Kombinatorikk og sannsynlighet oppgaver

Transkript

1 Kombinatorikk og sannsynlighet oppgaver Innhold 4.1 Multiplikasjon av sannsynligheter... 2 Produktsetningen Kombinatorikk Sannsynlighetsberegninger Hypergeometrisk sannsynlighetsmodell Binomisk sannsynlighetsmodell Eksamensoppgaver Bildeliste

2 4.1 Multiplikasjon av sannsynligheter Tell opp hvor mange gutter og jenter det er i klassen din akkurat nå. Tenk deg at læreren din skal trekke ut en elev fra klassen helt tilfeldig. a) Hva er sannsynligheten for å trekke ut en jente? b) Hva er sannsynligheten for å trekke ut en gutt? c) Legg sammen sannsynlighetene i a) og b). Hva oppdager du? Du har 3 blå kuler, 2 røde kuler, 4 svarte kuler og 1 hvit kule i en boks. a) Du trekker 1 kule tilfeldig fra boksen. Hvilke mulige utfall har du? b) Skriv opp en sannsynlighetsfordeling når du trekker en kule tilfeldig Du spiller på et lykkehjul som er delt opp i 24 like store deler som er nummerert fra 1 til 24. Ett av tallene gir gevinst. Du kjøper 4 ulike tall på lykkehjulet. a) Hvor stor sannsynlighet har du for å vinne? b) Hvor stor er sannsynligheten for at du ikke vinner? Du måtte betale 10 kroner for hvert av tallene du kjøpte. Premien for å komme på vinnertallet er 200 kr. c) Vil det, i det lange løp, lønne seg å spille på dette lykkehjulet? 2

3 4.1.4 I et forsøk har vi følgende utfallsrom U R, S, G, H I hvilke av tilfellene under har vi en sannsynlighetsmodell? P R 1, P S 2, P G 1 og P H P R 1, P S 2, P G 1 og P H P R 1, P S 1, P G 1 og P H P R, P S, P G og P H (Tips: Hva er summen av sannsynlighetene i en sannsynlighetsmodell?) Vi trekker tilfeldig et kort fra en kortstokk.. Vi definerer følgende hendelser: H: Kortet er en hjerter. K: Kortet er en konge. O: Kortet er et oddetall under 10. a) Finn sannsynligheten for hver av hendelsene ovenfor. b) Finn sannsynligheten for P K O c) Finn sannsynligheten for P H 3

4 4.1.6 Vi kaster en tikrone tre ganger. Vi definerer følgende hendelser: A: Nøyaktig to mynt B: Minst to mynt a) Skriv ned de mulige utfallene vi kan får når vi tar hensyn til kastrekkefølgen. b) Hvilke utfall er med i hendelsen A og hvilke utfall er med i hendelsen B? c) Hva er sannsynligheten for hendelse A og B? Idrettsklubben KomiForm har 50 medlemmer. 20 av medlemmene driver med svømming, 15 av medlemmene spiller golf. 10 av medlemmene driver med både svømming og golf. a) Finn sannsynligheten for at et tilfeldig valgt medlem spiller golf. b) Finn sannsynligheten for at et tilfeldig valgt medlem spiller både golf og driver med svømming. c) Hva er sannsynligheten for at et tilfeldig valgt medlem deltar i golf eller svømming? Sett opp et venndiagram for å få oversikt. Små og store golfspillere i aksjon på Ekebergsletta i Oslo. 4

5 4.1.8 På en videregående skole er det 120 elever i andre klasse. En dag har 60 elever hatt matematikk og 45 engelsk, mens 35 elever ikke har hatt noen av fagene. a) Lag en oversikt, for eksempel et venndiagram, for å illustrere dette. b) Hva er sannsynligheten for at en elev har begge fagene denne dagen? c) Hva er sannsynligheten for at en elev har akkurat ett av fagene? d) Hva er sannsynligheten for at en elev har minst ett av fagene? (Husk: Minst ett av fagene betyr enten ett av fagene eller begge fagene.) e) Hva er sannsynligheten for at en elev har høyst ett av fagene? (Husk: Høyst ett av fagene omfatter også de elevene som ikke har noen av fagene.) Du trekker kort fra en tilfeldig blandet kortstokk. Vi definerer følgende hendelser: H: Kortet er hjerterdame. S: Kortet er en svart dame (kløver eller spar). D: Kortet er rødt eller en dame. a) Finn P S b) Finn P S H c) Finn P D d) Finn P H D e) Finn P S D 5

