9.5 Uavhengige hendinger

Transkript

1 9. Uavhengige hendinger Vi kaster en terning to ganger og innfører hendingene A: Det første kastet gir sekser B: Det andre kastet gir sekser Om vi får sekser på det første kastet, endrer ikke det sannsynligheten for å få sekser på det andre kastet. Vi sier at de to hendingene er uavhengige. To hendinger er uavhengige hvis en opplysning om at den ene hendingen har inntruffet, ikke endrer sannsynligheten for den andre. Vi trekker to kort fra en kortstokk. Hvis vi får spar i første trekning, endrer det sannsynligheten for å få spar i andre trekning. Hendingene er da ikke uavhengige. Lina Luring har blå bukser og 3 svarte. Hun har 3 blå topper og 4 svarte. Hun trekker helt tilfeldig én bukse og én topp. De to valgene er dermed uavhengige. Sannsynligheten for å trekke ei blå bukse er P( blå bukse ) = Sannsynligheten for å trekke en blå topp er P( blå topp ) = 3 7 Antallet kombinasjoner av blå bukse og blå topp er 3 = 6. Antallet mulige kombinasjoner er 7 = 3. Sannsynligheten for blå bukse og blå topp er P( blå bukse og blå topp ) = 6 3 Vi legger merke til at 6 3 P( blå bukse og blå topp) = = 3 = = P( blå bukse) P( blå topp) Hendingen «blå bukse og blå topp» kan vi også skrive som «blå bukse blå topp». 39 Sinus T book.indb :49:9

2 Dette er en regel som gjelder generelt for uavhengige hendinger. Vi kaller den produktsetningen for uavhengige hendinger. For to uavhengige hendinger A og B er P( A B) = PA ( ) PB ( ) Med denne regelen kan vi finne sannsynligheten for at hun stiller i svart bukse og svart topp, på denne måten: P( svart bukse og svart topp) = P( svart bukse) P( svart topp) = = 3 Sannsynligheten for at hun har ulik farge på buksa og toppen, er P( blå bukse og svart topp) + P( svart bukse og blå topp) = P( blå bukse) P( svart topp) + P( svart bukse) P(blå topp) = = = 3 Dette kan vi også framstille i et valgtre på denne måten: Bukse Topp 3 7 Blå Blå Svart 4 7 Svart Blå Svart Når vi skal bruke valgtreet til å finne sannsynligheten for blå bukse og blå topp, ganger vi sannsynlighetene langs den veien som er sammensatt av to blå greiner, og får = 3 Sannsynligheten for svart bukse og svart topp finner vi ved å gange tallene langs den veien som er sammensatt av to svarte greiner = 3 Sannsynligheten for ulik farge på bukse og topp finner vi ved å gange tallene langs greinene med ulik farge og summere = = 3 30 Sinus T > Sannsynlighetsregning Sinus T book.indb :49:3

3 EKSEMPEL I et lotteri er sannsynligheten for å vinne på et tilfeldig valgt lodd. 0 Vi kjøper to tilfeldig valgte lodd. a) Framstill vinnersjansene i et valgtre. b) Finn sannsynligheten for å vinne på begge loddene. c) Finn sannsynligheten for å vinne på ett av loddene. Løsning: a) Sannsynligheten for å vinne på ett lodd er P( V )= 0 Sannsynligheten for ikke å vinne på ett lodd er 9 P( V )= = 0 0 Det gir dette valgtreet:. lodd V V. lodd 0 V V V 9 0 V b) Sannsynligheten for å vinne på begge loddene er 0 0 = 00 c) Sannsynligheten for å vinne på ett lodd er = = 00 = 0? OPPGAVE 9.0 Vi kaster en tikrone to ganger og vil finne sannsynligheter for kombinasjoner av mynt og krone. a) Lag et valgtre som viser kombinasjonene. b) Finn sannsynligheten for å få krone begge gangene. c) Finn sannsynligheten for å få mynt begge gangene. d) Finn sannsynligheten for å få én krone og én mynt. 3 Sinus T book.indb :49:3

4 ? OPPGAVE 9. Vi kaster en terning to ganger og vil finne sannsynligheten for seksere. a) Lag et valgtre med mulighetene. b) Finn sannsynligheten for å få to seksere. c) Finn sannsynligheten for ikke å få noen seksere. d) Finn sannsynligheten for én sekser. OPPGAVE 9. I et lotteri er sannsynligheten for å vinne på ett tilfeldig valgt lodd. 0 Vi kjøper to lodd. a) Finn sannsynligheten for å vinne på begge loddene. b) Finn sannsynligheten for ikke å vinne på noen av loddene. c) Finn sannsynligheten for å vinne én gevinst. Når vi kaster noen terninger, får vi enten ingen seksere eller så får vi minst én sekser. Sannsynligheten er Dermed er Det gir P(ingen seksere eller minst én sekser) = P(ingen seksere) + P(minst én sekser) = P(minst én sekser) = P(ingen seksere) En tilsvarende regel har vi hver gang vi gjør flere forsøk på rad eller flere forsøk på en gang. Når vi gjør mange forsøk, er P(minst ett gunstig utfall) = P(ingen gunstige utfall) Produktsetningen for uavhengige hendinger kan vi utvide til n uavhengige hendinger: La A, A,, A n være n uavhengige hendinger. Da er P( A A A ) = P( A) P( A ) P( A ) n n 3 Sinus T > Sannsynlighetsregning Sinus T book.indb :49:33

