TMA4240 Statistikk H2010

Transkript

1 TMA4240 Statistikk H : Addisjonsregler (union) 2.6: Betinget sannsynlighet 2.7: Multiplikasjonsregler (snitt) 2.8: Bayes regel (starte litt) Mette Langaas Foreleses mandag 30. august Kapittel 2: Sannsynlighet Hva har vi lært til nå? 2.2 Hvordan lage sammensatte hendelser med komplement, snitt og union. 2.3 Hvordan telle opp antallet mulige utfall for en hendelse og i et utfallsom. Ordnet: bilskilt, n 1 n 2 n r. Ordnet, med tilbakelegging: tippekupongen, n r Ordnet, uten tilbakelegging: ref.grp.medlemmer, npr = n!/(n r)! Uordnet, uten tilbakelegging: lotto, ncr = ( ) n r (binomialkoeffisient), dugnad på Abakuskjelleren, n!/(n 1!n 2! n r!) (multinomisk koeffisient). 2.4 Sannsynlighet i uniforme utfallsrom som antall gunstige delt på antall mulige.

2 3 Addisjonssetninger [2.5] Fortsettelse: kast to terninger Første terning ,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 Andre 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 terning 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 Følgende hendelser er definert: A: samme antall øyne for begge terninger B: sum antall øyne 10 C: minst en sekser 4 Sannsynlighet for union Første terning ,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 Andre 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 terning 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 Finn sannsynligheten for: A B : samme antall øyne og/eller sum 10. A B C : samme antall øyne og/eller sum 10 og/eller minst en sekser.

3 5 Addisjonssetningen TEO 2.11: Hvis A, B og C er tre hendelser, så er P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) 6 Disjunkte hendelser TEO 2.10: Hvis A og B er to hendelser, så er P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Korrolar 1: Hvis A og B er disjunkte er P(A B) = P(A) + P(B) Korrolar 2: Hvis A 1, A 2, A 3,..., A n er disjunkte hendelser, så er P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + + P(A n )

4 7 Partisjon av utfallsrommet Korrolar 3: Hvis A 1, A 2, A 3,..., A n er en partisjon av utfallsrommet S, da er P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 )+P(A 2 )+ +P(A n ) = P(S) = 1 TEO 2.12: Hvis A og A er komplementære hendelser, så er P(A) + P(A ) = 1 8 Eksamen 5.august 2004, 2a Vi ser på dødsfall om natten ved sykehjemmet Aftensol. Ved sykehjemmet er det tre sykepleiere i rene nattevaktstillinger, Anne, Bernt og Cecilie. Hver natt er en av dem på vakt gjennom hele natten, og det er da ingen andre ansatte tilstede ved hjemmet. Anne jobber i 100% nattevaktstilling, mens Bernt og Cecilie jobber i 50% nattevaktstillinger. Vi ser på en tilfeldig valgt natt og definerer følgende hendelser: A = Anne er på vakt, B = Bernt er på vakt, C = Cecilie er på vakt, D = det skjer et dødsfall. 1. Tegn de 4 hendelsene definert på forrige side i et venndiagram. 2. Hva er sannsynlighetene P(A), P(B) og P(C)?

5 9 Betinget sannsynlighet [2.6] DEF 2.9: Den betingede sannsynligheten for B, gitt A, skrives P(B A), og er definert som P(B A) = P(A B) P(A) hvis P(A) > 0 TEO 2.13: Hvis både hendelsene A og B kan inntreffe i et eksperiment, så er P(A B) = P(A) P(B A) 10 Biltilsynet: utslipp fra bil Biltilsynet har satt tall på følgende hendelser: E: overstige hydrokarbongrensen, P(E)=0.32 F: overstige karbonoksydgrensen, P(F)=0.4 E F: overstige både hydrokarbon- og karbonoksydgrensen, P(E F)=0.18 Velg ut en tilfeldig bil i Norge, og register utslipp Hva er sannsynligheten for at bilen du undersøker overskrider karbonoksydgrensen, gitt at du allerede vet at den overskrider hydrokarbongrensen? Hva er sannsynligheten for at bilen du undersøker overskrider hydrokarbongrensen, gitt at du allerede vet at den overskrider karbonoksydgrensen?

6 11 Uavhengige hendelser DEF 2.10: To hendelser A og B er uavhengige hvis og bare hvis P(B A) = P(B) eller P(A B) = P(A) Ellers, så er A og B avhengige hendelser. TEO 2.14: To hendelser A og B er uavhengige hvis og bare hvis P(A B) = P(A) P(B) 12 Venndiagram for uavhengige hendelser Hendelsen A: høyde a og lengde l, P(A) = a l. Hendelsen B: høyde h og lengde b, P(B) = h b. Hendelsen A B: høyde a og lengde b, P(A B) = a b. Ved uavhengighet er P(A B) = P(A) P(B), og vi har P(A) P(B) = a l h b = a b.

7 13 Multihendelser TEO 2.15: Hvis hendelsene A 1, A 2,..., A k kan inntreffe i et eksperiment, så er P(A 1 A 2 A k ) = P(A 1 ) P(A 2 A 1 ) P(A 3 A 1 A 2 ) P(A k A 1 A 2 A k 1 ) Hvis hendelsene A 1, A 2,..., A k er uavhengige, så er P(A 1 A 2 A k ) = P(A 1 ) P(A 2 ) P(A 3 ) P(A k ) 14 Chevalier de Méré Chevalier de Méré (egentlig Antoine Gombaud) var en fransk forfatter som levde på begynnelsen av 1600-taller. Han var også veldig opptatt av spill - men på den tiden var ikke regneregeler for sannsynlighet oppfunnet. Det var spesielt to spill han spilte penger på 1. minst en sekser på fire kast med en terning, og 2. minst en dobbel-sekser på 24 kast med to terninger. de Méré mente (fra empiriske data) at 1) var større enn 2). Hvordan kunne han vite det? Vi kan nå nok regler fra sannsynlighet til å regne på dette!

8 15 Chevalier de Méré Løsning: 1. P(minst en sekser på fire kast med en terning)=1 ( 5 6 )4 = P(minst en dobbelt-sekser på 24 kast)=1-( )24 = de Méré er mest kjent for sitt bidrag til at sannsynlighetsregningens teorigrunnlag ble lagt. Han fikk Blaise Pascal og Pierre de Fermat til å løse et problem som gikk ut på å finne en regel for rettferdig deling av innsats i et spill hvis spillet ble avbrutt. Les mer om de Méré i Cartoon Guide to Statistics. 16 Idrettsutøvere Idrettsutøvere kan deles inn i tre kategorier: De som doper seg nå (2%) De som har dopet seg tidligere (14 %) De som aldri har dopet seg (84 %) La sannsynligheten for positiv dopingtest for de tre gruppene være hhv. 80 %, 6 % og 3 %. a) Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt idrettsutøver gir positiv test? b) Hva er sannsynligheten for at en idrettsutøver som avlegger positiv dopingtest, virkelig er dopet?