6 Ved en skole ble alle mopedene tatt inn til en teknisk kontroll. Kontrollen viste at 30 % av mopedene gikk for fort, og at 15 % av mopedene hadde feil ved bremsene. 60 % av mopedene gikk verken for fort eller hadde noen feil ved bremsene. a) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt moped blant de som ble kontrollert hadde bremser som var i orden. b) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt moped blant de som ble kontrollert både gikk for fort og hadde feil ved bremsene. c) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt moped blant de som ble kontrollert gikk for fort, men hadde bremsene i orden Ved en bedrift som produserer sykler er sannsynligheten 0,020 for at en tilfeldig valgt sykkel har en feil av type A. Sannsynligheten for at sykkelen også har en feil av type B, er 0,015. Sannsynligheten for at sykkelen har minst én av feilene, er 0,030. a) Hva er sannsynligheten for at sykkelen har begge feilene? b) Hva er sannsynligheten for at sykkelen høyst har en av feilene? Hvor mange sykler? 6

7 Produktsetningen I en boks ligger det 4 blå, 3 røde og 5 gule kuler. Du trekker ut to kuler fra boksen. a) Hva er sannsynligheten for at begge kulene er røde? b) Hva er sannsynligheten for at du trekker en blå og en gul kule? Eline har to søsken. De er ikke tvillinger. Vi regner med at sannsynligheten for å få en gutt eller en jente er like stor. a) Hva er sannsynligheten for at hun har to søstre? b) Hva er sannsynligheten for at Eline har en bror og en søster? Eirin har tre barn. De er ikke tvillinger eller trillinger. Vi regner med at sannsynligheten for å få en gutt eller en jente er like stor. a) Hva er sannsynligheten for at hele søskenflokken er jenter? b) Hva er sannsynligheten for at den eldste i søskenflokken er en gutt og resten er jenter? c) Hva er sannsynligheten for at det er høyst én gutt i søskenflokken? 7

8 Omtrent én tidel (10 %) av verdens befolkning er venstrehendte. I en klasse er det 20 elever. a) Hva er sannsynligheten for at det ikke er noen venstrehendte i denne klassen? b) Hva er sannsynligheten for at det er minst en venstrehendt i klassen? I en boks ligger det 4 blå, 3 røde og 5 gule kuler. Du trekker ut to kuler fra boksen. a) Hva er sannsynligheten for at den andre kula du trekker er blå, dersom den første du trakk var gul? b) Hva er sannsynligheten for at den andre kula du trekker er gul, dersom den første du trakk var gul? c) Hva er sannsynligheten for at den andre kula du trekker er rød, dersom den første du trakk var gul? I en skål ligger det 100 nøtter. 5 % av nøttene er dårlige. Du tar tre nøtter tilfeldig. a) Hva er sannsynligheten for at alle tre nøttene er fine? b) Hva er sannsynligheten for at de to siste nøttene er fine når du vet at den første var dårlig? c) Hva er sannsynligheten for at den tredje nøtta er fin når de to første var dårlige? I en skål ligger det 100 nøtter. 8

9 Et passord består av 5 siffer. a) Hvor mange ulike kombinasjoner kan du få dersom du kan bruke tallene 0 til 9 akkurat som du vil? b) Hvor mange kombinasjoner kan du få dersom alle sifrene må være ulike? Thomas har to søsken. Ingen er tvillinger eller trillinger. a) Hva er sannsynligheten for at de tre søsknene har gebursdag på ulike ukedager? b) Hva er sannsynligheten for at minst to av søsknene har gebursdag på samme dag? Nå tar vi med foreldrene til Thomas. c) Hva er sannsynligheten for at de fem familiemedlemmene har gebursdag på ulike ukedager? En skiskytter har to blinker igjen på en skive. Sjansen for å treffe blink på det nest siste skuddet er 0,85. Dersom hun treffer blink på det nest siste skuddet, er sjansen for å treffe blink på det siste skuddet 0,80. Dersom hun ikke treffer blink på det nest siste skuddet, er sjansen for å treffe blink på det siste skuddet 0,75. Vi definerer disse hendelsene: T: Treff på det nest siste skuddet B: Bom på det siste skuddet Regn ut: Hvor stor er sannsynligheten for at hun treffer blink? a) P T B b) P T B c) P B T d) P B T 9

