Quiz, 4 Kombinatorikk og sannsynlighet

Transkript

1 Quiz, 4 Kombinatorikk og sannsynlighet Innhold 4.1 Begreper i sannsynlighetsregning Addisjon av sannsynligheter Produktsetningen for sannsynlighet Kombinatorikk og sannsynlighetsberegning Hypergeometrisk sannsynlighetsmodell Binomisk sannsynlighetsmodell Grete Larsen 1

2 4.1 Begreper i sannsynlighetsregning 1) Vi kaster en tikrone 60 ganger. Vi får 25 kron og 35 mynt. Da er relativ frekvens for kron ) Når vi kaster en vanlig terning, er utfallsrommet 1 U U,,,,, U 1,2,3,4,5,6 3) Dersom vi gjentar et forsøk mange nok ganger, vil den relative frekvensen for et utfall nærme seg ett bestemt tall. Dette tallet sier vi er sannsynligheten for utfallet. Riktig Galt 4) Sannsynligheten for hvert enkelt utfall i et forsøk er et tall mellom 0 og 1 (0 % og 0 %) Riktig Galt 2

3 5) Sannsynligheten for alle utfallene er til sammen mindre enn 1 (0 %) Riktig Galt 6) En sannsynlighetsmodell der alle utfallene har lik sannsynlighet kalles en uniform sannsynlighetsmodell. Riktig Galt 7) Dersom vi gjentar et forsøk mange nok ganger, vil den relative frekvensen nærme seg 1. Riktig Galt 8) En sannsynlighetsmodell viser sannsynligheten for hvert av de mulige utfallene i et forsøk. Riktig Galt 9) Tabellen viser sannsynligheten for de ulike blodtypene i den norske befolkningen. Blodtype 0 A B AB Sannsynlighet 0,40 0,48 0,08 Hva er sannsynligheten for blodtype AB? 0 0,04 0,08 3

4 ) Kast med en vanlig terning gir en uniform sannsynlighetsmodell fordi Det er 6 mulige utfall Alle utfallene har lik sannsynlighet Den relative frekvensen er lik 1 11) Vi kaster en vanlig terning 0 ganger og får 20 seksere. Den relative frekvensen for sekser er da ) Vi kaster en tegnestift og undersøker hvor mange ganger tegnestiften lander med spissen opp og hvor mange ganger tegnestiften lander med spissen ned. Utfallsrommet kan vi da skrive som U 2 U 1 U 2 Spiss opp, Spiss ned 13) Utfallsrommet viser sannsynligheten til hvert av de mulige utfallene i et forsøk. Riktig Galt 4

5 14) Stian har kastet en tikrone og satt opp en tabell for å vise fordelingen mellom kron og mynt. Pappa har sølt kaffe på arket, derfor er to av tallene i tabellen blitt borte. Se nedenfor. Mynt Kron Antall utfall 36 Relativ frekvens 0,40 Hvor mange ganger kastet Stian tikronen? ) Stian har kastet en tikrone og satt opp en tabell for å vise fordelingen mellom kron og mynt. Pappa har sølt kaffe på arket, derfor er to av tallene i tabellen blitt borte. Se nedenfor. Mynt Kron Antall utfall 36 Relativ frekvens 0,40 Hvor mange kron fikk Stian?

6 4.2 Addisjon av sannsynligheter 1) Sannsynligheten for en hendelse A i en uniform sannsynlighetsmodell er gitt ved PA ( ) g m antall gunstige utfall fo r A antall mulige utfall Riktig Galt 2) En hendelse er det samme som et utfall. Riktig Galt 3) En hendelse omfatter ett eller flere utfall. Riktig Galt 4) Hvis alle utfall i et forsøk er like sannsynlige, har vi en uniform sannsynlighetsmodell. Riktig Galt 5) PA B betyr Sannsynligheten for A union B Sannsynligheten for A snitt B Sannsynligheten for at A er lik B 6) Snittet av mengdene A og B skriver vi A B A B AB 6

7 7) AB Består av de utfallene som er med i hendelse A eller i hendelse B Består av de utfallene som er med både i hendelse A og i hendelse B Består av de utfallene som verken er med i hendelse A eller i hendelse B 8) A B Består av de utfallene som er med i hendelse A eller i hendelse B Består av de utfallene som er med både i hendelse A og i hendelse B Består av de utfallene som verken er med i hendelse A eller i hendelse B 9) Nedenfor har tre elever skrevet ned det de mener er Addisjonssetningen for sannsynligheter. Hvilket alternativ er riktig? PAB PA PB PAB PAPBPAB PAB PAPBPAB ) U = 25 Fotball 4 Svømming 6 5 De 25 elevene i klasse 4B er aktive på fritiden. Læreren deres har talt opp hvor mange i klassen som spiller fotball og hvor mange som går på svømmetrening. Resultatene ser du i venndiagrammet ovenfor. Hvor mange elever spiller fotball?

