Kapittel 2: Sannsynlighet

Transkript

1 Kapittel 2: Sannsynlighet Definisjoner: Noen grunnleggende begrep. Stokastisk forsøk: Et forsøk/eksperiment der det er tilfeldig hva utfall blir. Utfallsrom, : Mengden av alle mulige utfall av et stokastisk forsøk. Enkeltutfall, u: Et element i. Eksempler: Kast med terning: ={,2,3,4,5,6}. Eksempel på enkeltutfall: {3} Verdi på aksje: ={k k0}. Eksempel på enkeltutfall: k= Tilfeldig persons mening om EU: ={for, mot, vet ikke} Definisjon: Hendelse/begivenhet, : En delmengde av utfallsrommet,. Eksempel: Terningkast: ={,2} ksjekurs: ={k 98k03.5} En hendelse inntreffer dersom det stokastiske forsøket resulterer i et enkeltutfall inneholdt i. For eksempel inntreffer hendelse i terningkasteksemplet dersom utfallet av kastet blir en ener eller toer.

2 Operasjoner på hendelser. Operasjoner på hendelser kan illustreres med såkalte Venn-diagram: Snitt: =både og inntreffer samtidig : Union: =enten eller eller begge inntreffer lt innenfor firkanten illustrerer hele utfallsrommet. Sirklene og illustrerer to ulike hendelser i dette utfallsrommet. Sidene sirklene og delvis overlapper har de to hendelsene noen enkeltutfall felles.

3 Komplement: C = inntreffer ikke Disjunkt (ingen felles elementer/gjensidig utelukkende): = Ø = og inntreffer ikke samtidig Eksempler: Sammensatte operasjoner Delmengde: =hendelsen er innehold i hendelsen C : () C :

4 Eksempler: Terningkast: ={,2,3,4,5,6}, ={,2,3}, ={2,4,6}, C={,3} ={2}, C=Ø ={,2,3,4,6} C ={4,5,6} C Sannsynlighet Skrivemåte: P() = sannsynligheten for hendelse Hva er sannsynlighet? Det finnes flere fortolkninger, to vanlige er: Relativ frekvens: ndel ganger hendelse inntreffer i det lange løp. F.eks. terningkast, ={5,6}. P() er da andel ganger vi får 5 eller 6 i løpet av mange terningkast. Trekker fra kortstokk: = rødt kort, = bildekort i ruter, C= ess : C Subjektiv sannsynlighet: Din vurdering av sannsynligheten for at inntreffer. F.eks. fotball, = Viking vinner neste kamp. Dersom noen hevder at P()=0.6 betyr det at han tror det er 60% sannsynlighet for at Viking vinner (og er villig til å vedde inntil 60 kroner på dette dersom han får 00 kroner tilbake ved Viking-seier).

5 Definisjon: Sannsynlighet. 0 P() 2. P() P(u u2 u ) P(u na i 3. P() = Merk: Her har vi slått sammen definisjonene på side 45 og 46 i boka. n a i ) Eksempler: Terningkast: ={,2,3,4,5,6}, alle utfall er like sannsynlige, dvs uniform sannsynlighetsmodell. ={5,6}. ) P(u i Eller : 6, P( ) P() P(5) P(6) Viktig spesialtilfelle: Uniforme sannsynlighetsmodeller: La ={u,u 2,,u n }. Dersom alle enkeltutfall er like sannsynlige, dvs P(u )=P(u 2 )= =P(u n ) har vi en uniform sannsynlighetsmodell. Da er: P(ui), i,...n n antall enkeltufall i P() antall enkeltutfall i n a n Lotto: ntall kombinasjoner av 7 vinnertall i Lotto er nta at du tipper på 0 ulike kombinasjoner. La = du får 7 rette. Hva er P()? P()

6 Regning med sannsynligheter Komplementregelen: P( C )=-P() ddisjonsregelen: P()=P()+P()-P() Eksempel: Trekker et kort tilfeldig fra en kortstokk. = trekker en ess, C = trekker ikke en ess. P() Dersom og ikke har noen felles elementer, =Ø, får vi spesialtilfellet: P()=P()+P() P( C ) P()

7 Eksempel: Et entreprenørfirma deltar i konkurransen om to kommunale byggeoppdrag, bygging av ny skole og bygging av eldreboliger. La S= firmaet får oppdraget med å bygge skolen og la E= firmaet får oppdraget med å bygge eldreboligene. Eksempel: Kaster to terninger. Hva er sannsynligheten for minst en sekser? Firmaet anslår at sannsynligheten for at de får oppdraget med skolen er 0.6, sannsynligheten for oppdraget med eldreboligene er 0.5 og sannsynligheten for begge oppdragene er 0.4. Hva er sannsynligheten for at de får minst ett av oppdragene? Hva er sannsynligheten for at de får ingen av oppdragene?

8 Oppsummering Utfallsrom, : lle mulige utfall av et stokastisk forsøk. Hendelse/begivenhet, : En delmengde av utfallsrommet,. Venn-diagram. Snitt, union, komplement. Sannsynlighet. 0 P() 2. P() P(u u 2 u n ) P(u a i 3. P() = Ved uniform sannsynlighetsmodell: P() Komplementregelen: P( C )=-P() ddisjonsregelen: P()=P()+P()-P() n a i )