10 Vegard selger krabber og ville sjekke kvaliteten på krabbene. Han kokte 30 krabber og tabellen viser hvordan krabbene fordelte seg. Gode Dårlige Breiskorpe (hunnen) 14 4 Nadde (hannen) 9 3 Vi trekker ut en tilfeldig krabbe og definerer hendelsene: Taskekrabbe: Cancer pagurus Andre norske navn: Krabbe, rødkrabbe, paltosk, høvring, skryda G: Krabben er god N: Krabben er en nadde Finn følgende sannsynligheter: a) P G b) P G N c) P N G d) P N G e) P G N f) P G N 10

11 Utfordring! For å vinne toppgevinsten i lotto må du velge ut 7 riktige tall blant tallene fra og med 1 til og med 34. Trekningen er uten tilbakelegging. a) Hva er sannsynligheten for å vinne toppgevinsten i lotto dersom du velger ut akkurat 7 tall? b) Hva er sannsynligheten for at ingen av tallene du tipper er riktige? c) Hva er sannsynligheten for at minst ett av tallene er riktig? d) Dersom du leverer inn et forslag på 7 tall hver uke i de neste 70 årene, hva er da sannsynligheten for at du vinner toppgevinsten i løpet av disse 70 årene? Hva er sannsynligheten for å vinne toppgevinsten i lotto dersom du velger ut akkurat sju tall? 11

12 Vi kaster to terninger og teller opp summen av øyne på de to terningene. Det gir følgende utfall. Terning 1 Terning Vi definerer hendelsene: A: Sum øyne lik 6 B: Minst én av terningene er en firer a) Finn P A, P B og P A B b) Finn P A B og P B A Vi definerer hendelsene: C: Terning 1 blir en treer D: Terning 2 blir minst en firer c) Finn P C, P D og P C D d) Finn P C D og P D C e) Finn P C A og P B C 12

13 På en skole er det 50 % jenter. 30 % av elevene ved skolen røyker. 60 % av de som røyker er jenter. Bruk Bayes setning og finn sannsynligheten for at en tilfeldig jente ved skolen røyker En kiosk fører statistikk over hvor mange kunder som kjøper VG, hvor mange som kjøper Dagbladet, og hvor mange som kjøper begge avisene. En dag var det 40 % som kjøpte VG, av disse var det 20 % som kjøpte Dagbladet. 30 % kjøpte Dagbladet denne dagen. Definerer hendelsene: V: Tilfeldig kunde kjøper VG D: Tilfeldig kunde kjøper Dagbladet a) Hva var sannsynligheten for at en tilfeldig kunde kjøpte både VG og Dagbladet? b) Hva var sannsynligheten for at en tilfeldig kunde verken kjøpte VG eller Dagbladet? c) Hva var sannsynligheten for at en tilfeldig kunde kjøpte VG dersom vedkommende kjøpte Dagbladet? 13

14 En matematikkprøve har fem svaralternativer på hver oppgave. Du får tre oppgaver, og det er bare ett riktig svar på hver av oppgavene. Du er ikke forberedt, og alle svaralternativene virker like sannsynlige. Vi regner med uavhengighet. Vi definerer hendelsene: R : G : Rett svar Galt svar a) Forklar hvorfor hendelsene R og G er disjunkte. b) Hva er sannsynligheten for å svare galt på det første spørsmålet? c) Tegn et valgtre som viser situasjonen. d) Finn sannsynligheten for å få tre riktige svar. e) Finn sannsynligheten for nøyaktig to riktige svar. f) Finn sannsynligheten for å få minst ett riktig svar på prøven. 14

