µ = E(X) = Ʃ P(X = x) x

Transkript

1 Redigerte høydepunkt fra forrige episode 3.2: Punktsannsynlighet og kumulativ sannsynlighet punktsannsynlighet: sanns. for at en stok. var. X har en viss verdi x; P(X = x) kumulativ sannsynlighet: sanns. for at X er mindre enn eller lik en viss verdi x; P(X x) 3.3: Forventningsverdi ("teoretisk gjennomsnitt") forventningsverdien til en stok. var. X tilsvarer gjennomsnittsverdien til X for "forsøket" gjentas "mange" ganger eksempel: hvis vi kaster én vanlig terning og X = "antall øyne terningen viser", er forventningsverdien lik 3,5 definisjon: µ = E(X) = Ʃ P(X = x) x alle x forventningsverdier oppfører seg "lineært & greit": 1) E(aX+b) = ae(x) + b 2) E(g(X)) = 3) E(X 1 + X 2 + X ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) + E(X 3 )

2 Quiz app.one2act.no Du kaster en 4 sidet rollespillterning, der hver side har ett av tallene 1, 2, 3 eller 4 (hver tall er like sannsynlig). La X angi antall øyne som terningen viser når den kastes. Finn forventningsverdien E(X). 4 2 A. 1 B. 1,5 C. 2 D. 2,5 E. 3 F. 3,5 G. 4 2

3 3

4 3.4: Varians og standardavvik begge er spredningsmål : liten varians/standardavvik = liten spredning stor varians/standardavvik = stor spredning Symbol for varians: σ 2 ("sigma i andre") Symbol for standardavvik: σ Definisjon av varians/standardavvik for stokastisk variabel 4

5 Regneregler for varians 5

6 Variansen til et gjennomsnitt Kontekst: vi har gjort et sett med uavhengige målinger (f.eks. hver student i klassen har målt diameteren til en skrue med skyvelær). Hver students måling er en stokastisk variabel X 1, X 2, X 3,...,X n. Hvis alle bruker samme måleutstyr, vil alle de stokastiske variablene ha samme varians (her skyldes variansen usikkerhet i måleutstyret). Vi beregner så gjennomsnittet av målingene: X = X 1 + X 2 + X X n Jo flere målinger vi gjør, desto mindre blir variansen til gjennomsnittet (fordi betydningen av "ekstremverdier"/feilmålinger vil viskes ut). Hva blir variansen til et gjennomsnitt av n uavhengige variable som alle har varians lik σ 2? 6

7 3.6: Binomisk fordeling én av to typer diskrete fordelinger vi skal borti (den andre er Poisson) bi nomisk = to mulige utfall ("suksess/ikke suksess") en binomisk variabel X teller antall ganger en hendelse inntreffer i en såkalt binomisk forsøksserie 7

8 Quiz I hvilke av følgende situasjoner er det riktig å bruke en binomisk modell? Du kan hake av så mange alternativer du vil. A. Du kaster en vanlig mynt 10 ganger og vil beregne sannsynligheten for 10 "kron" på rad app.one2act.no B. Du kaster en falsk mynt hvor sannsynligheten for "kron" er 70 %, og vil beregne sannsynligheten for å få 10 "kron" av løpet av 20 kast C. Du har en flervalgseksamen med 5 spørsmål som alle har 6 alternativer, og ønsker å beregne sannsynligheten for å svare riktig på minst 40 % av oppgavene ved ren gjetting D. Du trekker med tilbakelegging 4 kuler fra en eske med 5 røde og 8 grønne, og vil finne sannsynligheten for å trekke minst to røde E. Du trekker uten tilbakelegging 4 kuler fra en eske med 5 røde og 8 grønne, og vil finne sannsynligheten for å trekke to røde F. Du får vite at det er spilt Lottorekker i en bestemt Lottotrekning, og vil beregne sannsynligheten for at minst én er en vinnerrekke Se hjemmeregning 4, oppgave 1 8

9 9

10 Quiz Hva er sannsynligheten for å få 5 "kron" på 10 kast med en vanlig mynt? A. 0,25 B. 0,30 C. 0,35 D. 0,40 E. 0,45 F. 0,50 10

11 11

12 Beregne binomisk punktsannsynlighet eller kumulativ fordeling på kalkulator Punktsannsynlighet P(X = x) Kumulativ sannsynlighet P(X<x) Casio Menu > Stat > Dist > BINM > Bpd > velg Data: Var (istedet for List) > legg inn n, x og p Menu > Stat > Dist > BINM > Bcd > velg Data: Var (istedet for List) > legg inn n, x og p Texas 2nd + Var > binompdf > Enter Syntaks: binompdf(n,p,x) pdf = probability density function = punktsannsynlighet 2nd + Var > binomcdf > Enter Syntaks: binomcdf(n,p,x) cdf = cumulative density function = kumulativ sannsynlighet Skjermbilde fra Casio for å finne hhv. P(X = 4) og P(X>2) fra forrige eksempel: Finner P(X = 4) Finner P(X<1) 12

13 Eksempel En bedrift produserer en bestemt type maskindeler. Erfaringsmessig er det en feil på 1 av 50 deler, slik at disse må kasseres. Et vareparti på 300 maskindeler sendes ut til kunde. a) Hva er sannsynligheten for at varepartiet inneholder mer enn 10 defekte deler? b) Hvor stort vareparti må produseres for at det skal være 95 % sannsynlig at partiet inneholder minst 100 feilfrie deler? 13

14 Eksempel (fra eksamen desember 2016) Lekse: ta en rask titt på hjemmeregning 4, oppgave 1. 14