5 EKSEMPEL Vi kaster terninger. a) Finn sannsynligheten for at vi får seksere. b) Finn sannsynligheten for at vi får ingen seksere. c) Finn sannsynligheten for at vi får minst én sekser. Løsning: a) Sannsynligheten for å få seksere er = = 7776 =, b) Sannsynligheten for å få ingen seksere er 3 = = 7776 =, c) Sannsynligheten for å få minst én sekser er P( ingen seksere) = 0, 40 = 0, 98 EKSEMPEL Et ektepar har tre barn. Her regner vi med at sannsynligheten er for å få gutt. a) Lag et valgtre. b) Finn sannsynligheten for at alle tre er gutter. c) Finn sannsynligheten for at de har to gutter og ei jente. d) Finn sannsynligheten for at de har minst én gutt. Løsning: a) Vi bruker symbolet G for gutt og J for jente. Vi lager dette valgtreet:. barn G J. barn G J G J 3. barn G J G J G J G J 33 Sinus T book.indb :49:34

6 b) For å finne sannsynligheten for tre gutter følger vi de blå greinene helt til venstre. Sannsynligheten er = 8 c) For å finne sannsynligheten for to gutter og ei jente må vi finne de greinene som har to blå deler og én svart del. Det er = = 8 d) Sannsynligheten for ingen gutter er = 8 Sannsynligheten for minst én gutt er da 7 = 8 8? OPPGAVE 9.3 Vi kaster 3 terninger. a) Finn sannsynligheten for at alle terningene viser partall. b) Finn sannsynligheten for at det blir ingen seksere. c) Finn sannsynligheten for å få minst én sekser. OPPGAVE 9.4 Et ektepar har tre barn. I denne oppgaven er sannsynligheten 0,4 for å få en gutt. a) Lag et valgtre. b) Finn sannsynligheten for at alle tre er gutter. c) Finn sannsynligheten for at de har to gutter og ei jente. d) Finn sannsynligheten for at de har minst ei jente. OPPGAVE 9. I et lotteri er sannsynligheten for å vinne på et tilfeldig valgt lodd lik 0,. Vi kjøper tre tilfeldig valgte lodd. a) Lag et valgtre. b) Finn sannsynligheten for at vi vinner på alle loddene. c) Finn sannsynligheten for at vi vinner på nøyaktig ett lodd. d) Finn sannsynligheten for at vi ikke vinner. e) Finn sannsynligheten for at vi vinner på minst ett lodd. 34 Sinus T > Sannsynlighetsregning Sinus T book.indb :49:3

7 9.6 Avhengige hendinger Vi trekker to kort fra en kortstokk og innfører hendingene A: Det første kortet er spar B: Det andre kortet er spar Vi skal finne sannsynligheten for at begge kortene er spar. Når vi trekker det første kortet, er det 3 spar og kort i stokken. Sannsynligheten for at det første kortet er en spar, er 3 P( A)= = 4 Hvis det første kortet er en spar, er det spar og kort igjen når vi trekker det andre kortet. Sannsynligheten for at det andre kortet er spar når vi vet at det første kortet er spar, er 4 = 7 Denne sannsynligheten kaller vi en betinget sannsynlighet. Vi bruker skrivemåten P( B A), som vi leser «P av B gitt A». Det er sannsynligheten for at B skal inntreffe når vi vet at A har inntruffet. Dermed er 4 P( B A) = = 7 Hvis det første kortet ikke er spar, er det 3 spar og kort igjen. Sannsynligheten for at det andre kortet er spar hvis det første ikke var spar, er P( B A) = 3 Sannsynligheten for å få spar andre gangen, er avhengig av hva som skjedde i første trekning. Vi sier at hendingene er avhengige. Sannsynligheten for å få to spar regner vi ut ved ganging slik vi gjorde med uavhengige hendinger. 4 4 P( A B) = PA ( ) PB ( A) = = = Dette er i samsvar med den generelle produktsetningen for sannsynligheter: 7 P( A B) = PA ( ) PB ( A) Denne regelen gjelder også for uavhengige hendinger, for da er P( B A) = PB ( ). 3 Sinus T book.indb :49:37

8 EKSEMPEL I en kopp ligger det ni kuler. Fem av dem er røde. Vi trekker to kuler fra koppen uten å legge kulene tilbake. a) Finn sannsynligheten for at begge kulene er røde. b) Finn sannsynligheten for at ingen av kulene er røde. c) Finn sannsynligheten for at minst ei kule er rød. Løsning: a) Vi innfører hendingene A: Den første kula er rød B: Den andre kula er rød Sannsynligheten for at den første kula er rød, er P( A)= 9 Sannsynligheten for at den andre kula er rød når vi vet at den første var rød, er 4 P( B A) = = 8 Sannsynligheten for at begge kulene er røde, er P( A B) = PA ( ) PB ( A) = = 9 8 b) Sannsynligheten for at den første kula ikke er rød, er P( A)= 4 9 Sannsynligheten for at den andre kula ikke er rød når vi vet at den første ikke var rød, er P( B A) = 3 8 Sannsynligheten for at ingen av kulene er røde, er 4 3 = = = = P(ingen røde) = P( A B) PA ( ) PB ( A) c) Sannsynligheten for minst ei rød kule finner vi på denne måten: P(minst ei rød) = P(ingen røde) = = Sinus T > Sannsynlighetsregning Sinus T book.indb :49:39