15 4.2 Kombinatorikk En kodelås består av 5 tall mellom 0 og 9. a) Hvor mange ulike kombinasjoner kan du lage? b) Hvor mange ulike kombinasjoner kan du lage dersom du ikke kan ha to like tall etter hverandre? Et bilnummer består av to bokstaver og deretter fem tall mellom 0 og 9. Antall ulike bokstaver det kan velges mellom er 20. Det første tallet kan ikke være 0. a) Hvor mange kombinasjoner finnes det? Et annet bilnummer består av tre bokstaver og deretter fire tall mellom 0 og 9. Antall ulike bokstaver det kan velges mellom er 20. b) Hvor mange kombinasjoner fins det? Stefania, Dina, Joar, Jenny og Jon Henrik skal løpe en skolestafett. De trekker ut hvem som skal løpe de ulike etappene. a) Hvor mange kombinasjoner fins det? b) Det er bestemt på forhånd at Jon Henrik skal løpe sisteetappen. Hvor mange kombinasjoner blir det nå? 15

16 4.2.4 Det skal trekkes ut to personer fra en gruppe på fire personer. a) Hvilken type utvalg er dette? Argumenter godt for svaret ditt. Vi lar de fire personene få bokstavene A, B, C og D. b) Sett opp de ulike kombinasjoner som finnes. c) Bruk formelen for uordnet utvalg uten tilbakelegg, og finn antall ulike kombinasjoner Det skal trekkes ut tre elever fra 2STB som skal representere skolen ved en høytidelig anledning. Det er 30 elever i klassen. a) Hvilken type utvalg er dette? Argumenter godt for svaret ditt. b) Hvor mange ulike kombinasjoner fins det? Det skal trekkes ut 6 spillere til volleyballag fra en gruppe på 10 spillere. Hvor mange måter kan dette gjøres på? 16

17 4.3 Sannsynlighetsberegninger I en klasse er det 16 jenter og 14 gutter. Klassen skal stille et guttelag og et jentelag til en volleyballturnering. Begge lagene skal ha seks spillere. a) Hvor mange ulike kombinasjoner av jentelag finnes det? I klassen går blant andre guttene Espen, Tor Olav, Håkon, Markus, Anders og André. b) Hvor stor er sannsynlighet for at akkurat disse seks guttene velges ut til guttelaget i volleyballturneringen? Drillo skal ta ut 11 spillere som skal starte i en fotballandskamp. Han kan velge mellom 2 målmenn, 6 forsvarsspillere, 7 midtbanespillere og 5 spisser. Laget til Drillo skal bestå av 1 målmann, 3 forsvarsspillere, 5 midtbanespillere og 2 spisser. a) Hvor mange ulike lagoppstillinger er mulig? b) Hvor stor er sannsynligheten for at en som ikke kjenner noen av spillerne skal sette opp samme lagoppstilling som Drillo. 17

