Sannsynlighet og statistikk S2 Oppgaver

Transkript

1 annsynlighet og statistikk 2 Oppgaver Innhold 3 tokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger 2 32 Forventningsverdi Varians tandardavvik 5 33 Normalfordelingen 9 34 entralgrensesetningen 35 Hypotesetesting 3 36 tandard normalfordeling 5 Øvingsoppgaver tein Aanensen og Olav Kristensen/NDLA Eksamensoppgavene er hentet fra wwwudirno

2 3 tokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger 3 a) Forklar, med dine egne ord, til en av dine medelever hva som menes med en stokastisk variabel b) Gi tre eksempler på stokastiske forsøk og hva som kan være en stokastisk variabel i hvert av eksemplene 32 Vi definerer den stokastiske variabelen X som antall mynt ved kast av to femkroner a) Hvilke verdier kan X ha i dette tilfellet? b) Finn sannsynlighetsfordelingen til den stokastiske variabelen X c) Finn P X d) Finn P X 0 e) Hvilken verdi skal summen av sannsynlighetene til en stokastisk variabel ha? 33 Vi definerer den stokastiske variabelen X som antall kron ved kast av tre femkroner Tabellen viser sannsynlighetsfordelingen for X a) Finn P X b) Finn P X P X x x c) Hvor stor sannsynlighet har du for å få mer enn kron ved kast av tre femkroner? 3 3 2

3 34 På en spesiell terning er det tre toere, én firer og fire seksere Terningen kastes en gang Vi lar X være antall øyne terningen viser a) Finn sannsynlighetsfordelingen til X b) Finn P X 4 c) Finn 6 P X 35 annsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel X er gitt ved x P X x 0,35 0,20 A 0,30 a) Finn verdien A b) Finn P X 2 36 I en krukke er det 5 røde kuler, 4 blå kuler, 5 gule kuler og 6 hvite kuler Vi trekker tilfeldig ut to kuler av krukken Lar Y være antall gule kuler ett opp sannsynlighetsfordelingen for Y 3

4 37 En flervalgsprøve består av tre oppgaver Hver oppgave er et spørsmål med fem svaralternativer og oppgaven skal løses ved å krysse av for et riktig svaralternativ Du er ikke forberedt, og alle svaralternativene virker like sannsynlige Vi regner med uavhengighet La X være antall riktige svar a) Forklar med dine egne ord hvilke krav det settes til en binomisk forsøksrekke? b) Hva er sannsynligheten for å svare riktig på hvert enkelt spørsmål? c) ett opp sannsynlighetsfordelingen for X d) Finn sannsynligheten for å svare riktig på mer enn ett spørsmål I første runde av Niels Henrik Abels matematikkonkurranse er det 20 spørsmål med 5 svaralternativer på hvert spørsmål La Y være antall riktige svar e) Hva blir sannsynligheten for å svare riktig på mer enn fem oppgaver dersom du krysser av helt tilfeldig? 3 Ole Einar er skiskytter Han har en sannsynlighet på 0 % for å treffe blink på hvert enkelt skudd La X være antall treff Ole Einar får på 0 skudd Vi forutsetter at de 0 skuddene utgjør en binomisk forsøksrekke a) kriv med dine ord hvilke betingelser som må være oppfylt i denne oppgaven for at dette skal være en binomisk situasjon b) Bestem P X x for x 0,,2,,9,0 c) Hva er sannsynligheten for at Ole Einar får 0 treff? Tarjei er en annen skiskytter Han har en treffprosent på 0,5 La Y være antall treff Tarjei får på 0 skudd d) Hva er sannsynligheten for at Tarjei treffer på 0 av 0 skudd når vi forutsetter at de 0 skuddene utgjør en binomisk forsøksrekke? 4