8 11) U = 25 Fotball 4 Svømming 6 5 De 25 elevene i klasse 4B er aktive på fritiden. Læreren deres har talt opp hvor mange i klassen som spiller fotball og hvor mange som går på svømmetrening. Resultatene ser du i venndiagrammet ovenfor. Hvor mange elever spiller fotball og går på svømmetrening?

9 12) U = 25 Fotball 4 Svømming 6 5 De 25 elevene i klasse 4B er aktive på fritiden. Læreren deres har talt opp hvor mange i klassen som spiller fotball og hvor mange som går på svømmetrening. Resultatene ser du i venndiagrammet ovenfor. Vi trekker en tilfeldig elev fra klassen. Hvor stor er sannsynligheten for at denne eleven verken spiller fotball eller går på svømmetrening?

10 13) I klasse 1A er det 30 elever. Elevene har valgt fag for neste skoleår. Det viser seg at 15 elever har valgt matematikk R1 og har valgt kjemi. 12 av elevene har verken valgt R1 eller kjemi. Hvilket venndiagram illustrerer denne situasjonen? U = 30 Matematikk R1 15 Kjemi 12 U = 30 Matematikk R1 8 7 Kjemi 3 12 U = 30 Matematikk R Kjemi

11 14) Gitt to mengder A 2,4,6,8, og B 6,7,8,9, AB 2,4 6,8, 2,4,6,7,8,9, 15) Gitt to mengder A 2,4,6,8, og B 6,7,8,9, AB 2,4 6,8, 2,4,6,7,8,9, 11

12 4.3 Produktsetningen for sannsynlighet 1) At to hendelser er uavhengige betyr at utfallet av andre forsøk ikke blir påvirket av utfallet av første forsøk. Riktig Galt 2) Tre elever har skrevet ned det de mener er Produktsetningen ved uavhengige hendelser. Hvilket alternativ er riktig? PAB PAPBPAB PAB PAPB PAB PAPB 3) Tre elever har skrevet ned det de mener er Produktsetningen ved avhengige hendelser. Hvilket alternativ er riktig? PAB PAPBPAB P A B P A P B A PAB PAPB 4) Hvis A og B er to uavhengige hendelser, så er alltid PB PA PB P B A P B A P A 12

13 5) I en krukke ligger det 5 blå og 4 røde kuler. Du skal trekke to kuler fra krukka. Når du har trukket en kule, legger du ikke denne tilbake før du trekker neste kule. Sannsynligheten for å trekke to blå kuler er ) I en krukke ligger det 5 blå og 4 røde kuler. Du skal trekke to kuler fra krukka. Når du har trukket en kule, legger du ikke denne tilbake før du trekker neste kule. Sannsynligheten for at du først trekker en blå og så en rød kule er like stor som sannsynligheten for at du først trekker en rød og så en blå. Riktig Galt 13

14 7) Ledelsen ved en skole har undersøkt hvor mange av elevene som spiser frokost hver dag. Resultatene er presentert i tabellen nedenfor. Vi definerer to hendelser. J: Eleven er en jente F: Eleven spiser frokost hver dag P( F J) ) Ledelsen ved en skole har undersøkt hvor mange av elevene som spiser frokost hver dag. Resultatene er presentert i tabellen nedenfor. Jenter Gutter Sum Spiser frokost Spiser ikke frokost Sum Vi definerer to hendelser. J: Eleven er en jente F: Eleven spiser frokost hver dag P( F J)

15 9) Når to hendelser ikke kan bli oppfylt samtidig, sier vi at hendelsene er Uavhengige Disjunkte Umulige ) Addisjonssetningen for disjunkte hendelser kan vi skrive slik PAB PAPB PAB PAPB PAB PAPB P( AB) 11) Når to hendelser A og B er disjunkte, er P( AB) 0 0,5 1 12) På en skole er det gjort en undersøkelse for å finne ut hvor mange elever som driver med en eller annen idrett på fritiden. Vi definerer to hendelser. G: Eleven er en gutt I: Eleven driver med en eller annen idrett P G I kan vi da lese som Sannsynligheten for at en elev er en gutt og driver med idrett Sannsynligheten for at en elev er en gutt eller driver med idrett Sannsynligheten for at en elev som driver med idrett er en gutt 15