9 ? OPPGAVE 9.60 I et lotteri er det tjue lodd igjen. Det er gevinst på fire av disse loddene. Vi kjøper to lodd. a) Finn sannsynligheten for at vi vinner på begge loddene. b) Finn sannsynligheten for at vi ikke vinner på noe lodd. c) Finn sannsynligheten for at vi vinner på minst ett lodd. OPPGAVE 9.6 I en klasse er det tolv jenter og atten gutter. Vi trekker tilfeldig to elever. a) Finn sannsynligheten for at vi trekker to jenter. b) Finn sannsynligheten for at vi trekker to gutter. c) Finn sannsynligheten for at vi trekker minst ei jente. d) Finn sannsynligheten for at vi trekker ei jente og en gutt. Vi kan bruke valgtre også når vi arbeider med avhengige hendinger. EKSEMPEL Marte og Sondre skal kjøpe hvert sitt lodd i et lotteri. Det er 0 lodd igjen i lotteriet, og 3 av disse loddene gir gevinst. Marte kjøper lodd først. Vi innfører hendingene M: Marte vinner S: Sondre vinner a) Framstill et valgtre med vinnersjansene. b) Finn sannsynligheten for at begge vinner. c) Finn sannsynligheten for at nøyaktig én av dem vinner. d) Sondre er sur på Marte fordi hun fikk kjøpe lodd først. Han mener at hun dermed hadde størst vinnersjanse. Har han grunn til å være sur? Løsning: a) Vi finner de aktuelle sannsynlighetene og setter dem inn i et valgtre. Marte 9 V V 6 9 Sondre V V V V 37 Sinus T book.indb :49:39

10 b) Sannsynligheten for at begge vinner, er = 380 = 90 c) At nøyaktig én av dem vinner, kan skje på to måter. Enten kan Marte vinne og ikke Sondre, ellers så kan Sondre vinne og ikke Marte. Addisjonssetningen gir = = 380 = 90 d) Sannsynligheten for at Sondre vinner, er ifølge addisjonssetningen = = 380 = 0 Vi ser at Sondre har nøyaktig samme vinnersjanse som Marte. Det spiller ingen rolle hvem av dem som kjøper lodd først.? OPPGAVE 9.6 I ei skål ligger det 0 sjokolader som er pakket inn i nøytralt papir. Der er 4 sjokolader som Anne og Per liker, og 6 som ingen av dem liker. De trekker tilfeldig hver sin sjokolade. Anne trekker først. a) Lag et valgtre der du skriver på alle de aktuelle sannsynlighetene. b) Finn sannsynligheten for at begge trekker en sjokolade som de liker. c) Finn sannsynligheten for at ingen av dem trekker en sjokolade som de liker. d) Finn sannsynligheten for at nøyaktig én av dem trekker en sjokolade som faller i smak. e) Finn sannsynligheten for at Per trekker en sjokolade som han liker. OPPGAVE 9.63 Vi tar for oss en farlig sykdom som er vanskelig å oppdage i tide. Sannsynligheten for å oppdage den i tide, er 0,60. Hvis sykdommen blir oppdaget i tide, får pasienten medisin. Sannsynligheten for å overleve er da 0,80. Hvis sykdommen ikke blir oppdaget i tide, er sannsynligheten for å overleve 0,0. a) Lag et valgtre som gir oversikt over situasjonen. b) Finn sannsynligheten for at en person som har fått denne sykdommen, overlever. Vi kan bruke produktsetningen også når vi har mer enn to delforsøk. 38 Sinus T > Sannsynlighetsregning Sinus T book.indb :49:40

11 EKSEMPEL Vi trekker tre kort fra en kortstokk. a) Finn sannsynligheten for at alle tre kortene er spar. b) Finn sannsynligheten for at ingen av kortene er spar. c) Finn sannsynligheten for at minst ett av kortene er spar. Løsning: a) Sannsynligheten for at det første kortet er spar, er 3 = 4. Sannsynligheten for at det andre kortet er spar når vi vet at det første var spar, er = 4 7. Sannsynligheten for at det tredje kortet er spar når vi vet at de to første var spar, er 0. Sannsynligheten for tre spar er P(tre spar) = 3 4 = = = 0, b) Sannsynligheten for ingen spar er P(ingen spar) = = = 0, c) Sannsynligheten for minst én spar er P(minst én spar) = P(ingen spar) = 0,44 = 0,86? OPPGAVE 9.64 I en familie med tre barn er det ingen tvillinger. Vi ser bort fra skuddår og regner videre med at alle de 36 dagene i året er like sannsynlige som fødselsdager. a) Finn sannsynligheten for at de tre barna har fødselsdag på hver sin dag. b) Finn sannsynligheten for at minst to av dem har fødselsdag på samme dag. OPPGAVE 9.6 I en klasse er det 30 elever, og ingen er tvillinger. Vi ser bort fra skuddår og regner videre med at alle de 36 dagene i året er like sannsynlige som fødselsdager. a) Finn sannsynligheten for at alle elevene har fødselsdag på hver sin dag. b) Finn sannsynligheten for at minst to av dem har fødselsdag på samme dag. 39 Sinus T book.indb :49:4

12 SAM MEN DRAG Sannsynlighet bestemt ved forsøk Hvis vi gjør et forsøk med tilfeldig utfall svært mange ganger, vil den andelen av forsøkene som gir et bestemt utfall, nærme seg sannsynligheten for utfallet. Gyldig sannsynlighetsmodell Vi har en gyldig sannsynlighetsmodell for et forsøk hvis disse to vilkårene er oppfylt: Sannsynligheten for hvert utfall er et tall mellom 0 og. Summen av sannsynlighetene for alle de mulige utfallene er. Uniform sannsynlighetsmodell I en uniform sannsynlighetsmodell er alle utfallene like sannsynlige. Der er P(et utfall) = antallet mulige utfall Hending En hending i sannsynlighetsregning er sammensatt av ett eller flere utfall. Sannsynligheten for en hending finner vi ved å summere sannsynlighetene for de utfallene som inngår i hendingen. Med en uniform sannsynlighetsmodell er sannsynligheten for en hending A gitt ved P(A) = antallet gunstige utfall for antallet mulige utfall Addisjonssetningen For to hendinger A og B er P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Hvis hendingene A og B ikke har noen felles utfall, er P(A B) = P(A) + P(B) A 330 Sinus T > Sannsynlighetsregning Sinus T book.indb :49:4