5 32 Forventningsverdi Varians tandardavvik 32 Vi definerer den stokastiske variabelen X som antall kron ved kast av tre tikroner Tabellen viser sannsynlighetsfordelingen for X P X x x 3 3 a) Regn ut forventningsverdien til X b) Hva forteller forventningsverdien oss? 322 En flervalgsprøve består av fem oppgaver Hver oppgave er et spørsmål med fem svaralternativer og oppgaven skal løses ved å krysse av for et riktig svaralternativ Du er ikke forberedt, og alle svaralternativene virker like sannsynlige Vi regner med uavhengighet La X være antall riktige svar annsynlighetsfordelingen til X er gitt ved k P X k 0,32 0,40 0,205 0,05 0,006 0,0003 a) Regn ut forventningsverdien til X b) Hvordan kunne du, ut fra oppgaveteksten, vite at forventningsverdien var,0? 323 La X være antall hummer du får i en tilfeldig hummerteine annsynlighetsfordeling for X er gitt i tabellen x P X x 0,55 0,30 0,0 0,04 0,0 Regn ut forventningsverdien, variansen og standardavviket til X 5

6 324 Overflaten til et tetraeder består av fire likesidede trekanter De ulike sidene er markert med henholdsvis, 2, 3 og 4 øyne Vi kaster to slike «terninger» La X være produktet av antall øyne på de to sidene som vender ned a) kriv av og fyll ut tabellen for å vise de mulige utfall X kan ha b) ett opp sannsynlighetsfordelingen til X kriv sannsynlighetene som brøker med samme nevner c) Vis at forventningsverdien E X d) Bestem P X 2 og P X annsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel X er gitt ved x P X x 0,40 a 0,20 0,0 a) Bestem a b) Finn standardavviket til X 6

7 326 Vi ønsker å lage et pengespill med utgangspunkt i kast med to mynter La X være antall kron ett opp en sannsynlighetsfordeling for X Finn E X og Var X 327 La X være en stokastisk variabel med E x 3 og Var X 2 La Y være en annen stokastisk variabel med E x Var X a) Regn ut E X Y b) Regn ut Var X Y 5 og 3 32 To maskiner A og B pakker lakrispastiller i esker Antall pastiller i esken varierer noe La X være antall pastiller i eskene til pakkemaskin A, og Y være antall pastiller i eskene til pakkemaskin B annsynlighetsfordelingene til X og Y er gitt nedenfor Maskin A : x P X x 0,0 0,25 0,50 0,0 0,05 Maskin B : y P Y y 0,0 0,5 0,6 0,5 0,02 a) Finn forventningsverdi og varians til X og Y b) Hvilken maskin produserer esker med minst spredning i antall pastiller? c) Finn E X Y 7

8 329 En flervalgsprøve består av tre oppgaver Hver oppgave er et spørsmål med fem svaralternativer og oppgaven skal løses ved å krysse av for et riktig svaralternativ Du er ikke forberedt, og alle svaralternativene virker like sannsynlige Vi regner med uavhengighet La X være antall riktige svar på 3 spørsmål X har følgende sannsynlighetsfordeling k P X k 0,52 0,34 0,096 0,00 a) Hva er sannsynligheten til å svare riktig på hvert enkelt spørsmål? b) Finn forventningsverdien til X ved å bruke formelen E X x P X x x P X x x P X x x P X x 2 2 n n i i i n c) Finn forventningsverdien til X ved å bruke formelen for forventningsverdi til en binomisk fordeling d) Finn standardavviket til X ved å bruke formelen for standardavviket til en binomisk fordeling e) Finn P X og forklar med egne ord hva du har funnet 320 En skiskytter har en sannsynlighet på 0 % for å treffe blink på hvert enkelt skudd La X være antall treff på 0 skudd Vi forutsetter at de 0 skuddene utgjør en binomisk forsøksrekke a) Finn forventningsverdi og standardavvik til X La Y være antall treff på 20 skudd Vi forutsetter at de 20 skuddene utgjør en binomisk forsøksrekke b) Finn forventningsverdi og standardavvik til Y

9 33 Normalfordelingen 33 Funksjonsuttrykket til normalfordelingsfunksjonen er gitt ved f x e 2 a) Tegn grafen til f når forventningsverdien og standardavviket er ) 0 og 7 x ) 50 og 7 3) 00 og 4 b) ammenlikn grafene du tegnet i a) og skriv med dine egne ord hva du finner c) Hvor stort er arealet under normalfordelingskurven? Forklar hva dette arealet beskriver 332 Gjennomsnittshøyden for voksne kvinner i Norge er 67 cm tandardavviket er på 6 cm La X være høyden til en tilfeldig valgt kvinne Vi antar at X er normalfordelt a) Hvor stor andel av norske kvinner har en høyde på 67 cm standardavvik? Finn svaret ved å bruke teorien b) Hva er sannsynligheten for at en norsk kvinne skal ha en høyde på mellom 6 cm og 73 cm? c) Tegn grafen til normalfordelingsfunksjonen når forventningsverdien er 67 cm og standardavviket er 6 cm d) Beregn sannsynligheten for at en norsk kvinne har en høyde som ligger i intervallet fra 6 cm til 73 cm ved å regne ut arealet under kurven i dette området e) Bruk samme framgangsmåte som i oppgave d) og beregn hvor stor andel av norske kvinner som har en høyde på 67 cm 2 standardavvik f) Hvor stor andel av norske kvinner er høyere enn 79 cm? 9

