: P(A eller B) =P(A)+P(B) P(A ogb)= = 17 30

8 29 Illustrasjon av den generelle addisjonsregel 30 Den generelle multiplikasjonsregel La A og B være to hendelser definert i et utfallsrom S. sannsynligheten for A og B = sannsynligheten for A sannsynligheten for B gitt A, dvs. P(A ogb)=p(a) P(B A) P(A eller B) =P(A)+P(B) P(A ogb) Se nok en gang på krysstabellen med frekvenser for gender og major for 30 studenter (Kap. 2). eller også (siden A og B kan byttes om:) P(A ogb)=p(b) P(A B) der A er hendelsen at den uttrukne har major LA, og B er hendelsen at den uttrukne er kvinne. Vi har tidligere funnet at: P(B) = 12 30, P(A B) = 6 12 = 1 2 hvorfor? Den generelle multiplikasjonsregel gir da at P(A ogb)=p(b) P(A B) = = 6 30 som vi også kan lese av fra tabellen.

9 33 Trekking uten tilbakelegging En bolle inneholder 7 kuler, 5 gule (Y) og to røde (R). To kuler trekkes uten tilbakelegging, dvs. at det først trekkes en og at det så trekkes en til uten å legge den første tilbake. La A = den første kulen er gul (Y) B = den andre kulen er gul (Y) Da er P(begge kulene er gule) =P(AogB)=P(A) P(B A) = = Forts. P(en av hver farge) =P(YR)+P(RY )= = = P(to røde) =P(RR) = = Disjunkte hendelser (4.5) To disjunkte (gjensidig utelukkende) hendelser: Hendelser definert slik at dersom en av hendelsene inntreffer, kan den andre ikke inntreffe. dvs. P(A ogb)=0 eller med Venn-diagram: Hvis vi har flere enn 2 hendelser, kalles disse parvis disjunkte ( mutually exclusive ) hvis hvert par av dem er disjunkte etter definisjonen på forrige slide. Eksempel: Betrakt et eksperiment der to terninger blir kastet. Tre hendelser er definert: A: Summen av tallene på terningene er 7 B: Summen av tallene på terningene er 10 C: Begge terningene viser samme tall. Er disse tre hendelsene parvis disjunkte?

10 A: Summen av tallene på terningene er 7 B: Summen av tallene på terningene er 10 C: Begge terningene viser samme tall. 38 Den spesielle addisjonsregelen For disjunkte hendelser A og B gjelder P(A eller B) =P(A)+P(B) Denne regelen kan generaliseres: A og B er disjunkte. A og C er disjunkte. B og C er ikke disjunkte, fordi BogC=(5, 5) For parvis disjunkte hendelser A, B, C... E gjelder P(A eller B eller C eller... eller E) =P(A)+P(B)+P(C)+...+P(E) De tre hendelsene er dermed ikke parvis disjunkte (selv om alle tre ikke kan inntreffe samtidig). Illustrasjon av den spesielle addisjonsregelen: Eksempel: Kast to terninger. Hva er sannsynligheten for at summen er 7 (hendelse A) eller at terningene er like (hendelse B)? Hendelse A (grønn) og B (blå) er disjunkte (inntreffer A kan ikke B inntreffe og motsatt, se figur under). Her er A og B disjunkte, og vi har: P(A eller B) =P(A)+P(B)

11 Regelen over gir da P(A eller B) =P(A)+P(B) = = 1 3 Oppgave: Et par terninger blir kastet. Hendelsene er A=summen er 7, C=to like, E=summen er 8. a) Hvilke par av hendelser er disjunkte? b) Finn sannsynlighetene P(A eller C), P(A eller E), og P(C eller E) 43 Uavhengige hendelser (4.6) To hendelser A og B er uavhengige hendelser hvis det at A har hendt (eller ikke har hendt) ikke påvirker sannsynligheten for at B skal hende, dvs. eller P(A) =P(A B) =P(A ikke B) P(B) =P(B A) =P(B ikke A) Dersom den ene av linjene er oppfylt vil alltid den andre være det også. Hendelser som ikke er uavhengige, kalles avhengige. Husk den generell multiplikasjonsregel: P(A ogb)=p(a)p(b A) Dersom A og B er uavhengige, har vi P(B A) =P(B), så vi får: Den spesielle multiplikasjonsregel: P(A ogb)=p(a)p(b) Dette kan generaliseres til tilfellet med mer enn to uavhengige hendelser: For uavhengige hendelser A, B, C... E gjelder P(A ogbogcog... og E) =P(A) P(B) P(C)... P(E)

12 A=fulltid C=kvinne Eksempel: En student blir trukket tilfeldig fra en populasjon bestående av 200 studenter hvorav 140 studerer fulltid (80 kvinner og 60 menn) og 60 studerer deltid (40 kvinner og 20 menn). La hendelse A være at studenten studerer fulltid og hendelse C at studenten er kvinne. a) Er hendelsene A og C uavhengige? b) Finn P(A og C) ved multiplikasjonsregelen P(A C) = P(A) = n(a) n(s) = = 0.7 P(C) = n(c) n(s) = = 0.6 n(a ogc) n(c) = = 0.67 A og C er avhengige siden P(A C) P(C). P(A ogc)=p(c)p(a C) = = = 0.4 P(A og C) kan også finnes direkte ved P(A ogc)= n(a ogc) n(s) = = Formel for betinget sannsynlighet Ved å stokke om på generell multiplikasjonsregel, P(A ogb)=p(a) P(B A) får vi et uttrykk for sannsynligheten for hendelsen A gitt at hendelsen B har inntruffet: P(A ogb) P(B A) = P(A)