Forelesning 7 Statistiske beskrivelser av enkeltvariabler. Mål for sentraltendens

Transkript

1 Forelesning 7 Statistiske beskrivelser av enkeltvariabler Statistiske mål for univariate fordelinger: Sentraltendens Verdien for fordelingens tyngdepunkt Spredning Hvor nært opp til tyngdepunktet ligger enhetene i fordelingen Mål for sentraltendens Modus (M): hyppigst forekommende verdi Median ( Y ~ ): punktet som splitter fordelingen i to like store deler Gjennomsnitt ( Y): fordelingens tyngdepunkt Yi Y = n Mål for spredning (del I) Modalprosent (Mp): prosentandel med verdien modus Variasjonsbredde (Vb): differansen mellom den høyeste og den laveste verdien i fordelingen Kvartildifferanse (K = K 3 -K 1 ): variasjonsbredde for den midterste 50-prosenten av fordelingen Data rangert fra lav til høy kvartildifferansen 5 % 5 % 5 % 5 % Mål for spredning (del II) Varians (s ): S Standardavvik (s): ( Y Y ) S = n 1 ( Y Y ) = n 1 Lav K1 K K3 Høy Sentraltendens og spredning Nominalnivå Modus Ordinalnivå Median Intervall-/forholdstallsnivå (Aritmetisk) gjennomsnitt Nominalnivå Modalprosent Ordinalnivå Variasjonsbredde Kvartildifferanse Intervall/forholdstallsnivå Varians Standardavvik Hvilke statistiske mål kan vi bruke for å beskrive denne fordelingen? Sivilstand til informantene i Verdiundersøkelsen. Antall Prosent 1. Gift 7 6. Samboer 1 3. Skilt 6. Separert Enke/enkemann 7 6. Enslig Totalt 13 0 M: 1 (Gift) Mp: 6% 1

2 Hvilke mål bruker vi for å beskrive denne fordelingen? Hvor fornøyd er du med jobben din? Antall Prosent 1. Svært misfornøyd 1. Misfornøyd Både/og 1 1. Fornøyd Svært fornøyd 35 3 Totalt 9 0 Kumulativt antall Kumulativ prosent M= (Fornøyd) Mp=3% Medianposisjon: ~ d ( Y ) = = 9, 5 Vb = 5 1 = Median: Y ~ = ( Fornøyd) K = K3 K1 = 5 = 1 Statistiske mål? K arakterfordeling for stiloppgave i norsk. K um ulativ Karakter: Antall Prosent p rosent T otalt 0 M: 3 (karakter 3) Mp: 9% Y ~ : 3 Vb: 6-1 = 5 K: - = Gjennomsnitt: Y = = = 3,0 3, 0 s = Standardavvik (s): (1 3) + 6( 3) + (3 3) + 6( 3) + 3(5 3) + 1(6 3) = = = 1,1 = 1, Gjennomsnitt som fordelingens tyngdepunkt Hva skjer med tyngdepunktet hvis vi flytter en boks? Hva skjer hvis vi forskyver denne? Y = 5, Hva blir medianen? ~ = 6 Y Y - = 6 Hva blir medianen nå? ~ = Y 6 Sannsynlighet og sannsynlighetsfordelinger All statistisk generalisering bygger på sannsynligheter Når vi jobber med sannsynlighetsutvalg kan vi bruke sannsynlighetsregning for å generalisere fra utvalget til populasjonen Vi kan da enten regne sannsynligheter direkte, eller vi kan benytte kjente sannsynlighetsfordelinger som normalfordeling, kjikvadratfordeling, t-fordeling eller F-fordeling. Hva er en normalfordeling?

3 Alle mulige kombinasjoner for et kast med to = =3 = =5 =6 =7 Men hva skjer om vi regner ut summen for de to terningene? =3 = =5 =6 =7 = = =5 =6 =7 = =9 =5 =6 =7 = =9 = =6 =7 = =9 = =11 =7 = =9 = =11 =1 Alle resultatene har en sannsynlighet på 0,07 ( 3%) Sannsynlighetsfordeling for resultatet av et kast med to Resultat Antall Prosent Sannsynlighet 1 3 0, ,06 3 0, , , , , ,11 3 0, , ,03 Sum ,01 Empirisk forsøk: kast med to Empirisk forsøk: 0 kast med to Empirisk forsøk: 000 kast med to

4 Resultatet av John Kerrich sitt eksperiment med myntkast Antall Antall Forskjell Antall Antall Forskjell Kast hoder fra 50% kast hoder fra 50% Antall hoder - (antall kast / ) Resultatet av John Kerrich eksperiment med myntkast Antall kast Størrelsen på de tilfeldige avviskene øker med antallet myntkast Prosent hoder - 50% Antall kast De tilfeldige avvikene målt i prosent av antallet kast blir mindre med økt antall myntkast. Hva hvis vi kaster 000 ganger? Vi har da til sammen mulige kombinasjoner Summen vil fordele seg i intervallet mellom og Selv om hver kombinasjon har samme sannsynlighet, vil de ulike summene ( - ) har ulik sannsynlighet. De fleste resultatene vil ligge rundt gjennomsnittet på 35 Empiriske forsøk: 000 kast med 95 prosent 6 prosent Y = 35,0 s = 5,3 Y s =,6 Y s = 9,6 Y + s =, Y + s = 5,7 Normalfordelingen Illustrasjon av intervaller i normalfordelingen Prosent av normalfordelingen som ligger over verdien Z M + Z s ,5 30, 1 15,9 1, 1,5 6,5 1,65 5,0 1,96,5,3,33 1,0,5 0,6,57 0,5 3 0,1 6,% 95,% µ

5 To fordelinger med lik sentraltendens, men med ulik spredning Det finnes mange normalfordelinger, men bare en standardisert normalfordeling µ µ _ X - 0 µ Hypotesetesting Alle statistiske tester bygger på en felles grunnleggende logikk. Dette betyr at hvis vi har lært en type test, så har vi nesten lært alle. Det vil si: Hvis vi klarer å forstå logikken bak en av de enkle testene, da har vi et meget godt utgangspunkt for å forstå alle typer av statistiske tester. Generell fremgangsmåte ved all hypoteseprøving Formulere hypoteser (H 0 og H alt ) om populasjonen. Bestemme testobservator med en kjent sannsynlighetsfordeling: normalfordeling t-fordeling F-fordeling kjikvadratfordeling Velge signifikansnivå vanligvis α = 0,05 dvs. 5% Finne utvalgsverdien av testobservatoren og dens p-verdi. Foreta en konklusjon: p <α H 0 forkastes p >α H 0 beholdes Mulige feilkonklusjoner ved statistiske tester Statistiske tester er beslutninger beheftet med to typer usikkerhet H0 beholdes H0 forkastes H0 er sann H0 er falsk Korrekt beslutning Feil av type II - β Feil av type I - α Korrekt beslutning 5