10 333 Gjennomsnittsvekten for nyfødte i Norge i 2009 var 347 gram tandardavviket var på 627 gram Vi antar at gjennomsnittsvekten er normalfordelt a) Hva vil det si at «vi antar at gjennomsnittsvekten er normalfordelt»? b) Hvor stor andel av de nyfødte veide 347 gram pluss standardavvik? c) Hvor stor andel av de nyfødte veide mellom 3000 gram og 3500 gram? d) Hvor stor andel av de nyfødte veide mer enn 5000? 334 Ved en skole løper elevene en 3 km lang løype Resultatet fra dette løpet er med i grunnlaget for karakteren i kroppsøving Vi lar den stokastiske variabelen X være tiden en gutt ved skolen bruker på løypen Videre antar vi at elevene ved skolen skal løpe 3 km Tiden X, som en elev bruker, viser seg å være normalfordelt med forventningsverdi på 00 sekunder og et standardavvik på 00 sekunder a) Finn hvor stor andel av guttene som klarer å løpe 3 km raskere enn 5 minutter For å oppnå karakteren 6 på denne øvelsen må eleven klare løypen på mindre enn 0 minutter b) Hvor stor andel av guttene klarer dette kravet? c) Finn hvor fort en gutt må løpe for å tilhøre gruppen av de 20 % raskeste guttene La forventningsverdien være midtpunkt i et intervall som skal fange inn tiden til en bestemt andel av guttene d) Finn det tidsintervallet med som midtpunkt som er slik at det fanger inn 50 % av guttene 0

11 34 entralgrensesetningen 34 La X være antall øyne ved kast av én terning Vi antar at X har forventningsverdien 3,5 og standardavviket,70 Videre lar vi være summen av antall øyne når vi kaster terningen 00 ganger X X2 X00 a) Finn forventningsverdien til Forklar hva du har funnet b) Finn standardavviket til c) Tegn normalfordelingskurven til og marker området, d) Finn P 30 og forklar hva du har funnet 342 vein dyrker moreller Vi lar X være vekten i gram til en tilfeldig valgt morell vein har funnet ut at X har forventningsverdien 0 med standardavviket,0 Vi lar være samlet vekt av 50 tilfeldig valgte moreller a) Finn forventningsverdien til Forklar hva du har funnet b) Finn standardavviket til c) Finn P 50 og forklar hva du har funnet d) Finn sannsynligheten for at vekten til de 50 morellene ligger mellom 490 gram og 50 gram e) Finn sannsynligheten for at vekten til de 50 morellene er mindre enn 490 gram f) Forklar hvordan du ved hjelp av svaret i oppgave c), kunne løse oppgave d) uten bruk av hjelpemidler og normalfordelingstabellen

12 343 Ved en landsomfattende matematikkeksamen var det 20 % stryk Vi ser på 200 tilfeldig utvalgte besvarelser La X være antall elever av de 200 som bestod eksamen a) Forklar at denne undersøkelsen oppfyller kravene til en binomisk forsøksrekke Vi kan bruke binomisk fordeling og finne sannsynligheten for at flere enn 70 av de 200 besvarelsene får ståkarakter annsynlighetskalkulatoren ved binomisk fordeling viser at sannsynligheten er 2, % for at 7 eller flere av de 200 besvarelsene får karakteren bestått Du skal nå bruke normaltilnærming for å finne denne sannsynligheten b) Bruk normaltilnærming og finn P X 70 c) Bruk normaltilnærming og finn P55 X 7 verdien binomisk fordeling gir jekk hvordan resultatet stemmer med den d) Bruk normaltilnærming og finn P X 60 jekk hvordan resultatet stemmer med den verdien binomisk fordeling gir 2