16 13) På en skole er det gjort en undersøkelse for å finne ut hvor mange elever som driver med en eller annen idrett på fritiden. Vi definerer to hendelser. G: Eleven er en gutt I: Eleven driver med en eller annen idrett P I G kan vi da lese som Sannsynligheten for at en elev er en gutt og driver med idrett Sannsynligheten for at en gutt driver med idrett Sannsynligheten for at en elev som driver med idrett er en gutt 14) I en klasse er det 12 gutter og 12 jenter. I en undersøkelse oppgir 6 av jentene og 4 av guttene at de tror de kommer til å velge et yrke hvor de får bruk for sine matematikkunnskaper. Hvor stor er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev fra klassen tror at han eller hun får bruk for sine matematikkunnskaper? ) Tre elever har skrevet ned det de mener er Bayes setning. Hvilket alternativ er riktig? P B P A B P A P A B P A P A B PB A PA PA B PB PB A PB 16

17 4.4 Kombinatorikk og sannsynlighetsberegning 1) Et håndballag består av 12 spillere. Det er seks utespillere, en målvakt og fem innbyttere. Regn med at laget har to aktuelle målvakter og ti aktuelle utespillere. Hvor mange forskjellige lagoppstillinger kan vi få ved bare å flytte på utespillere?!! 4! 6 2) Et håndballag består av 12 spillere. Det er seks utespillere, en målvakt og fem innbyttere. Regn med at laget har to aktuelle målvakter og ti aktuelle utespillere. Hvor mange forskjellige lagoppstillinger kan vi få ved å flytte på utespillere og bytte målvakt? 2!!! 2! 4! 1! ) Et håndballag består av 12 spillere. Det er seks utespillere, en målvakt og fem innbyttere. Regn med at laget har to aktuelle målvakter og ti aktuelle utespillere. Kari og Ina er målvakter. Hvor mange ulike lagkombinasjoner kan Kari være med på?!! 4! 6 4) Et håndballag består av 12 spillere. Det er seks utespillere, en målvakt og fem innbyttere. Regn med at laget har to aktuelle målvakter og ti aktuelle utespillere. Helene er utespiller. Hvor mange lagoppstillinger av utespillere kan Helene være med på? 9! 4!! 4! 9! 3! 17

18 5) En dag Sunniva skal på skolen, har hun valget mellom fire ulike bukser, fire ulike topper og fire ulike par sko. Hvor mange kombinasjoner av bukse, topp og sko kan hun ta på seg? 4! ) En dag Sunniva skal på skolen, har hun valget mellom fire ulike bukser, fire ulike topper og fire ulike par sko. Fargene på de fire buksene er rød, blå, svart og grønn. Det samme gjelder toppene og skoene. Sunniva vil ha tre ulike farger på seg. Hvor mange kombinasjoner av bukse, topp og sko kan hun ta på seg? 3! 4! 2! 4! 7) En dag Sunniva skal på skolen, har hun valget mellom fire ulike bukser, fire ulike topper og fire ulike par sko. Fargene på de fire buksene er rød, blå, svart og grønn. Det samme gjelder toppene og skoene. Sunniva vil ha to ulike farger på seg. Hvor mange kombinasjoner av bukse, topp og sko kan hun ta på seg? ! 2! 4! 8) På en videregående skole består elevrådet av 15 representanter. Blant disse representantene skal det velges et arbeidsutvalg på 3 medlemmer. Hvor mange ulike arbeidsutvalg kan vi få? ! 3! 3! 15! 12! 3! 18

19 9) På en videregående skole består elevrådet av 15 representanter. Blant disse representantene skal det velges et arbeidsutvalg på 3 medlemmer. Valget foregår ved at en først velger leder, så nestleder og tilslutt sekretær. Hvor mange ulike arbeidsutvalg kan vi få? ! 3! 15! 12! ) På en videregående skole består elevrådet av 15 representanter. Elevrådet skal stille opp på rekke til fotografering. Hvor mange ulike rekkefølger kan de stille opp i? ! ) Et stafettlag i langrenn består av fire løpere. I et VM hadde Norge seks aktuelle løpere til stafettlaget. Hvor mange ulike lag kunne Norge stille med hvis vi ikke tar hensyn til rekkefølgen på løperne? 4 6 6! 2! 6! 2! 4! 12) Et stafettlag i langrenn består av fire løpere. I et VM hadde Norge seks aktuelle løpere til stafettlaget. To av løperne var aktuelle på siste etappe. Det var derfor sikkert at minst en av disse ble med. Hvor mange ulike lag kunne Norge stille med? 2 4! 2 5! 2! 3! 2! 4! 4! 2! 19

