Sannsynlighetsregning

Transkript

1 Sannsynlighetsregning 1

2 Sannsynlighet Mål for opplæringa er at eleven skal kunne formulere, eksperimentere med og drøfte enkle uniforme og ikkje-uniforme sannsynsmodellar berekne sannsyn ved hjelp av systematiske oppstillingar, og bruke addisjonssetninga og produktsetninga bruke omgrepa uavhengnad (bm.: uavhengighet) og vilkårsbunde (bm.: betinget) sannsyn i enkle situasjonar lage binomiske sannsynsmodellar ut frå praktiske døme, og berekne binomisk sannsyn ved hjelp av formlar og digitale hjelpemiddel

3 Hvorfor? Forretningsvirksomhet Forsikring Investering Spill Lotto: ipping ookmaker Ikke bli lurt/forstå verden Det er ikke så rart som du tror Aviser

4

5

6 Hva er sannsynlighet??

7 Vi kaster terning Utfallsrom? Hending Hva avgjør sannsynligheten for å få en sekser?

8 erningkast Vi arbeider i grupper på 3. Kast terningen 50 ganger. Fyll ut tabellen Antall 1 2 Antall tilfeller = hyppighet Relativ frekvens = hyppighet/terningkast Hva er sannsynligheten for å få en sekser? Hva er utfallsrommet?

9 Påska 2010

10 egnestiftkast Vi arbeider i grupper på 3. Kast tegnestiften 50 ganger. Fyll ut tabellen Antall Spiss opp Spiss ned Antall tilfeller = hyppighet Relativ frekvens = hyppighet/terningkast Hva er sannsynligheten for spiss opp? Hva er sannsynligheten for spiss ned? Hva er utfallsrommet? Hva er sannsynligheten for å få spiss opp eller spiss ned?

11 Sannsynlighet antall gunstige utfall P S = antall mulige utfall

12 Relativ frekvens

13 Sannsynlighetsmodeller Sannsynligheten for hvert utfall er et tall mellom 0 og 1 Summen av alle utfallene er 1. Andrej Nikolavitsj Kolmogorov Андре й Никола (1903 евич 1987)Колмогоров

14 Uniform ikke uniform sannsynlighetsmodell Hva betyr uniform? Finn eksempler Hva betyr ikkeuniform HVILKEN YPE ER DISSE FORSØKENE? Kast med terning observerer antall øyne Kast med tegnestift observerer om den lander med spissen opp eller ned Kast med pappbeger observerer om det lander på sida, topp eller bunn

15 Sum av sannsynligheter P A =P A P snitt = «og» P A hvis felles utfall Union ( = «eller») ikke noe felles utfall

16 Vi kaster terning Vi kaster to terninger. Hva er sannsynligheten for at minst en av dem viser 1?

17 Sum av sannsynligheter A: Den hvite terningen viser 1 : Den svarte terningen viser 1 11 P A = 36 P A =P A P P A = =

18 Vi kaster terning Vi kaster to terninger. Hva er sannsynligheten for at summen av terningene er enten 3 eller 6?

19 Sum av sannsynligheter A: Summen av terningene er 3 : Summen av terningene er 6 7 P A = 36 P A =P A P = =

20 Produktsetningen for uavhengige hendelser rekker ei kule og legger den tilbake A: første kule er rød : andre kule er grønn P(A)= P()= P(A )= 3 P A = 5 2 P = P A = P A P = =

21 Produktsetningen for avhengige hendelser rekker ei kule og legger den IKKE tilbake A: første kule er rød : andre kule er grønn P(A)= P( A)= P(A )= 3 P A = 5 2 P A = P A = P A P A = =

22 Avhengige - uavhengige P A =P A P P A =P A P A

23 etinga sannsynlighet J: Eleven er ei jente : Eleven har valgt 1 Jenter Gutter Sum P Sum P J = 17 «gitt at»

24 re P J = P J = P J = P J =P J P J J G P P Jenter Gutter Sum P Sum

25 Utvalg Ordna = rekkefølgen spiller en rolle Uordna = rekkefølgen uten betydning Med tilbakelegging = kan trekkes flere ganger Uten tilbakelegging = kan trekkes bare en gang

26 Kuler i ei urne Vi skal trekke to kuler

27 Ordna utvalg uten tilbakelegging HVOR MANGE?

28 Uordna utvalg uten tilbakelegging HVOR MANGE?

29 Utregninger Ordna utvalg uten tilbakelegging 3 kuler skal velge ut 2 Kan først velge mellom 3 kuler. Ved neste trekk kan vi velge mellom 2. otalt blir det 6 forskjellige kombinasjoner Uordna utvalg uten tilbakelegging Av de 6 kombinasjonen er det flere som er de samme hvis rekkefølgen ikke spiller noen rolle. o kuler kan vi sette samme på 2 forskjellige måter. Vi må derfor dele antallet på 2. il sammen 3 forskjellige kombinasjoner

30 inomialkoeffisienten Antall kombinasjoner med 10 kuler og 3 trekk I et uordna utvalg spiller ikke rekkefølgen noen rolle. De tre kulene vi trekker kan vi arrangere på 3! = 6 forskjellige måter. Vi har da: 6 antall uordna utvalg = antall ordna utvalg. Noe som gir oss svaret kombinasjoner. Vi kan også skrive det slik: 720 =120 6 På Nspire: ncr (n,r) 10 =120 3

31 inomisk forsøk to muligheter i hvert delforsøk: suksess/fiasko samme sannsynlighet for at de inntreffer uavhengige delforsøk

32 Kurvball En kurvballspiller (avbildet) treffer på 75% av alle frikastene. Han kaster fem frikast etter hverandre. Hva er sannsynligheten for at han treffer på to kast?

33 Kurvball En kurvballspiller (avbildet) treffer på 75% av alle frikastene. Han kaster fem frikast etter hverandre. Hva er sannsynligheten for at han treffer på to kast? han treffer på frikastet - han bommer på frikastet p = P() = 0.75 P() = 1 P() = 0.25 Sannsynligheten for å treffe på 2 kast og bomme på 3 P P P P P = Hvor mange? 5 =10 2

34 inomisk forsøk r n r n P S inntreffer r ganger = p 1 p r