18 4.3.3 Du skal nå se på noen eksempler på forsøk hvor alle kan oppfattes som at vi legger n antall nummererte lapper i en hatt og trekker ut en lapp r ganger. Denne oppgaven har ikke løsningsforslag. Tenk over om lappen må legges tilbake eller ikke og om du skal ha et ordnet eller uordnet utvalg. Diskuter med dine medelever dersom du er usikker. Tenk deg godt om før du spør læreren din. a) Å kaste en terning kan oppfattes som å plassere 6 lapper, nummerert fra 1 til 6, i en hatt, og så trekke 1 lapp. Hvor mange mulige utfall? b) Å spille lotto kan oppfattes som å ha 34 lapper, nummerert fra 1 til 34, i en hatt, og så trekke 7 lapper. Hvor mange mulige utfall? c) Å velge to elever til elevrådet kan oppfattes som å ha 30 lapper, nummerert fra 1 til 30, i en hatt, og så trekke 2 lapper. Hvor mange mulige utfall? d) Å velge leder og nestleder i klassen kan oppfattes som å ha 30 lapper, nummerert fra 1 til 30, i en hatt, og så trekke 2 lapper. Den første som trekkes blir leder. Hvor mange mulige utfall? e) Å tippe fotballkamper kan oppfattes som å ha 3 lapper, nummerert fra 1 til 3, i en hatt, og så trekke 12 lapper. Hvor mange mulige utfall? f) Å lage en bokstavkode på 3 bokstaver kan oppfattes som å ha 29 lapper, nummerert fra 1 til 29, i en hatt, og så trekke 3 lapper. Hvor mange mulige utfall? g) Å velge ut 11 spillere fra en stall på 18 kan oppfattes som å ha 18 lapper, nummerert fra 1 til 18, i en hatt, og så trekke 11 lapper. Hvor mange mulige utfall? h) Å velge ut 4 skiløpere til et stafettlag fra en stall på 8 kan oppfattes som å ha 8 lapper, nummerert fra 1 til 8, i en hatt, og så trekke 4 lapper. Hvor mange mulige utfall? i) Samme som h), men vi tar også hensyn til hvem som skal gå de forskjellige etappene. Hvor mange mulige utfall? j) Å få utdelt 13 kort når du spiller amerikaner, kan oppfattes som å ha 52 lapper, nummerert fra 1 til 52, i en hatt, og så trekke 13 lapper. Hvor mange mulige utfall? 18

19 4.4 Hypergeometrisk sannsynlighetsmodell En gruppe på 4 elever består av 2 gutter og 2 jenter. Det skal trekkes ut 2 elever fra gruppen. La guttene få bokstavene G 1 og G 2, og jentene J 1 og J 2. a) List opp antall mulige ulike kombinasjoner. b) Finn sannsynligheten for at elevene som trekkes ut er 2 jenter. c) Finn sannsynligheten for at elevene som trekkes ut er 1 jente og 1 gutt. d) Bruk formelen for hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling, og finn svarene i b) og c) I en klasse skal det trekkes ut 4 elever til en komité som skal arrangere en klassefest. Klassen består av 16 jenter og 14 gutter. a) Finn sannsynligheten for at komitéen består av 4 jenter. b) Hva er sannsynligheten for at det blir en komité på 4 gutter? c) Hvorfor er ikke svarene i a) og b) like? d) Hva blir sannsynligheten at det blir en komité på 2 jenter og 2 gutter? Du trekker 4 kort fra en kortstokk. a) Hva er sannsynligheten for å trekke 1 spar, 1 kløver, 1 ruter og 1 hjerter? b) Hva er sannsynligheten for å trekke ut 4 hjerter? c) Hva er sannsynligheten for å trekke ut 2 ruter og 2 spar? Du trekker 8 kort fra en kortstokk. d) Hva er sannsynligheten for å trekke 2 spar, 2 kløver, 3 hjerter og 1 ruter fra kortstokken? 19

20 4.5 Binomisk sannsynlighetsmodell Vi kaster en tikrone tre ganger. a) Tegn et valgtre som illustrerer de mulige utfallene vi kan få. b) Hva er sannsynligheten for å få nøyaktig to mynt? c) Hva er sannsynligheten for å få ingen kron? d) Bruk binomialformelen til å finne svarene i b) og c) Vi kaster en terning 10 ganger. Finn sannsynligheten for at vi får a) to seksere b) tre seksere c) ingen seksere d) minst en sekser Morten planter ut 40 tulipanløk i hagen. Han regner med at spireevnen til løkene er 80 %. Hva er sannsynligheten for at: a) minst 30 av løkene vil spire? b) høyst 30 av løkene vil spire? c) mellom 20 og 30 av løkene vil spire? d) alle løkene vil spire? Tulipanmark i det sydvestlige Holland. 20

21 4.5.4 Ved en eksamen i matematikk var det en strykprosent på 20. Betrakt en bunke på 8 tilfeldig utvalgte besvarelser. Hva er sannsynligheten for at a) alle står? b) minst halvparten stryker? c) nøyaktig to stryker? En skiskytter har en treffsikkerhet på 88 %. I et løp skal det skytes på 20 blinker. Hva er sannsynligheten for at skiskytteren treffer a) alle 20 blinkene? b) minst 18 av blinkene? c) høyst 16 av blinkene? Tåke i Holmenkollen. Hvor stor er sannsynligheten for å treffe blink? 21

