Forelesning 4, kapittel 3. : 3.4: Betinget sannsynlighet.

Transkript

1 Forelesning 4, kapittel 3. : 3.4: Betinget sannsynlighet. Eksempel 1 (begrunnelse for definisjonen av betinget sannsynlighet): Hendelse A er "sum minst 8 på kast med 2 terninger" P(A) = 15/36 P(A) < 1/2 1

2 Hendelse B er "Femmer på første terning" (P(B)=1/6). Han kaster første terning, og hendelse B intreffer! Nå er sannsynligheten for at han skal klare å få hendelse A, sum minst 8, steget til 4/6. Sannsynligheten for A gitt B er 4/6 2

3 Generalisering: Antall enkelthendelser i S : #S = 36. Antall enkelthendelser i B : #B = 6. Antall enkelthendelser i snittet # = 4 Dette generaliseres til å være definisjonen av betinget sannsynlighet. 3

4 Oppsummering så langt I utgangspunktet er 2 og 3 bare varianter av definisjonen av betinget sannsynlighet. Nytten er at vi ofte direkte kjenner den betingede sannsynligheten, og kan bruke disse formlene til å regne sannsynligheten for snittet. Resten av forelesningen er eksempler på buk av dette. 4

5 Eksempel 2 Oppgaven: I en urne ligger 5 like kuler, 3 grønne og 2 røde. Vi skal trekke ut tilfeldig 2 av disse (uten tilbakelegging). Hva er sannsynligheten for at vi trekker ut 2 grønne kuler? Løsning: La hendelse A være at første kule er grønn. P(A)=3/5. La hendelse B være at andre kule er grønn. I utgangspunktet er også P(B)=3/5. At begge kulene er grønne er da hendelsen så vi skal regne ut sannsynligheten 5 1 Vi kan bruke variant 3 av definisjonen av betinget sannsynlighet til å løse oppgaven: P(A)=3/5. Hvis hendelse A intreffer, vil situasjonen før vi skal trekke andre kule være som i den nederste figuren, det er igjen 2 grønne og 2 røde. Sannsynligheten for å trekke grønn i denne situasjonen er 2/4, og det er den betingede sannsynligheten: En kontroll: Vi kan liste opp alle mulige utfall. Det er 20 av dem, og 6 av disse er to grønne: De lysegrå utfallene er umulige, da vi trekker uten tilbakelegging kan vi ikke trekke samme kule to ganger. 5

6 Eksempel 3: Under planelggingen av et gassanlegg har ingeniørene funnet ut at sannsynligheten for at det vil oppstå en gasslekasje (i løpet av et år) er Videre har de funnet ut at sannsynligheten for at det blir en gasseksplosjon hvis det skjer en gasslekasje er Hva er sannsynligheten for en gasseksplosjon på dette anlegget i løpet av et år? Løsning: Vi kan kalle hendelsen "gasslekasje" for A og hendelsen eksplosjon for B. Vi forutsetter her at det ikke kan skje noen eksplosjon hvis det ikke har lekket ut gass først. Dette betyr at B er en delmengde av A, Når B A så er A B = B Vi kan da regne ut sannsynligheten for B ved å gå veien om å regne ut sannsynligheten for A og B. Opplysningene i oppgaveteksten er at P(A)=0.05 og P(B A)=0.12, så ved bruk av variant 2 av definisjonen for betinget sannsynlighet får vi P(B) = P(A B) = P(A)P(B A) = = Det er ikke sikkert det er akseptabelt med 0.6% sannsynlighet for gasseksplosjon i løpet av et år, så det spørs om de ikke bestemmer seg for at de må investere mer i å redusere sannsynligheten for gasslekasje. Dette er gjerne bestemt av krav satt av myndighetene. Eksemplet her er selvsagt forenklet i forhold til en virkelig risikoanalyse, men denne typen beregninger er en viktig del av planleggingen av potensielt farlige anlegg (oljeplattformer, større byggverk, fly,...). 6

7 Eksempel 4 Falsk alarmproblemet. Bayes regel. La hendelse B være at det bryter ut brann i en bygning (i løpet av en måned). La hendelse A være at brannalarmen utløses. Anta videre at P(B) = (sannsynligheten for brannutbrudd), P(A B) = (sannsynligheten for at alarmen utløses hvis det brenner) P(Α Β ) = (sannsynligheten for at alarmen utløses hvis det ikke brenner, dvs. falsk alarm). 1) Hva er sannsynligheten for at alarmen utløses (i løpet av en måned). 2) Gitt at alarmen går, hva er sannsynligheten for at det brenner? Spørsmål 1: At "alarmen går" kan splittes opp i to "delhendelser" : At alarmen går og det brenner, eller at alarmen går og det brenner ikke: Kommentar: Hvis B 1, B 2,..., B n er en partisjon av utfallsrommet S kan dette generaliseres til setning 3.15 i læreboka, loven om total sannsynlighet: 7

8 Spørsmål 2 Denne formelen kalles Bayes regel (setning 3.16 i læreboka). Med tallene i dette eksemplet har vi da: Det vil si ar sannsynligheten for at det brenner når alarmen varsler er omtrent 17%. Det betyr at sannsynligheten for at det ikke brenner selv om alarmen kimer er ca. 83%! Dette kalles "falsk alarmproblemet", og er velkjent blant annet fra det medisinske fagområdet. For eksempel dopingtester av idrettsutøvere: "Alarmen" A er da positiv dopingprøve, mens B er at utøveren faktisk er dopet. Grunnen til at det taes "b prøve" er faren for "falsk alarm", det vil si at utøveren feilaktig straffes for doping. HIV testing, med A som positiv HIV test og B at pasienten faktisk har HIV, er et annet kjent eksempel. 8

9 Til slutt i denne forelesningen: Pensumoppgave 3.2. Før du begynner på neste forelesning bør du ihvertfall ha prøvd på oppgave 1, som er en rett fram utvidelse av eksempel 2, og oppgave 2, som skal brukes som innledningseksempel i forelesning 5 til kapittel 3. 9