Oppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<. >>. Oppgave 1

Transkript

1 ECON 0 EKSAMEN 004 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 0 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<.. Oppgave En gitt prøve er laget som en flervalgsprøve ( multiple choice test ). Prøven består av tre spørsmål. For hvert spørsmål er det oppgitt fire svaralternativer hvorav kun ett er riktig, og studenten blir bedt om å angi det svaralternativet vedkommende mener er det riktige. Spørsmålene er uavhengige i den forstand at man ikke trenger å vite svaret på et av spørsmålene for å kunne svare riktig på et annet. a. En student som ikke vet svaret på noen av delspørsmålene bestemmer seg for å gjette helt vilkårlig. (i) Hva er sannsynligheten for at studenten gjetter riktig på et enkelt spørsmål? (ii) Hva er sannsynligheten for at studenten får riktig svar på alle de tre spørsmålene? (iii) Hva er sannsynligheten for at studenten gjetter galt på alle tre spørsmålene? Begrunn svarene dine. << P(riktig på et delspørsmål) = ¼ P(riktig på alle spørsmål) = = 4 64 P(galt på alle spørsmål) = (/4)^ b. (i) Hva er sannsynligheten for at en student gjetter riktig på kun ett eneste av de tre spørsmålene, og galt på de to andre spørsmålene? For å bestå prøven må en student ha svart riktig på minst to av de tre spørsmålene. (ii) Hva er sannsynligheten for å bestå prøven for en student som gjetter helt vilkårlig på svaralternativet for alle spørsmålene? [Hint: Du kan bygge på besvarelsen din i punkt a og b(i) for å svare på punkt b(ii)] << X = antall riktige, er binomisk fordelt (, ¼). ( ) PX ( = ) = = 0.4, PX ( ) = P(Bestå) = PX ( ) = 0.56 PX= ( 0) = = 0.4, c. Om en student vet vi at han gjettet helt vilkårlig på svaralternativet for alle spørsmålene. Vi vet også at han hadde minst ett riktig svar, men vi vet ikke om han hadde så mye som to eller tre riktige. Hva er sannsynligheten for at han besto prøven? 4

2 << PX ( X ) PX ( ) 0,56 PX ( X ) = = = = 0, 70 PX ( ) PX ( = 0) 0,578 d. (Mer krevende). En annen student klarer å eliminere to svaralternativer fra spørsmål som hun vet er gale. Hun gjetter så vilkårlig på et av de to gjenværende svaralternativene. For spørsmål klarer hun å eliminere ett svaralternativ og gjetter vilkårlig på et av de tre gjenværende. På spørsmål gjetter hun helt vilkårlig på et av de fire alternative svarene. Hva er sannsynligheten for at hun består prøven, dvs. svarer rett på to eller tre spørsmål? << La xyz, (der x,y,z er R (riktig) eller R (galt)), betegne utfallet for spm, og h.h.v. P(Bestå) er da summen av sannsynlighetene i tabellen: Utfall Sum Sannsynlighet = P (Bestå) = = 0, 9 4 Oppgave En skole benytter en prøve av samme type som beskrevet i oppgave for et av sine større kurs. Et semester var det n = 00 studenter som tok prøven. Resultatene er gitt i tabellen: Antall riktige svar Antall studenter 0 Sum a. Som beskrevet i oppgave kreves det minst riktige svar for å bestå prøven. La p være sannsynligheten for at en tilfeldig valgt student ikke består prøven. La Q være den samme sannsynligheten målt i prosent. Med andre ord: Q= 00 p. La X være antall studenter som ikke består prøven blant n = 00 studenter. Anta at X er binomisk fordelt. (i) Drøft kort hva du mener taler for og/eller imot en slik antakelse. (ii) Sett opp en

3 forventningsrett estimator for Q, og forklar hvorfor den er forventningsrett. (iii) Beregn estimatet for Q ut fra tallene i innledningen, og anslå også standardavviket for estimatet. << Det burde holde om kandidatene viser til de binomiske forutsetningene og det at sannsynligheten refererer til en tilfeldig valgt student som burde utviske de individuelle forskjellene i sannsynlighet for å bestå prøven. p vil da representere en gjennomsnittssannsynlighet. De har naturligvis ikke forutsetninger for å kunne komme opp med innvendingen om uobservert heterogenitet som her vil føre til at det binomiske standardavviket vil overestimere standardavviket litt (som følge av Jensens ulikhet), men bør få et pluss om de antyder intuitivt at de individuelle forskjellene kan være et problem. Q ˆ = 00 X / n er forventningsrett ( E( Qˆ ) = 00( np) / n = 00 p = Q ) Estimat: Q ˆ = 00 6 / 00 = % Estimert standardavvik i estimatet: 00 ((X/n) (-(X/n)/n)^(/)=.4% b. Skolen ønsker at kurset med prøve skal være slik at sannsynligheten for ikke å bestå prøven ikke bør overstige 0%. (i) Tyder tallene i innledningen på at sannsynligheten for ikke å bestå for en tilfeldig valgt student er over 0% for det aktuelle semesteret? Velg som hypotesepar H 0 : p 0,0 og H : p > 0,0 og sett opp en passende testobservator. Beregn både kritisk verdi og P-verdien (signifikanssannsynligheten) for testen din. Gjennomfør testen med signifikansnivå 5%. (ii) Formuler en konklusjon med begrunnelse i testresultatet. << Tallene tyder på det: 6/00 > 0.. Men i lys av tilfeldig variasjon/usikkerhet bør vi utføre en test. H0 : p 0,0 mot H: p > 0,0 pˆ 0, Testobservator: Z = der pˆ = X / 00 (0,)(0,9) / 00 0, 0, Observert: Z obs = =, 4 (0,)(0,9) / 00 P-verdi: Pp = 0, ( Z >,4) = 0,079 (7,9%). 5% kritisk verdi:,64. 5% nivå gir ikke-forkastning. I.e. ikke tilstrekkelig evidens i data for å påstå p > 0,. Oppgave a. Anta at Z er standard normalfordelt: Z ~ N (0, ). (i) Forklar hvorfor PZ< ( 0) =. (ii) Finn kvartilene i N(0, ).