22 4.6 Eksamensoppgaver (Eksamen 2MX høst 2005) a) Tore ønsker å lage et passord ved hjelp av bokstavene T O R E. Hvor mange ulike passord kan han lage? Bokstavene skal brukes én gang. b) Anne ønsker å lage et passord ved hjelp av bokstavene A N N E. Hvor mange ulike passord kan hun lage? Bokstavene skal brukes én gang. c) I en klasse er det 17 gutter og 10 jenter. En gruppe på 4 elever trekkes ut tilfeldig. 1) Hva er sannsynligheten for at det blir trukket ut akkurat 3 gutter? 2) Hva er sannsynligheten for at det blir trukket ut flere gutter enn jenter? (Eksamen 2MX vår 2006 privatist) Et fotballag består av 11 spillere. Laget er satt sammen av 4 gutter og 7 jenter. De tre spillerne som skal ta straffespark i en avsluttende konkurranse, trekkes tilfeldig ut av spillergruppa. a) Bestem sannsynligheten for at ingen jenter trekkes ut til å ta straffespark. b) Bestem sannsynligheten for at minst en jente trekkes ut til å ta straffespark. c) Bestem sannsynligheten for at det er akkurat to jenter som trekkes ut til å ta straffespark. d) Du får på forhånd vite at det er minst én jente som er trukket ut til å ta straffespark. Bestem sannsynligheten for at det er akkurat to jenter som er trukket ut (Eksamen 2MX høst 2006) I skøyteklubben På Glatta stemte 320 av de 400 medlemmene for sammenslåing med skiklubben Glepptaket. a) Hva er sannsynligheten for at 3 av 7 tilfeldig valgte personer i På Glatta stemte for sammenslåing? b) Hva er sannsynligheten for at høyst 6 av 7 tilfeldig valgte medlemmer i På Glatta stemte for sammenslåing? 22

23 4.6.4 (Eksamen 2MX høst 2006) På en skole med 830 elever er det 498 jenter. Av skolens elever er det 100 som røyker, 27 av disse er gutter. Vi trekker ut en tilfeldig elev. Vi definerer følgende hendelser: G = eleven er en gutt J = eleven er en jente R = eleven røyker R = eleven røyker ikke a) Regn ut følgende sannsynligheter. Oppgi alle svar med tre desimaler. 1) P R, ( P R G ) og ( P R J ) 2) P G R og P J R b) Du plukker ut 5 elever tilfeldig. Regn ut sannsynligheten for at minst én av dem røyker. c) Du får vite at akkurat 4 av de 5 elevene er gutter. Hva er nå sannsynligheten for at minst én av de fem røyker? (2MX eksamen vår 2007 privatist) I en klasse er det 15 jenter og 13 gutter. Det trekkes tilfeldig ut 6 elever til et volleyballag. a) Bestem sannsynligheten for at det er 3 gutter og 3 jenter som blir trukket ut. b) Finn et uttrykk for sannsynligheten for at x gutter blir trukket ut. c) Lag en tabell som viser sannsynlighetene for x-verdier fra 0 til 6. d) Finn sannsynligheten for at det var minst 4 gutter på laget. 23

24 4.6.6 Eksempelsett 2T, desember 2007 Når du fyller ut en lottorekke, skal du krysse av sju tall blant tallene fra og med 1 til og med 34. Du kan selv velge hvor mange rekker du fyller ut. På figuren er det fylt ut ti forskjellige rekker. a) Forklar at det finnes ulike lottorekker b) Hva er sannsynligheten for at det er en rekke med 7 rette på kupongen ovenfor? Tenk deg at du leverer inn en kupong som den ovenstående 5 uker på rad. c) Hva er sannsynligheten for å få 7 rette i minst én av de 5 ukene? d) Hvor mange uker må du levere inn kupongen for at sannsynligheten for å få 7 rette minst én gang skal være 0,1? Eksamen 2T, våren 2008 På polarmuseet i Tromsø henger 5 ulike bilder i en rekke på en vegg. Hvor mange forskjellige rekkefølger kan du henge bildene i? Eksamen 2T, våren 2008 Tonje er en aktiv skiskytter. Hun er med i idrettsklubben Treff.I klubben er det 15 medlemmer som driver med skiskyting, 5 gutter og 10 jenter. Klubben skal være med i en lagkonkurranse. Det skal tas ut 6 utøvere som skal delta. De 6 utøverne plukkes ut tilfeldig og uavhengig av kjønn. a) Hva er sannsynligheten for at Tonje blir tatt ut? b) Hva er sannsynligheten for at bare jenter blir tatt ut? c) Hva er sannsynligheten for at flere jenter enn gutter blir tatt ut? 24