13 Hendingen A (ikke A) P( A) = P( A) Betinget sannsynlighet Den betingede sannsynligheten P( B A) er sannsynligheten for at B skal inntreffe når vi vet at A har inntruffet. Uavhengige hendinger To hendinger A og B er uavhengige dersom en opplysning om at A har inntruffet, ikke endrer sannsynligheten for at B skal inntreffe. Da er P( B A) = P(B). Den generelle produktsetningen For to hendinger A og B er P( A B) = PA ( ) PB ( A) Produktsetningen for uavhengige hendinger Hvis A og B er to uavhengige hendinger, er P( A B) = PA ( ) PB ( ) Hvis A, A,, A n er n uavhengige hendinger, er P( A A A ) = P( A) P( A ) P( A ) n n 33 Sinus T book.indb :49:44

14 9. UAVHENGIGE HENDINGER Oppgave 9.0 Sannsynligheten for at et bestemt tog er i rute en tilfeldig valgt dag, er 0,8. a) Hva er sannsynligheten for at toget ikke er i rute? b) Hva er sannsynligheten for at toget er i rute to dager etter hverandre? c) Hva er sannsynligheten for at toget er i rute en dag, men ikke den neste dagen? Oppgave 9. I Snøland kommer nedbøren som snø, og sannsynligheten for at det snør en tilfeldig valgt dag, er 0,7, uavhengig av hvordan været har vært den siste uka. a) Hva er sannsynligheten for at det kommer snø en dag og ikke den neste dagen? b) Hva er sannsynligheten for at det snør mandag, onsdag og fredag i en uke? c) Hva er sannsynligheten for at det snør en hel uke? Oppgave 9. I et lotteri er sannsynligheten 0,0 for å vinne på et lodd. a) Hva er sannsynligheten for ikke å vinne hvis du kjøper ett lodd? Du kjøper to lodd. b) Framstill vinnersjansene i et valgtre. c) Hva er sannsynligheten for å vinne på begge loddene? d) Hva er sannsynligheten for ikke å vinne på noen av loddene? e) Hva er sannsynligheten for å vinne på akkurat ett av loddene? Oppgave 9.3 Anne Guri regner med at sannsynligheten for at hun får 4 eller bedre på en matematikkprøve, er 0,8. Det er tre prøver igjen i denne terminen. a) Lag et valgtre med mulighetene. b) Finn sannsynligheten for at Anne Guri får 4 eller bedre på alle prøvene. c) Finn sannsynligheten for at hun får 4 eller bedre på nøyaktig to av prøvene. d) Finn sannsynligheten for at hun får 4 eller bedre på minst én prøve. Oppgave 9.4 I en bolle ligger det mange hasselnøtter med skall. Vi regner med at 0 % av alle hasselnøtter er dårlige. Vi trekker tilfeldig tre hasselnøtter fra bollen og knekker nøttene. a) Lag et valgtre med mulighetene. b) Hva er sannsynligheten for at alle tre nøttene er friske? c) Hva er sannsynligheten for at minst én av nøttene er dårlig? Oppgave 9. Per Erling jobber på en butikk tirsdager og torsdager når det er mye å gjøre. Han regner med at sannsynligheten er 0,8 for at han jobber på tirsdager, og 0,6 for at han jobber på torsdager. a) Lag et valgtre med mulighetene. b) Hva er sannsynligheten for at Per Erling ikke jobber på en tirsdag? c) Hva er sannsynligheten for at han ei uke ikke jobber på noen av de to dagene? d) Hva er sannsynligheten for at han ei uke jobber på nøyaktig én av de to dagene? 49 Sinus T book.indb :4:38

15 Oppgave 9.6 Jens og Hilde går i samme klasse. Sannsynligheten er 0, for at Jens er borte fra en time og 0,0 for at Hilde er borte. a) Lag et valgtre med mulighetene. b) Hva er sannsynligheten for at Hilde er til stede? c) Hva er sannsynligheten for at begge er borte? d) Hva er sannsynligheten for at begge er til stede? e) Hva er sannsynligheten for at minst én av dem er til stede? Oppgave 9.7 Kari og Petter handler frukt hos Ali hver dag. De handler uavhengig av hverandre. Vi ser på en tilfeldig valgt dag. Da er sannsynligheten 0,70 for at Kari kjøper appelsiner, og sannsynligheten er 0,40 for at Petter kjøper den samme fruktsorten. a) Lag et valgtre med mulighetene. b) Hva er sannsynligheten for at begge kjøper appelsiner denne dagen? c) Hva er sannsynligheten for at ingen av dem kjøper appelsiner? d) Hva er sannsynligheten for at minst én av dem kjøper appelsiner? Oppgave 9.8 Sannsynligheten for at Marita skårer på et straffekast, er 0,90. I en kamp tok hun tre straffekast. a) Hva er sannsynligheten for at Marita skårer på alle straffekastene? b) Hva er sannsynligheten for at hun ikke skårer på noe straffekast? c) Hva er sannsynligheten for at hun skårer på minst ett straffekast? d) Lag et valgtre og finn hva sannsynligheten er for at hun skårer på to av de tre straffekastene. Oppgave 9.9 Sannsynligheten for at et insekt overlever det neste døgnet, er 0,6. a) Finn sannsynligheten for at insektet dør det neste døgnet. b) Finn sannsynligheten for at insektet blir mellom ett og to døgn gammelt. c) Finn sannsynligheten for at insektet blir mellom to og tre døgn gammelt. d) Finn sannsynligheten for at insektet lever mer enn tre døgn. 9.6 AVHENGIGE HENDINGER Oppgave 9.60 I en bolle ligger det fire egg. Ett av eggene er dårlig. Vi trekker tilfeldig to egg fra bollen uten å legge eggene tilbake. Hva er sannsynligheten for at vi trekker to friske egg? Oppgave 9.6 I lommeboka har du sju mynter: tre norske 0-kroner og fire -euro. Du trekker tilfeldig to av myntene opp av lommeboka. a) Hva er sannsynligheten for at du trekker to euromynter? b) Hva er sannsynligheten for at du trekker to norske 0-kroner? Oppgave 9.6 I ei skål ligger det tre røde og to svarte sukkertøy. Du får trekke tilfeldig to sukkertøy. a) Hva er sannsynligheten for at du trekker to svarte sukkertøy? b) Hva er sannsynligheten for at du trekker to røde sukkertøy? c) Hva er sannsynligheten for at du trekker ett sukkertøy av hver farge? 460 Sinus T > Sannsynlighetsregning Sinus T book.indb :4:38