4 4 << N(0, ) symmetrisk om null gir median lik 0. Nedre og øvre kvartil finnes av normalfordelingstabellen til -0,67 og 0,67 h.h.v. b. Anta at X ~ N ( µσ, ). (i) Skriv medianen til X som M. Bruk medianens definisjon P(X < M) = ½ for å vise at medianen til X er lik forventningen, µ, til X. X µ [Hint: Ta utgangspunkt i at ~ N(0, ) ] σ La Q, Q betegne nedre og øvre kvartil i fordelingen N ( µσ, ). (ii) Hva er sannsynlighetene P(Q <X< Q ) og P(X> Q )? (iii) Vis at Q = µ 0,67σ (der tallet 0,67 er bestemt med to desimalers nøyaktighet). (iv) Finn også Q og vis at kvartilbredden er Q Q =, 4σ. << X µ PX ( < µ ) = P < 0 = σ X µ PX ( < Q ) = P < 0,67 = 0, 5 σ X µ P < 0,67 = 0,75 gir Q = µ + 0, 67σ og σ Q Q =, 4σ Alternativt kan de finne Q ved et symmetri argument som er like bra. c. Vi er interessert i gjennomsnittshøyden for norske kvinner ( µ ), som vi antar er ukjent. På en forelesning i statistikk ved Økonomisk institutt i 999 var det kvinnlige studenter til stede som alle oppga sin høyde. La x i betegne høyden i cm for kvinne nr. i der i =,,,. Resultatet er gitt i tabellen: i x i Til hjelp under regningen nedenfor oppgis xi = 0, xi = i= i= Som vanlig for høydemålinger antar vi at tallene er observasjoner av stokastiske variable X, X,, X som antas å være uavhengige og normalfordelte, N ( µσ, ), der µ og σ er ukjente. (i) Beregn et 90% konfidensintervall for µ. (ii) Har du noen kritiske kommentarer til å anslå gjennomsnittshøyden for norske kvinner på denne måten? Det lille utvalget vårt kan ses på som en pilotstudie dvs. som en innledning til en større undersøkelse. (iii) I sistnevnte store undersøkelse ønsker vi et 90% konfidensintervall for µ med en lengde som ikke overstiger cm. Hvor mange

5 5 observasjoner (omtrent) trenges for å oppnå dette? Du kan anta her at σ er kjent, og at dens verdi er lik estimatet du fant i pilotstudien. << Utvalget er åpenbart ikke representativt for den norske kvinnebefolkningen når det gjelder alder. Siden vi vet at gjennomsnittshøyden har endret seg over tid, kan dette skape en viss skjevhet (antakelig ikke så mye ). X = 69, 46 S = (7675 (69, 46) ) = 9,84 S = 5, 46 90% konfidensintervall: X ± t0,05, S/ = 69, 46 ±, 78 S/ = 69, 46 ±, 70 = (66, 77, 7,6) (, 64) σ For stor n er lengden: L= n (, 8 σ ) som estimeres ved n n (, 8 S) = 0,97 d. La N betegne antall observasjoner som trengs for oppnå et 90% konfidensintervall for µ med lengde høyst cm. N avhenger av den ukjente parameteren σ, og må derfor anses som ukjent. Hvor usikkert er anslaget for N du beregnet i punkt c? Besvar dette spørsmålet ved å beregne et 95% konfidensintervall for N basert på dataene i punkt c. [ Hint: Beregn først et 95% konfidensintervall for σ.] << N = (, 8 σ) = 0, 7584σ. Vi trenger følgende kvantiler i Kji-kvadratfordelingen (): z = z0,975, = 4, 40, z = z0,05, =,4 som gir følgende 95% KI for σ : S S (9,845) (9,845), =, (5,9, 8,668) z z =,4 4, 40 Overført på N = 0, 7584σ får vi intervallet ( 65, 876). Det er ikke spurt om det her, men det er klart det ville være et pluss om kandidaten peker på at vi kan multiplisere intervallgrensene for σ med 0,7584 uten at konfidensgraden for intervallet for N blir berørt.