Statistikk 1 kapittel 5

Transkript

1 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2015

2 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel om en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like stor verdi for tettheten Generelt: Tettheten til en uniform fordelt stokastisk variabel X er f(x) = 1/(b-a), a x b f(x) = 0 ellers E(X) = (a + b)/2 Var(X) = (b a) 2 /12 Den uniforme fordelingen er et eksempel på en bestemt sannsynlighetsmodell

3 En sannsynlighetsmodell definerer hele sannsynlighetsfordelingen til en bestemt s.v. (eller den simultane fordelingen til flere s.v. er samtidig). Kan gis enten i form av en tabell (diskret s.v.) eller en formel (både diskret og kontinuerlig s.v.). Sannsynlighetsfordelingen i form av en tabell er ofte (men ikke alltid) empirisk (erfaringsmessig, databasert). Da gjelder den bare den ene situasjonen. Fordelinger i form av en formel er mer anvendelige, større bruksområde. 3

4 Eksempel (jfr. oppgave 4.3): antall seksere i tre kast s.v. X Tabell: x P(X=x) 0 (5/6) 3 = 125/ (1/6).(5/6) 2 = 75/ (1/6) 2.(5/6) = 15/216 3 (1/6) 3 = 1/216 Formel: P(X=x) = 3 x (sjekk selv) 1 6 x x, x = 0,1,2,3 Formel kortere enn tabell, men uklart hva sannsynlighetene blir med 2, eller 4, eller 5, eller n kast. Sannsynlighetsmodell for antall seksere i n kast: P(X=x) = n 1 x 5 n x, x = 0, 1, 2,, n x 6 6 Mer generell, fordi antall kast n kan velges fritt 4

5 Enda mer generell: sannsynlighet p på suksess i istedenfor 1/6. F. eks. myntkast, p=½ for kron/mynt Kaster n ganger. Hvor ofte kron? S.v. X P(X=x) = n x p x 1 p n x, n= 1, 2, 3, ; x = 0, 1, 2, n, 0 < p < 1 Dette er et eksempel på en binomisk sannsynlighetsmodell. X har en binomisk fordeling. n og p er parametere, som er avhengige av situasjonen. X er en s.v. Leddet n k kalles for binomialkoeffisient. 5

6 Definisjon binomisk modell En binomisk modell beskriver sannsynligheten for et bestemt antall vellykkete forsøk («suksess») i en såkalt binomisk forsøksrekke - Forsøket kan deles opp i n delforsøk - Hvert forsøk har bare to utfall: A og ikke-a - Sannsynligheten P(A) er den samme i alle delforsøkene - Delforsøkene er statistisk uavhengige av hverandre Hvis X er antall ganger at A inntreffer, er X binomisk fordelt P(X=x) = n p x x 1 p n x, n= 1, 2, 3, ; x = 0, 1, 2, n, 0 < p < 1, der n er antall delforsøk og p=p(a) Kortform: X ~ bin(n,p) tegnet ~ står for «har sannsynlighetsfordeling:» 6

7 To eksempler 1) Oppgave 4.11 Antall jenter X i en familie med 4 barn. p = 0,486 X ~ bin(4, 0,486) P(X=x) = 4 x 0,486 x 0,514 4 x, x = 0, 1, 2, 3, 4 2) Antall personer som stemmer Høyre blant 1000 tilfeldig valgte personer. p=0,268 fra Stortingsvalg 2013 P(X=x) = 1000 x 0,268 x 0, x, x = 0, 1, 2,, 1000 Forutsetningene? 7

8 Egenskaper for binomisk fordelt s.v. Anta at X ~ bin(n,p) Regel 5.3 sier at E(X) = n.p, Var(X) = n.p.(1-p) Bevis på s. 488 X er antall jenter i en 4-barnsfamilie (p=0,486). Forventet antall jenter E(X) blir lik 4 x 0,486 = 1,944 jenter Varians til X blir 4 x 0,486 x 0,514 = 0,999 SD(X) = 1,000 jente Når n og p varierer får vi en hel rekke fordelinger. For noen av disse er P(X x) blitt tabellert: kumulert binomisk fordeling. 8

9 Tabell over kumulert binomisk fordeling (tabell E1, s. 534) NB Tabellen viser den kumulerte fordelingen!! Eksempel 1 Kaster en mynt 10 ganger P(minst 4 ganger kron)? X s.v. antall ganger kron X ~ bin(10, ½). n=10, p=½ P(X 4) = 1 P(X 3) = 1 0,172 = 0,828 = 83% 9