16 Oppgave 9.63 I en kurv ligger det 0 blomsterløker som alle vil spire. Seks av løkene gir påskeliljer, og fire gir pinseliljer. Katrine trekker tilfeldig to av løkene og setter dem i jord. a) Hva er sannsynligheten for at begge løkene gir påskeliljer? b) Hva er sannsynligheten for at løkene gir ulike blomster? c) Hva er sannsynligheten for at minst én av løkene gir påskeliljer? Oppgave 9.64 I en vennegjeng er det 3 personer som studerer matematikk, 4 som studerer jus, og som studerer språkfag. To av vennene møtes tilfeldig på kino. a) Hva er sannsynligheten for at begge studerer matematikk? b) Hva er sannsynligheten for at begge studerer samme fag? c) Hva er sannsynligheten for at de studerer hvert sitt fag? Oppgave 9.6 I ei lue ligger det ti lapper. På to lapper står tallet 0, på tre lapper står tallet, på fire lapper står tallet, og på en lapp står tallet 3. Jens trekker to lapper. a) Hva er sannsynligheten for at han trekker to lapper med tallet? b) Hva er sannsynligheten for at summen av tallene på de to lappene Jens trekker, blir? UTEN HJELPEMIDLER Oppgave 9.00 I et veikryss har bilistene to muligheter: Enten må de ta mot venstre eller mot høyre. Sannsynligheten er for at en tilfeldig valgt bilist tar mot høyre. Tre bilister er på vei inn mot krysset. a) Hva er sannsynligheten for at de to første bilistene tar mot venstre? b) Hva er sannsynligheten for at ingen av de tre bilistene tar mot høyre? c) Skriv opp de mulige utfallene og finn sannsynligheten for at minst én av de tre bilistene tar mot venstre. Oppgave 9.0 I en klasse er det 8 elever. 4 av jentene og 4 av guttene tar buss til skolen. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i denne klassen ikke tar buss til skolen? Oppgave 9.0 I en skuff ligger det 4 batterier, og 4 av disse batteriene er utladet. Vi tar tilfeldig 3 batterier opp fra skuffen, og de første er i orden. Finn sannsynligheten for at det siste batteriet er utladet. Oppgave 9.03 a) Sannsynligheten for at Margaret kommer tidsnok på skolen på mandager, er 0,80. Hva er sannsynligheten for at hun kommer for seint på mandager? b) På en prøve skal Margaret svare på fire spørsmål. Til hvert spørsmål er det tre svaralternativer. Hvor mange svarkombinasjoner gir dette? 46 Sinus T book.indb :4:38

17 Oppgave 9.4 Det er 60 % sannsynlighet for at Eli-Trine kommer på besøk på lørdag. 0 % sannsynlighet for at Eli-Trine kommer på besøk på søndag. Lag et valgtre og bestem sannsynligheten for at Eli-Trine kommer på besøk i løpet av helga. Oppgave 9. a) Lag et valgtre som viser de mulige rekkefølgene av gutter og jenter i en trebarnsfamilie. b) Anta at hver av disse rekkefølgene er like sannsynlige. Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt trebarnsfamilie har ) bare jenter ) to gutter og ei jente 3) minst én gutt Oppgave 9.6 Du kaster to terninger. Hva er sannsynligheten for at du får akkurat én firer? Oppgave 9.7 Sannsynligheten er 0,60 for at Hans har gjort leksa til en tilfeldig valgt matematikktime. Den tilsvarende sannsynligheten er 0,80 for Grete. Vi regner med at de gjør lekser uavhengig av hverandre. Vi velger tilfeldig en matematikktime. a) Lag et valgtre med mulighetene. b) Hva er sannsynligheten for at de begge har gjort leksa? c) Hva er sannsynligheten for at verken Hans eller Grete har gjort leksa? d) Hva er sannsynligheten for at minst én av dem har gjort leksa? e) Hva er sannsynligheten for at akkurat én av dem har gjort leksa? 9. Oppgave 9.8 En vanlig terning har vist en ener tre ganger på rad, og det er din tur til å kaste. Hvilket av følgende alternativer angir sannsynligheten for at terningen viser en ener når du nå kaster? Grunngi svaret Oppgave 9.9 I klasse STE er det 3 gutter og 7 jenter. En morgen klassen har naturfag, stiller læreren seg i døra og hilser på hver elev. Vi antar at elevene kommer i tilfeldig rekkefølge. a) Hva er sannsynligheten for at den første eleven som kommer, er ei jente? b) Hva er sannsynligheten for at den andre eleven som kommer, er en gutt når den første var ei jente? c) Læreren har en matematikkgruppe som skal ha prøve seinere på dagen. I denne gruppen er det 9 gutter og 6 jenter. Elevene kan levere prøven med en gang de er ferdige. I denne klassen er rekkefølgen som elevene leverer i, helt tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at de to første som leverer, er jenter? Oppgave 9.0 I en sportsforretning står det ei eske med luer. Eska inneholder 3 blå og røde luer. Unni trekker tilfeldig ut luer. a) Hva er sannsynligheten for at Unni trekker ei blå og ei rød lue? b) Hva er sannsynligheten for at begge luene har samme farge? 464 Sinus T > Sannsynlighetsregning Sinus T book.indb :4:40