20 13) Et stafettlag i langrenn består av fire løpere. I et VM hadde Norge seks aktuelle løpere til stafettlaget. Det var bestemt hvem som skulle gå første etappe. Hvor mange ulike lag kunne Norge stille med? 1 5! 15! 5! 2! 3! 2! 3! 15! 5! 2! 2! 14) Et stafettlag i langrenn består av fire løpere. En skiklubb hadde åtte aktuelle løpere til en konkurranse og bestemte at laget skulle tas ut ved loddtrekning. De trakk først hvem som skulle gå første etappe, så hvem som skulle gå andre etappe, så tredje etappe og til slutt siste etappe. Hvor mange ulike stafettlag kunne de få? 8! 8! 4! 4! 8! 4! 15) 0! 0 1! er ikke definert 20

21 4.5 Hypergeometrisk sannsynlighetsmodell 1) Vi har 9 kuler i en boks. 6 av kulene er røde, og 3 er blå. Vi trekker 5 kuler fra boksen tilfeldig. Hva er sannsynligheten for å trekke to røde og tre blå kuler? ) Vi har 9 kuler i en boks. 6 av kulene er røde, og 3 er blå. Vi trekker 5 kuler fra boksen tilfeldig. Hva er sannsynligheten for å trekke fem røde og ingen blå kuler?

22 3) Vi har n kuler i en boks. m av kulene er røde, og resten er blå. Vi trekker r kuler fra boksen tilfeldig. Hva er sannsynligheten for å trekke k røde kuler? P X k P X k P X k m n k k r m n r m n k m r m n r m n m k r k n r 4) I en skoleklasse er det 15 jenter og 12 gutter. Det skal velges fem representanter til en komité i klassen. Valget foregår ved loddtrekning. Bestem sannsynligheten for at det blir tre gutter og to jenter i komiteen

23 5) I en skoleklasse er det 15 jenter og 12 gutter. Det skal velges fem representanter til en komité i klassen. Valget foregår ved loddtrekning. Bestem sannsynligheten for at det blir flere gutter enn jenter i komiteen. 5 k3 5 k k 5 k k 5 k ) I en skoleklasse er det 15 jenter og 12 gutter. To av guttene er tvillinger. Det skal velges fem representanter til en komité i klassen. Valget foregår ved loddtrekning. Bestem sannsynligheten for at begge tvillingene blir med i komiteen

24 7) I en skoleklasse er det 15 jenter og 12 gutter. Per og Kari er tvillinger og går i klassen. Det skal velges fem representanter til en komité i klassen. Valget foregår ved loddtrekning. Bestem sannsynligheten for at det blir tre jenter og to gutter i komiteen og at begge tvillingene blir med ) I en skoleklasse er det 15 jenter og 12 gutter. Per og Kari er tvillinger og går i klassen. Det skal velges fem representanter til komité i klassen. Valget foregår ved loddtrekning. Bestem sannsynligheten for at det blir tre jenter og to gutter i komiteen og at ingen av tvillingene blir med

25 9) I en skoleklasse er det 15 jenter og 12 gutter. Per og Kari er tvillinger og går i klassen. Det skal velges fem representanter til komité i klassen. Valget foregår ved loddtrekning. Bestem sannsynligheten for at det blir tre jenter og to gutter i komiteen og at én av tvillingene blir med ) På et fruktfat ligger det epler, 5 pærer og 8 appelsiner. Irene plukker tre frukter tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at hun får ett eple, én pære og én appelsin?

26 11) På et fruktfat ligger det epler, 5 pærer og 8 appelsiner. Irene plukker tre frukter tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at hun bare får appelsiner? ) På et fruktfat ligger det epler, 5 pærer og 8 appelsiner. Irene plukker tre frukter tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at hun ikke får noen appelsiner?

