sannsynlighet for hendelse = antall ganger hendelsen inntreffer antall forsøk

Transkript

1 Forrige forelesning oppsummert på 90 sekunder "stokastisk forsøk": myntkast, terningkast, trekking av kort,... utfallsrom: alle de mulige utfallene av et stokastisk forsøk eksempel på utfallsrom: kaster ærlig mynt 2 ganger: {MM, MK, KM, KK} kaster vanlig terning én gang: {1, 2, 3, 4, 5, 6} sannsynligheten til en hendelse er definert som sannsynlighet for hendelse = antall ganger hendelsen inntreffer antall forsøk dersom vi har uniform sannsynlighetsmodell (alle utfall like sannsynlige), kan sannsynlighet defineres slik: sannsynlighet for en hendelse = antall gunstige utfall for hendelsen antall mulige utfall Venn diagram: visualiserer hendelser i et utfallsrom regneregler for sannsynlighet generell addisjonssetning: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) A B komplementestningen: P(A) = 1 P(A) A aug

2 2.4: Kombinatorikk og utvalgsmodeller antall måter å "trekke"/ordne elementer fra en mengde multiplikasjonssetningen uordnet/ordnet utvalg, med/uten tilbakelegging Multiplikasjonssetningen aug

3 Quiz app.one2act.no Du har følgende sett med klær: Koch Sokker AS 3 par sokker 2 gensere 2 bukser Hvor mange forskjellige måter kan man kle seg på? Ser bort fra at man kan "blande" sokker man kan kun velge mellom 3 par sokker. A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E. 10 F. 11 G. 12 aug 25 11:09 3

4 Quiz app.one2act.no Du har følgende sett med klær: Koch Sokker AS 3 par sokker 2 gensere 2 bukser Hvor mange forskjellige måter kan man kle seg på? Svar: har sokkerpar S1, S2 og S3 gensere G1 og G2, og bukser B1 og B2. Kan tegne følgende tre: S1 B2 B1 G1 S2 G2 G1 S3 4 muligheter per sokkepar ganger 3 par G2 aug

5 aug

6 Utvalgsmodeller aug

7 1) Ordnet utvalg med tilbakelegging "ordnet" = rekkefølgen vi trekker elementer i, har betydning "tilbakelegging" = legger tilbake elementene mellom hver trekning aug

8 2) Ordnet utvalg uten tilbakelegging aug

9 aug

10 3) Uordnet utvalg uten tilbakelegging "uordnet" = rekkefølgen vi trekker elementer i, har ikke betydning aug

11 Kombinatorikk på kalkulator (ordnet og uordnet utvalg uten tilbakelegging) Trekker ut s av N elementer N elementer totalt a) Ordnet utvalg uten tilbakelegging N N 1 N 2 N s + 1 s "plasser" antall trekninger = N(N 1)(N 2)...(N s+1) Eksempel: trekker 5 av 10 elementer, og skal finne antall måter å trekke på når rekkefølgen har betydning (ordnet utvalg). På kalkulator: funksjonen heter npr (P = "permutasjon") Casio Texas OPTN > F6 > PROB > npr 10 npr b) Uordnet utvalg uten tilbakelegging antall trekninger = N s Eksempel: trekker 5 av 10 elementer, og skal finne antall måter å trekke på når rekkefølgen ikke har betydning (uordnet utvalg). På kalkulator: funksjonen heter ncr (C = "combinations") Casio Texas OPTN > F6 > PROB > ncr 10 ncr aug 24 13:15 11

12 Quiz En referansegruppe skal settes sammen på følgende måte: Elektro: hovedrepresentant + vara, 145 studenter Fornybar: hovedrepresentant + vara, 44 studenter På hvor mange forskjellige måter kan en slik referansegruppe settes sammen på? A. 378 B C D E. ca. 1, aug

13 Kommentar (jf. diskusjon i timen): blir dette virkelig riktig bedriver vi ikke en viss "overtelling" her, dvs. kan vi være sikre på at alle utvalgene er forskjellige? La oss se på situasjonen med langt mindre klasser: 3 elektrostudenter og 2 fornybarstudenter. Ut i fra regnestrykket i sted, skulle det altså være Totalt: 3 x 2 x 2 = 12 Elektro hoved Elektro vara Fornybar hoved Fornybar vara La elektrostudentene hete E1, E2 og E3, mens fornybarstudentene er F1 og F2. Det er 6 måter å ordne elektrostudentene på, og for hver av disse er det 2 måter å ordne fornybarstudentene på. Skriver opp mulighetene for å sette sammen refereransegruppa for kompletthetens skyld: Elektro hoved Elektro vara Fornybar hoved Fornybar vara E1 E2 F1 F2 E1 E2 F2 F1 E1 E3 F1 F2 E1 E3 F2 F1 E2 E1 F1 F2 E2 E1 F2 F1 E2 E3 F1 F2 E2 E3 F2 F1 E3 E1 F1 F2 E3 E1 F2 F1 E3 E2 F1 F2 E3 E2 F2 F1 Ingen av disse gruppene er like, så det er altså 12 forskjellige måter å sette sammen referansegruppene på. Vi gjorde altså riktig. aug

14 Eksempel En vinnerrekke i Lotto trekkes ved ta 7 av de 34 kulene trekkes i fra Lottomaskina uten tilbakelegging. I Lotto spiller rekkefølgen som tallene trekkes i, ingen rolle. For å få en vinnerrekke, må man ha 7 riktige tall. Hvor mange forskjellige Lottorekker finnes det? aug 28 22:54 14

15 Eksempel (svært like oppgave 4 på hjemmeregning 2) Linjeforeninga MiT har den utakknemmelige oppgaven å fordele 15 bokskap mellom sine 25 medlemmer. Hvor mange måter kan bokskapene fordeles dersom a) Det ikke har betydning hvem som har hvilket bokskap (dvs. den eneste forskjellen på utvalgene er hvem som får bokskap) b) Det har betydning hvem som har hvilket skap (for hvem vil vel ha det herpa skapet der låsen ikke virker)? aug 28 21:18 15