18 Oppgave 9. I en dyp og mørk skuff ligger det tre par svarte, seks par mørkeblå og ni par mørkegrå sokker. a) Ole trekker tilfeldig et par sokker fra skuffen. ) Hva er sannsynligheten for at paret er svart? ) Hva er sannsynligheten for at paret er grått? 3) Hva er sannsynligheten for at paret er blått eller grått? b) Seinere er alle de svarte sokkene ute av skuffen, mens alle de mørkeblå og mørkegrå sokkene ligger igjen. Ole trekker tilfeldig to par fra skuffen. ) Hva er sannsynligheten for at begge parene er blå? ) Hva er sannsynligheten for at han trekker to par med hver sin farge? 9.6 Oppgave 9. (Eksempel 009) Du kaster to terninger. Hva er sannsynligheten for at du får akkurat én sekser? Oppgave 9.3 (Eksamen V-00) Figuren ovenfor viser et lykkehjul. ) Lise snurrer hjulet én gang. Hva er sannsynligheten for at pila peker på enten blått eller grønt felt når hjulet stopper? ) Lotte snurrer hjulet to ganger. Hva er sannsynligheten for at pila peker én gang på gult felt og én gang på grønt felt? Oppgave 9.4 (Eksamen H-00) I en twistpose er det twistbiter. Per liker 6 av disse. Vi trekker tilfeldig twistbiter fra posen. ) Finn sannsynligheten for at Per liker begge twistbitene vi trekker. ) Finn sannsynligheten for at Per bare liker én av twistbitene vi trekker. Oppgave 9. (Eksamen V-0) De 0 elevene i klasse A planlegger sommerferien. 6 elever har fått sommerjobb. 0 av elevene som har fått sommerjobb, skal også på ferie. elever har ikke fått sommerjobb og skal heller ikke på ferie. ) Systematiser opplysningene i teksten ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram. ) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev fra klasse A skal på ferie. Oppgave 9.6 (Eksamen H-0) Eva har én pakke blåbærgelé, to pakker kiwigelé, to pakker sitrongelé og tre pakker bringebærgelé. Hun tar tilfeldig to pakker gelé. ) Hva er sannsynligheten for at den første pakken hun tar, er kiwigelé? ) Hva er sannsynligheten for at hun tar to pakker kiwigelé? 3) Hva er sannsynligheten for at hun tar én pakke kiwigelé og én pakke blåbærgelé? 46 Sinus T book.indb :4:40

19 Oppgave 9.7 (Eksamen H-0) Line har tre blå, to røde og én grønn tusj i pennalet sitt. Hun trekker tilfeldig to tusjer. ) Bestem sannsynligheten for at hun ikke trekker den grønne tusjen. ) Bestem sannsynligheten for at hun trekker én blå og én rød tusj. Oppgave 9.8 (Eksamen V-0) I klasse A er det 0 elever. av elevene spiller fotball, og 0 spiller håndball. Én elev spiller verken fotball eller håndball. Fra klassen velger vi tilfeldig én av elevene som spiller fotball. Bestem sannsynligheten for at denne eleven i tillegg spiller håndball. Oppgave 9.9 (Eksamen H-0) I klasse A er det elever. av elevene har valgt fysikk neste skoleår. 4 av elevene har valgt biologi. 4 elever har verken valgt fysikk eller biologi. a) Systematiser opplysningene i en krysstabell eller i et venndiagram. b) Vi velger tilfeldig en elev fra klassen. Bestem sannsynligheten for at eleven har valgt både fysikk og biologi. c) Vi velger tilfeldig en elev som har valgt biologi. Bestem sannsynligheten for at eleven også har valgt fysikk. Oppgave 9.30 (Eksempel 0) Siri har brune, røde, blå, hvite og rosa sokker i en skuff. En dag tar hun tilfeldig to sokker fra skuffen. a) Bestem sannsynligheten for at hun tar to rosa sokker. b) Bestem sannsynligheten for at hun tar én rosa sokk og én sokk som har en annen farge. Oppgave 9.3 (Eksempel 0) Ifølge værmeldingen er det 0 % sannsynlighet for at det regner på lørdag. 30 % sannsynlighet for at det regner på søndag. Lag et valgtre og bestem sannsynligheten for at det regner i løpet av helga. Oppgave 9.3 (Eksamen V-03) I ei eske er det tre røde og to blå kuler. Sondre trekker tilfeldig to av kulene. Bestem sannsynligheten for at de to kulene han trekker, har samme farge. MED HJELPEMIDLER Oppgave Vi skal nå simulere kast med to terninger. a) Hvilke utfall har vi for summen av tallet på øyne når vi kaster to terninger? b) Gå til kapittel 9 på Sinus-sidene for T. Last ned og åpne GeoGebra-fila «Sum av to terninger». La tallet på kast være 000. Oppdater resultatet noen ganger ved å trykke på F9. Hvilken sum av tallet på øyne på de to terningene ser ut til å dukke opp oftest? c) Lag en krysstabell over alle mulige utfall av summene, og forklar det du observerte i oppgave b. 466 Sinus T > Sannsynlighetsregning Sinus T book.indb :4:40