27 13) På et fruktfat ligger det epler, 5 pærer og 8 appelsiner. Irene plukker tre frukter tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at hun ikke får noen epler? ) På et fruktfat ligger det epler, 5 pærer og 8 appelsiner. Irene plukker tre frukter tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at hun får dobbelt så mange epler som pærer? x x x

28 15) På et fruktfat ligger det epler, 5 pærer og 8 appelsiner. Irene plukker fire frukter tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at hun får tre ganger så mange epler som appelsiner? x 0 x 23 4x

29 4.6 Binomisk sannsynlighetsmodell 1) I en binomisk sannsynlighetsmodell har alle forsøkene to mulige utfall. Riktig Galt 2) I en binomisk sannsynlighetsmodell er de enkelte forsøkene avhengige. Riktig Galt 3) I en binomisk sannsynlighetsmodell er sannsynligheten for en hendelse A alltid lik 1 enten veldig liten eller veldig stor den samme hele tiden 4) Vi antar at vi har en binomisk forsøksrekke. og vi lar X være antall ganger A inntreffer. n k k Da er P X k p 1 p Rett Galt nk 5) Geografilæreren til lille Marius har laget en prøve hvor han har brukt flervalgsoppgaver. Prøven består av oppgaver og for hver oppgave er det 4 svaralternativer. Lille Marius er ikke forberedt og alle svaralternativene virker like sannsynlige. Hva er sannsynligheten for at lille Marius svarer rett på første spørsmål?

30 6) Geografilæreren til lille Marius har laget en prøve hvor han har brukt flervalgsoppgaver. Prøven består av oppgaver og for hver oppgave er det 4 svaralternativer. Lille Marius er ikke forberedt og alle svaralternativene virker like sannsynlige. Hva er sannsynligheten for at lille Marius svarer rett alle spørsmålene? ) Geografilæreren til lille Marius har laget en prøve hvor han har brukt flervalgsoppgaver. Prøven består av oppgaver og for hver oppgave er det 4 svaralternativer. Lille Marius er ikke forberedt og alle svaralternativene virker like sannsynlige. Hva er sannsynligheten for at lille Marius svarer feil på første spørsmål? ) Geografilæreren til lille Marius har laget en prøve hvor han har brukt flervalgsoppgaver. Prøven består av oppgaver og for hver oppgave er det 4 svaralternativer. Lille Marius er ikke forberedt og alle svaralternativene virker like sannsynlige. Hva er sannsynligheten for at lille Marius ikke svarer rett på noen spørsmål?

31 9) Geografilæreren til Marius har laget en prøve hvor han har brukt flervalgsoppgaver. Prøven består av oppgaver og for hver oppgave er det 4 svaralternativer. Lille Marius er ikke forberedt og alle svaralternativene virker like sannsynlige. Hva er sannsynligheten for at Marius svarer rett på akkurat halvparten av spørsmålene? ) Geografilæreren til Marius har laget en prøve hvor han har brukt flervalgsoppgaver. Prøven består av oppgaver og for hver oppgave er det 4 svaralternativer. Lille Marius er ikke forberedt og alle svaralternativene virker like sannsynlige. Hva er sannsynligheten for at Marius svarer rett på minst halvparten av spørsmålene? k5 k5 k 3 1 k 4 4 k 1 3 k k k 11) En bedrift produserer elektriske komponenter. Sannsynligheten for at en komponent som blir produsert er defekt er 5 %. Vi tester 0 komponenter. Sannsynligheten for at ingen av komponentene er defekte er 0 0, ,95 31

32 12) En bedrift produserer elektriske komponenter. Sannsynligheten for at en komponent som blir produsert er defekt er 5 %. Vi tester 0 komponenter. Sannsynligheten for at mindre enn 5 av komponentene er defekte er 4 k0 4 k0 5 k0 0 0,05 0,95 k k 0 0,95 0,05 k k 0 0,05 0,95 k k 0k 0k 0k 13) En bedrift produserer elektriske komponenter. Sannsynligheten for at en komponent som blir produsert er defekt er 5 %. Vi tester 0 komponenter. Sannsynligheten for at akkurat 5 av komponentene er defekte er 0,05 0, ,05 0, ,95 0, ) En bedrift produserer elektriske komponenter. Sannsynligheten for at en komponent som blir produsert er defekt er 5 %. Vi tester 0 komponenter. Sannsynligheten for at minst 5 av komponentene er defekte er 0 k5 0 k6 5 k0 0 0,05 0,95 k k 0 0,05 0,95 k k 0 0,05 0,95 k k 0k 0k 0k 15) Vi har en binomisk sannsynlighetsmodell. Sannsynligheten for at en hendelse A skal inntreffe er 0,03. Sannsynligheten for at A ikke skal inntreffe er da 70 % 97 % 0,07 % 32