13 35 Hypotesetesting 35 Maren har 5 vanlige terninger som hun bruker til ulike spill Over en lengre tid har hun hatt en mistanke om at én eller flere av terningene gir sekser for ofte Hun vil undersøke dette nærmere ved å bruke hypotesetesting med et signifikansnivå på 5 % a) ett opp en nullhypotese H 0 og en alternativ hypotese H for situasjonen ovenfor Hver av terningene blir kastet 200 ganger La X være antall seksere i de 200 kastene Maren får følgende resultater Terning Antall seksere b) Vurder om hun kan karakterisere én eller flere av terningene som «jukseterning» Bruk binomisk sannsynlighetsfordeling c) Gjør utregningen i b) ved hjelp av normaltilnærming 352 Eksamen 2 våren 200 En grossist som selger jordbær, har over tid registrert at 0 % av jordbærkassene inneholder bær som er ødelagt En dag mottar grossisten 50 kasser Vi antar at 0 % av kassene inneholder bær som er ødelagt a) Hva er sannsynligheten for at akkurat 5 av kassene har ødelagte bær? b) Finn sannsynligheten for at minst 5 kasser inneholder ødelagte bær Grossisten får mistanke om at mer enn 0 % av kassene inneholder ødelagte bær For å undersøke forholdet nærmere kontrollerer han 90 kasser Ved denne kontrollen viser det seg at 5 av de 90 kassene inneholder bær som er ødelagt Vi lar p være sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kasse inneholder ødelagte bær c) ett opp en nullhypotese og en alternativ hypotese som passer til denne problemstillingen Forklar hvordan du har tenkt d) Undersøk om resultatet av kontrollen gir grunnlag for å si at kvaliteten på jordbærene har blitt dårligere Velg et signifikansnivå på 5 % 3

14 353 Eksamen 2 våren 2009 Ledelsen i et fylke ønsker å øke andelen seksere til eksamen Tidligere har i gjennomsnitt 4,3 % av eksamenskarakterene vært seksere Etter en omlegging av undervisningsmetodene viste en stikkprøve at 29 av 500 eksamensresultater var seksere Fylkesledelsen og elevorganisasjonen var uenige i om det gode resultatet skyldtes omleggingen av undervisningsmetodene, eller om det var en tilfeldighet Bruk dine kunnskaper i statistikk og sannsynlighetsregning, og undersøk spørsmålet nærmere Gjør rede for hvilke metoder du bruker, og hvilke forutsetninger du legger til grunn 4

15 36 tandard normalfordeling 36 Gjennomsnittshøyden for voksne kvinner i Norge er 67 cm tandardavviket er på 6 cm La X være høyden til en tilfeldig valgt kvinne Vi antar at X er normalfordelt Bruk tabellen i teorien som viser arealet til en standardisert normalfordeling og finn følgende a) annsynligheten for at en tilfeldig valgt kvinne er lavere enn 73 cm, altså P X 73 b) annsynligheten for at en tilfeldig valgt kvinne har en høyde på mellom 6 cm og 73 cm, altså P 6 X 73 c) annsynligheten for at en tilfeldig valgt kvinne er høyere enn 70 cm, altså P X La X være antall øyne ved kast av én terning Vi antar at X har forventningsverdien 3,5 og standardavviket,70 Videre lar vi være summen av antall øyne når vi kaster terningen 00 ganger X X2 X00 a) Finn forventningsverdien til Forklar hva du har funnet b) Finn standardavviket til c) Finn P 30 og forklar hva du har funnet 363 vein dyrker moreller Vi lar X være vekten i gram til en tilfeldig valgt morell vein har funnet ut at X har forventningsverdien 0 med standardavviket,0 Vi lar være samlet vekt av 50 tilfeldig valgte moreller a) Finn forventningsverdien til Forklar hva du har funnet b) Finn standardavviket til c) Finn P 50 og forklar hva du har funnet d) Finn sannsynligheten for at vekten til de 50 morellene ligger mellom 490 gram og 50 gram e) Finn sannsynligheten for at vekten til de 50 morellene er mindre enn 490 gram f) Forklar hvordan du ved hjelp av svaret i oppgave c), kunne løse oppgave d) uten bruk av hjelpemidler og normalfordelingstabellen 5