25 4.6.9 Eksamen 2T, våren 2009 For å finne elever med tuberkulose, skal alle elevene på en skole ta pirquetprøve. Fra tidligere undersøkelser vet man følgende: 1 % av elevene har tuberkulose. 80 % av de elevene som har tuberkulose, får positivt utslag på pirquetprøven. 10 % av de elevene som ikke har tuberkulose, får positivt utslag på pirquetprøven. Vi definerer to hendelser: A: Pirquetprøven er positiv. T: Eleven har tuberkulose. a) Hva er sannsynligheten for at en elev ikke har tuberkulose? b) Finn sannsynligheten for at en elev får positivt utslag på pirquetprøven. c) En elev får positivt utslag på pirquetprøven. Hvor stor er sannsynligheten for at denne eleven virkelig har tuberkulose? Eksamen 2T, høsten 2009 I klassen til Kåre, Janne og Ane er det 15 jenter og 10 gutter. Klassen har vunnet en tur til Hellas for 6 elever. De 6 elevene trekkes ut ved loddtrekning. a) Finn sannsynligheten for at Ane får være med på turen. b) Finn sannsynligheten for at akkurat 3 jenter og 3 gutter blir med på turen. Kåre og Ane er kjærester. c) Finn sannsynligheten for at bare én av dem får være med på turen 25

26 Eksempelsett R1, april 2007 På en volleyballtrening er det 23 elever, 9 gutter og 14 jenter. Det skal velges et lag på 6 elever. a) Hva er sannsynligheten for at det blir like mange gutter som jenter på laget, dersom elevene trekkes ut tilfeldig? I idrettslaget er det 736 medlemmer, 348 gutter og 388 jenter. Av disse er det 63 gutter og 47 jenter som spiller volleyball. En person trekkes ut tilfeldig. La A og B være de to hendelsene A: Personen er en gutt B: Personen spiller volleyball b) Forklar med ord hva vi mener med P A B c) Finn sannsynlighetene P B og. Finn denne sannsynligheten. P B A. Er de to hendelsene A og B uavhengige? En avis ønsker å intervjue to personer i idrettslaget, én som spiller og én som ikke spiller volleyball. De trekker tilfeldig ut én volleyballspiller og én som ikke spiller volleyball. d) Hva er sannsynligheten for at de to personene er jenter? 26

27 Eksempelsett R1, desember 2007 På en skole er det 55 % jenter og 45 % gutter på VG2. Av jentene har 25 % valgt matematikk R1. Av guttene har 30 % valgt R1. a) Formuler de to siste opplysningene i teksten ovenfor som betingede sannsynligheter. b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev er en gutt som har valgt R1. c) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev har valgt R1. Av alle elevene på VG2 har 30 % valgt fysikk. Blant dem som har valgt R1, er det 80 % som har valgt fysikk. d) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt fysikkelev har valgt R1. 27

28 Eksamen R1, våren 2008 En kortstokk består av 52 kort: 13 spar, 13 hjerter, 13 ruter og 13 kløver. Spar og kløver er svarte kort. Hjerter og ruter er røde kort. Spar, ruter, kløver, hjerter Fra en kortstokk trekker vi tilfeldig ut 5 kort. I flere kortspill kalles disse 5 kortene en hånd. a) Hvor mange mulige korthender er det? Vi definerer følgende hendelser: A: Korthånden består av 5 spar. B: Korthånden består av 5 svarte kort. b) Bestem P A og P B c) Finn P A B. Er hendelsene Aog Buavhengige? 28