20 Oppgave På en prøve i matematikk var det to vanskelige oppgaver A og B. Av de 7 elevene i klassen var det 7 som klarte både A og B. elever klarte A, men ikke B. 3 elever klarte B, men ikke A. a) Hvor mange klarte verken oppgave A eller oppgave B? b) Hvor mange klarte ikke oppgave A? c) Hvor mange klarte ikke oppgave B? d) Vi velger tilfeldig en elev fra klassen. Hva er sannsynligheten for at ) eleven klarte både A og B ) eleven verken klarte A eller B 3) eleven klarte bare den ene av de to oppgavene Oppgave Heidi er en god målvakt i håndball. Sannsynligheten for at hun redder et straffekast, er 0,40. I en kamp fikk motstanderlaget tre straffekast. Finn sannsynligheten for at a) Heidi reddet alle tre straffekastene. b) Heidi reddet de to første straffekastene, men ikke det siste. c) Heidi slapp inn alle tre straffekastene. d) Heidi reddet minst ett straffekast. 9. Oppgave I en matematikkgruppe er det 4 elever, 4 jenter og 0 gutter. Blant jentene er det 8 som har karakteren 4 eller bedre i faget. Blant guttene er det som har 4 eller bedre. Vi trekker tilfeldig én elev fra denne gruppen og innfører disse hendingene: G: Eleven er en gutt J: Eleven er ei jente F: Eleven har karakteren 4 eller bedre i faget a) Finn P(J ) og P(F ). b) Finn P(F G) og P(F G). c) Finn P(F J ) og P(G F). d) Er J og F uavhengige hendinger? Oppgave (Eksamen V-00) En undersøkelse fra Norges Optikerforbund viser at i aldersgruppen 9 år er det 4,3 % som bare bruker briller 7, % som bare bruker kontaktlinser 9,7 % som bruker både kontaktlinser og briller a) Lag en systematisk oppstilling (diagram eller tabell) for å illustrere opplysningene i teksten ovenfor. b) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person i gruppen ikke bruker briller. c) En tilfeldig valgt person i gruppen bruker briller. Finn sannsynligheten for at denne personen også bruker kontaktlinser. 468 Sinus T > Sannsynlighetsregning 8 Sinus T kap9 oppgavedel.indd :07:6

21 Oppgave 9.30 (Eksamen V-0, a c) «Stein saks papir» er en konkurranse mellom to personer. Hver person bestemmer seg for enten stein, saks eller papir, og begge viser så samtidig, ved å bruke den ene hånda, hva de har valgt. Se figuren nedenfor. Saks slår papir Oppgave 9.3 (Eksamen V-0) Karen har brune, røde, blå, hvite og rosa sokker i en skuff. En dag tar hun tilfeldig to sokker fra skuffen. a) Bestem sannsynligheten for at hun tar to rosa sokker. b) Bestem sannsynligheten for at hun tar én rosa sokk og én sokk i en annen farge. c) Bestem sannsynligheten for at hun tar to sokker med samme farge. Stein slår saks Papir slår stein Bård og Lars skal spille «Stein saks papir». Ett mulig utfall kan da for eksempel bli at Bård velger stein, og at Lars velger papir. a) Lag en oversikt som viser alle de ni mulige utfallene når Bård og Lars spiller «Stein saks papir» én gang. La B bety seier for Bård, U uavgjort og L seier for Lars. b) Forklar at sannsynligheten for at Bård vinner, er P(B) = 3. Oppgave 9.3 (Eksamen V-03) 4000 menn og 6000 kvinner deltar i en undersøkelse. Det viser seg at 8 % av mennene og % av kvinnene som deltar i undersøkelsen, er fargeblinde. a) Regn ut hvor mange fargeblinde personer det er som deltar i undersøkelsen, og bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person som deltar i undersøkelsen, er fargeblind. Tenk deg at vi samler de fargeblinde personene som deltar i undersøkelsen, i en gruppe. Fra denne gruppen velger vi tilfeldig én person. b) Bestem sannsynligheten for at vi velger en kvinne. Bård og Lars skal spille «Stein saks papir» tre ganger. Et mulig resultat er da BUL, som betyr at Bård vinner første gang, at det blir uavgjort andre gang, og at Lars vinner tredje gang. c) Hvor mange ulike resultater kan vi få når Bård og Lars spiller tre ganger? 469 Sinus T book.indb :4:4