10 Tabell over kumulert binomisk fordeling (tabell E1, s. 534) NB Tabellen viser den kumulerte fordelingen!! Eksempel 2 Kaster en mynt 10 ganger X s.v. antall ganger kron X ~ bin(10, ½). P(eksakt 4 ganger kron)? P(X=4) = P(X 4) P(X 3) = = 0,377 0,172 = 0,205 = 21% NB Vanlig triks for diskret s.v.: fra kumulert til punktsannsynlighet!! 10

11 Tabellen viser P(X x) bare for n 10 og noen få verdier for p. For stor n brukes Excel jfr. side 176, eller en tilnærming (regel 5.20 senere). 11

12 Hypergeometrisk fordeling Forutsetning binomisk forsøk: samme sannsynlighet på «suksess» i hvert delforsøk Henger sammen med at delforsøkene er basert på trekning med tilbakelegging Mange delforsøk men trekning uten tilbakelegging? 12

13 Eksempel: Damenes 3 mil under Vinter-OL Salt Lake City 2002 N = 50 deltakere. Anta at M = 10 av disse var dopet. Det ble trukket n=6 deltakere for dopingtest. To av disse var positive: Olga Danilova og Larissa Lazutina. Hva er sannsynligheten for at vi skulle trekke to som var dopet? Antall trukne som er dopet er en s.v. X - Antall mulige utvalg 6 fra 50 er lik 50 6 kombinasjonsregelen - Antall «gunstige» utvalg: 2 som er dopet kan trekkes på 10 2 ulike måter, mens de øvrige 4 kan trekkes på ulike måter Dermed blir sannsynligheten for at vi trekker 2 som har dopet seg lik P X=2 = = 0,259 = 26% 13

14 På samme måte P X=1 = =0,414 større enn P(X=2)!! Og P X=0 = =0,242 Sannsynlighet for at ingen blir avslørt er hele 24%! For alle x: P X=x = 10 x 40 6 x 50 6, x=0,1,2,3,,10 Eksempel på en hypergeometrisk fordeling 14

15 Hypergeometrisk fordeling Populasjon på N enheter M av disse er merket n blir trukket X er s.v.: antall enheter som er merket, blant de n som vi trakk P X=x = M x N M n x N n, x=1,2,3,,n, x M Andelen p = M/N er merket E(X) = n.p = n.m/n Også: Var(X) = n.p. 1 p. N n N 1 bevis på side

16 Eksempel: Kortstokk 52 kort, 13 av disse er spar. Du får utdelt 13 kort. Hvor stor er sjansen på eksakt 5 spar? N = 52, M = 13, n = 13 Antall spar du får er en s.v. X P X = 5 = = 0,125 16

17 Dopingeksemplet n=6, M=10, N=50 p = M/N = 0,2 Vi fant P(X = 0) = 0,242 P(X = 1) = 0,414 P(X = 2) = 0,259 Hva om vi (feilaktig) hadde antatt en binomisk fordeling? X~ bin(6, 0,2) P(X=0) = 6 0 0,2 0 0,8 6 = 0,262 (hypergeometrisk 0,242) P(X=1) = 6 1 0,2 1 0,8 5 = 0,393 (hypergeometrisk 0,414) P(X=2) = 6 2 0,2 2 0,8 4 = 0,246 (hypergeometrisk 0,259) I praksis kan vi bruke binomisk fordeling istedenfor hypergeometrisk fordeling, så snart N > 10n. Her hadde vi N/n = 50/6 = 8,3 17

18 Hypergeometrisk vs. binomisk fordeling Samme forventning: E(X) = n.p Variansene er forskjellige Binomisk: Var(X) = n.p.(1-p) Hypergeometrisk: Var(X) = n.p. 1 p. N n, mindre enn binomisk N 1 Faktor N n N 1 = 1 n N 1 1 N går mot 1 for stor N og liten n/n Dopingeksemplet: Var(X) = 6 x 0,2 x 0,8 = 0,96 (binomisk) Var(X) = 0,96 x (50-6)/(50-1) = 0,86 (hypergeometrisk) ca 10% lavere 18

19 Merknad Løvås tar feil når han på side 177 skriver at sannsynligheten for at en merket enhet blir trukket ikke er den samme i hver enkelt trekning. Populasjon N M enheter er merket Trekker et tilfeldig utvalg av n enheter Første trekning: P(trekker en merket enhet) = M/N Andre trekning: P(trekker en merket enhet) = M 1 N 1. M N + M N 1. 1 M N = M N o.s.v. Jfr. også regel 3.28 s. 117, og Haralds notat på emnesiden. 19