29 Eksamen R1, høsten 2008 I en bunke med kort er det 16 svarte og 14 røde kort. a) Gunhild trekker tilfeldig ut to kort. Hva er sannsynligheten for at de to kortene er svarte? b) Ali trekker tilfeldig ut 10 kort. Hva er sannsynligheten for at han trekker ut 7 svarte og 3 røde kort? I en eske med mynter er 40 % av myntene laget før Av disse er 45 % kobbermynter og 55 % sølvmynter. Av dem som er laget etter 1940, er 35 % kobbermynter og 65 % sølvmynter. Det trekkes tilfeldig ut én mynt. c) Hva er sannsynligheten for at mynten er en kobbermynt? Mynten som ble trukket ut, var en kobbermynt. d) Hva er sannsynligheten for at mynten er laget før 1940? Eksamen R1, våren 2009 En bedrift produserer mobiltelefoner. Avdeling A står for 70 % av produksjonen, og avdeling B står for de resterende 30 %. Det har vist seg at 5 % av produksjonen fra avdeling A har feil, mens 10 % av produksjonen fra B har feil. 1) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt telefon har feil. 2) Hva er sannsynligheten for at en telefon som har feil, er produsert i avdeling A? 29

30 Eksamen R1, høsten 2009 Vi bruker en test for å undersøke om en person har en bestemt sykdom. Vi definerer hendelsene: T: Testen tyder på at personen har sykdommen. S: Personen har faktisk sykdommen. a) Vi har at P( T S) 0,96 og at P( T S) 0,05. Forklar hva disse sannsynlighetene forteller oss. Bestem P( T S ). b) Vi antar at 3 % av befolkningen har denne sykdommen. En tilfeldig valgt person skal testes. Bestem PT ( ). c) Dersom testen tyder på at personen har sykdommen, hva er da sannsynligheten for at denne personen faktisk har sykdommen? d) Dersom testen tyder på at personen ikke har sykdommen, hva er da sannsynligheten for at personen likevel faktisk har sykdommen? Eksamen R1, våren 2010 På en tippekupong er det 12 fotballkamper. Når man tipper en enkeltrekke, skal man tippe resultatet i hver av de 12 forballkampene. Utfallet i en kamp er enten hjemmeseier (H), uavgjort(u) eller borteseier(b). En ivrig tipper la merke til at det i en viss periode ofte var 5 hjemmeseire (H) blant de 12 kampene på tippekupongen. a) Hvor mange ulike utvalg på 5 kamper kan velges ut blant 12 kamper? b) Vi har fylt ut 5 kamper som vi tror ender med hjemmeseier. På hvor mange måter kan vi fylle ut de 7 resterende kampene når hver av dem skal fylles ut med enten uavgjort (U) eller borteseier (B)? c) Hvor stor er sannsynligheten for at en tilfeldig utfylt tipperekke skal inneholde nøyaktig 5 hjemmeseire? 30

31 Bildeliste Kortstokk 1 Foto: Corbis/Scanpix Tikrone Foto: Anne Seland Skailand/NDLA Golf Foto: Rune Holm Schulstad/Aftenposten/Scanpix Sykler Foto: Jon-Are Berg-Jacobsen/Aftenposten/Scanpix Nøtter Foto: Espen Bratlie/Samfoto/Scanpix Skiskyting Foto: Rolf Arne Odiin/VG/Scanpix Krabbe Foto: Lars Laursen/Scanpix Denmark Lotto Foto: Bård Løken/Samfoto/Scanpix Terning Foto: Anne Seland Skailand/NDLA Tulipaner Foto: Karsten Schnack/Scanpix Denmark Blink Foto: Erlend Aas/Scanpix Lottokupong Foto: Scanpix 31

32 Kortstokk 2 Foto: Heiko Junge/Scanpix Øvingsoppgaver og løsninger Stein Aanensen og Olav Kristensen/NDLA Eksamensoppgavene er hentet fra 32