22 8.73 a) Toppunkt: (0, 6) Bunnpunkt: (3, ) Grafen stiger når x < 0 og når x > 3. Grafen synker når 0 < x < 3. b) Toppunkt: (, 49) Bunnpunkt: ( 3, 76) Grafen synker når x < 3 og når x >. Grafen stiger når 3 < x <. c) Toppunkt: (0, ) Bunnpunkter: (, ) og (, ) Grafen synker når x < og når 0 < x <. Grafen stiger når < x < 0 og når x > Ingen bunnpunkter eller toppunkter 8.7 Bunnpunkt: (, ) 8.80 a) Toppunkt: (, 9) Bunnpunkter: (0, ) og (, 0) b) 9 og a) Toppunkt: (0, 3000) Bunnpunkter: (0, 400) og (, 80) b) 3000 og , m 8.83 a) år b) 8 år c) Avtar med 8 dyr per år ,4 cm, 6,6 liter m m m 3,33 m 8.93 c) (, 6) d) Sidekant: dm Høyde: dm Terning 8.94 Radius: 0,4 dm Høyde:,08 dm Sylinderen har minst overflate. 9.0 a) 0,486 b) 0,4 9.0 a) b) 9. a) ,0 b) Rød, grønn, blå 7 og hvit ,0 og 0, a) , a) 36 c) a) a) b) 0,4 b) b) a) 0,7 b) 0, b) 00 c) 9 d) b) b) 4 9. a) a) a) 8 c) 3 c) 4 b) 36 b) b) 6 d) c) 8 c) 9 00 c) a) 0,36 b) 0,38 c) 0, b) 0,008 c) 0,384 d) 0, e) 0, a) a) b) ,6 b) 4 c) 3 b) 9 c) 94 4 d) a) 0,998 b) 0, a) 0,94 b) 0,706 c) 7 9 d) 7 4 e) 478 Sinus T book.indb :6:4

23 9.43 a) Økonomi Ikke økonomi Sum Geometri Ikke geometri 3 Sum 8 7 b) 3 c) 6 d) 9.44 a) Liker leverpostei Liker kaviar Liker ikke kaviar Liker ikke leverpostei Sum Sum 8 30 b) 0 c) 4 d) a) Fjelltur Ikke fjelltur I alt Båttur 8 7 Ikke båttur 3 I alt c) d) e) a) Appelsiner Ikke appelsiner f) 7 40 Sum Epler Ikke epler Sum b) 4 c) 4 d) a) ) Influensa Ikke influensa Omgangssyke Ikke omgangssyke e) Sum 7 6 Sum 6 8 ) b) ) 8 ) 4 3) 9 4 4) a) 0, b) 0,7 c) 0,3 9. a) 0, b) 0,34 c) 0,08 9. a) 0,90 c) 0,0 d) 0,8 e) 0,8 9.3 b) 0, c) 0,38 d) 0, b) 0,73 c) 0,7 9. b) 0, c) 0,08 d) 0, b) 0,90 c) 0,0 d) 0,77 e) 0,99 (0,98) 9.7 b) 0,8 c) 0,8 d) 0,8 9.8 a) 0,73 b) 0,00 c) 0,999 d) 0,4 9.9 a) 0,4 b) 0,4 c) 0,4 d) 0, a) a) a) a) 9.6 a) 9.00 a) b) 7 b) 3 0 b) 8 b) 8 b) 4 4 b) 8 c) 3 c) 3 c) 3 8 c) a) 0,0 b) a) 9.0 a) b) 7 3 b) a) 0,8 b) 0,78 c) a) Jenter Gutter Til sammen Har ekstrajobb Har ikke ekstrajobb Til sammen b) 9.09 b) ) 4) 3 c) 7 ) 8 ) d) 3 3) a) Facebook Ikke Facebook I alt Twitter 0 Ikke Twitter 60 8 I alt b) ) 0 ) 0 3) a) Jenter Gutter I alt Mer enn fem fraværsdager Mindre eller lik fem fraværsdager I alt 6 8 b) 9 8 c) Sinus T book.indb :0:9

24 9. a) 7 b) b) 0,36 c) 0,6 d) 0, ,68 9. b) ) ) b) 0,48 c) 0,08 d) 0,9 e) 0, a) a) 8 9. a) ) 6 b) ) ) ) 9. ) ) ) b) 3 9 b) 3 8 ) ) 8 3 ) 6 ) ) 8 ) 3) 7 8 c) 7 3) 6 3) a) Fysikk Ikke fysikk Sum Biologi 9 4 Ikke biologi 7 4 Sum 3 b) 9.30 a) ,6 9.3 c) 4 b) a) Utfallene for summen er, 3, 4,, 6, 7, 8, 9, 0, og. b) Vi får oftest summen a) 3, 4,, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3, 4,, 6, 7 og 8. b) Summene 0 og har begge sannsynligheten 8. c) Det er én kombinasjon som gir summen 3, tre kombinasjoner som gir summen 4, seks kombinasjoner som gir summen, osv. Tallet på kombinasjoner er lik trekanttallene opp til og med summen a) Du bør velge terning B. b) Sannsynligheten for å vinne over terning A med terning B er 0 = a) 78 % b) ) 0,8 ) 0,436 3) 0, a) 0,04 b) 0, a) 0,0 b) 0,04 c) 0,068 d) 0, a) b) c) 7 d) ) 7 ) 4 = 3) a) 0,06 b) 0,0 c) 0, d) 0, a) P( J )= 7 og P( F)= 3 4 b) P( F G) = 3 og 4 P( F G) = 4 c) P( F J) = 4 og P( G F) = 7 3 d) Nei a) Kontaktlinser Ikke kontaktlinser Sum Briller 9,7 % 4,3 % 4,0 % Ikke briller 7, % 68,8 % 76,0 % Sum 6,9 % 83, % 00 % b) P(briller) = 0,760 c) P( linser briller) = 0, a) Bård Lars Stein Saks Papir Stein U B L Saks L U B Papir B L U c) 3 33 = 7 resultater 9.3 a) 4 b) 6 4 c) a) 380 personer, 0,038 b) 0,6 00 Sinus T book.indb :0:40