ÅMA 110 (TE 199) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2005, s. 1. Oppgave 1

Transkript

1 ÅMA 0 (TE 99) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 005, s. Oppgave a) P (X 0) P (0 X 40) P (bestå høyest 5 sp) P (X 5) Obs.: Det er ikke bra å bruke normaltilnærming her (når vi beregner sannsynligheter for én student). (Det samme gjelder i punkt b).) F.eks. får vi med feilaktig bruk av normaltilnærming: P (X 5) P (Z P (Z 0.87) 0.9. Riktig svar skal være 0., og det er stor forskjell mellom disse resultatene. b) P (X 40) ; Dvs. 55% (ca) av studentene produserer minst 40 sp; 55% av 50 er 7.5. c) E(X) E(X i ) µ X 5 SD(X) σ n 50 Obs.: Husk at SD(X) σ 507.4, mens SD(X) σ (Det var n 50 SD(X) som skulle finnes.) Tilnærmet er: X N (5,.4) Obs.: Normaltilnærmingen gjelder for gjennomsnittet!. P (X 7.5) P ( X ).4.4 P (Z.76) P (Z <.76) (Her er Z N (0, ).) d) Vi ønsker et tilnærmet 95 % prediksjonsintervall for X. Vi har at P (a X b) P ( a 5.4 Z b 5.4 ), og P ( z 0.05 Z z 0.05 ) Derfor vil vi få P (a X b) 0.95 dersom vi setter a 5 z og b 5 z Dette gir: a 5 z , og b 5 + z

2 ÅMA 0 (TE 99) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 005, s. e) Et (tilnærmet) 95 % konfidensintervall for µ Y er gitt ved: ) (Y z 0.05 S Y /, Y + z 0.05 /. Innsatt data: ( ) ( ) 8.96 /, / 5.4, f) 69 i(y i Y ). H 0 : µ Y 5 mot H : µ Y > 5 Teststørrelse: Z Y 5. Siden n er stor, er Z tilnærmet standardnormalfordelt S Y under H 0. Test: Forkast H 0 dersom Z z (Kritiske verdi:.645, og forkastningsområde: [.645, ).) Data: Observert verdi av Z: >.645 Dvs.: forkast H 0 ; det er grunn til å hevde at det virkelig har vært forbedring i studiepoengsproduksjon. g) Styrkefunksjonen gir oss sannsynligheten for å forkaste H 0 for ulike verdier av µ. Dvs γ(µ Y ) P (forkaste H 0 µ Y ) P ( Y 5 >.645 µ Y ) S P Y Y > Y Y µ P Y > 5 µ Y µ Y P Z > 5 µ Y γ(7.5) P Z > , der Z N (0, ) og vi bruker S Y P (Z > 0.) P (Z < 0.) 0.587

3 ÅMA 0 (TE 99) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 005, s. a) Vi har Oppgave. n 5 delforsøk; suksess: skoene riktig på, fiasko: skoene feil på.. Sannsynligheten for suksess er konstant lik p. Det kan være rimelig å anta uavhengighet mellom resultatene ulike dager. Da er Y antall suksesser i en binomisk forsøksrekke og er derfor binomisk fordelt med n 5 og suksessannsynlighet p. Ingen preferanse: p 0.5; forventning til Y er da E(Y ) np Y B(5, 0.5), P (Y 4) (fra tabell) b) Barnet foretrekker å ha skoene på feil fot vil si at barnet ser at det er forskjell på hvilken fot skoene er på, og at det faktisk vanligvis etterstreber å få skoene på feil fot. Det si at påstanden kan uttrykkes ved p < 0.5, siden p sannsynligheten for å ta skoene på riktig. Dersom barnet ikke skjønner forskjellen på om skoene er riktig på eller ei, vil det være 50/50 sjanse for at skoene blir tatt riktig på: p 0.5. Vi vil teste: H 0 : p 0.5 mot H : p < 0.5 Teststørrelse: Y. Små verdier/utfall av Y peker i retning av at H er riktig. Derfor: Test: Forkast H 0 dersom Y k, der k (kritisk verdi) er slik at testen får ønsket signifikansnivå (ca. 0.05). Sign.nivå. P (forkaste H 0 H 0 riktig) P (Y k p 0.5), dvs. sannsynligheten P (Y k) når Y B(5, 0.5). Fra binomisk tabell: y P (Y y)

4 ÅMA 0 (TE 99) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 005, s. 4 Dvs.: Test: Forkast H 0 dersom Y k 4. (sign.nivå er 0.059). Data: Y -utfall: 4 k, dvs. Forkast H 0. Det er grunnlag for å påstå at barnet foretrekker å ha skoene på feil fot. Obs.: Her det laget en test basert på eksakte binomiske sannsynligheter. Det gir ikke full score å lage en test basert på normaltilnærming. Under i punkt c), er det spesielt enkelt å beregne p-verdien basert på de tabellerte eksakte binomiske sannsynlighetene. c) p-verdien til et resultat er sannsynligheten beregnet under H 0 for å få det observerte resultatet eller et som i enda sterkere grad peker i retning av at H er riktig. I vår situasjon har vi: ) fått resultat 4, og ) verdier mindre 4 tyder i enda sterkere grad på at H er riktig. Derfor: p-verdi P (Y 4 p 0.5) (fra tabell). Siden p-verdien er større enn valgt signifikansnivå i testen (0.05) skal vi beholde H 0. Vi får altså strengt tatt motsatt konklusjon på testen når vi gjennomfører den vha. p-verdi. Grunnen til dette er at testen i punkt b) faktisk har signifikansivå større enn 0.05, nemlig Oppgave, ÅMA0 a) Metode : x + y Metode : (x + y) ( ).5. ( Var( µ ) Var X + ) ( ) Var(X) ( ) Var(Y Y + ) ( ) σ 0 + ( ) σ 5 9 ( σ 5) ( ) σ σ { ( ) } ( {Var(X) } Var( µ ) Var X + Y + Var(Y ) ) ( ) ( σ 0 + σ 5 ) 40 σ 9 0 σ Obs.: Dette er rett fram regning med reglene for varians. Mange har blandet inn verdiene av de to målegjennomsnittene,.7 og.87 i dette. Det er meningsløst! b) Begge estimatorene ( er ) forventningsrette: E( µ ) E X + Y E(X) + E(Y ) µ + µ µ { ) E( µ ) E ( } { } X + Y E(X) + E(Y ) (µ + µ) µ Den med minst varians er da den beste, dvs. µ (fra b) har vi at Var( µ ) < Var( µ )).

5 ÅMA 0 (TE 99) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 005, s. 5 Konfidensintervall for virkelig strekkstyrke, µ: Vi har at µ N (µ, 5 σ ) ( 8 σ 0.8. Et 90% konfidensintervall for µ basert på µ er gitt ved 0 5 ), og ( µ z , µ + z ). z ; da blir 90% konfidensintervallet: ( , ) (.06,.74) Oppgave, for TE99-versjon a) P (X Y 4) 0.07; P (X Y ) P (X Y 5) 0.0; P (X Y 5) b) Marginalfordelingene til X og Y : x P (X x) E(X).5; Var(X) E(Y ).94; Var(Y ) y 4 5 P (Y y) Cov(X, Y ) E(XY ) E(X)E(Y ) Corr(X, Y ) Cov(X, Y ) Var(X)Var(Y )