Trekking uten tilbakelegging. Disjunkte hendelser (4.5) Forts. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Transkript

1 2 Trekking uten tilbakelegging ST0202 Statistikk for samfunnsvitere o Lindqvist Institutt for matematiske fag En bolle inneholder 7 kuler, 5 gule (Y) og to røde (). To kuler trekkes uten tilbakelegging, dvs. at det først trekkes en og at det så trekkes en til uten å legge den første tilbake. La A = den første kulen er gul (Y) = den andre kulen er gul (Y) Da er P(begge kulene er gule) =P(Aog)=P(A) P( A) = = Forts. 4 Disjunkte hendelser (4.5) To disjunkte (gjensidig utelukkende) hendelser: endelser definert slik at dersom en av hendelsene inntreffer, kan den andre ikke inntreffe. dvs. P(A og)=0 eller med Venn-diagram: P(en av hver farge) =P(Y)+P(Y )= = = P(to røde) =P() = = 2 42

2 vis vi har flere enn 2 hendelser, kalles disse parvis disjunkte ( mutually exclusive ) hvis hvert par av dem er disjunkte etter definisjonen på forrige slide. Eksempel: etrakt et eksperiment der to terninger blir kastet. Tre hendelser er definert: A: Summen av tallene på terningene er 7 : Summen av tallene på terningene er 10 C: egge terningene viser samme tall. Er disse tre hendelsene parvis disjunkte? A: Summen av tallene på terningene er 7 : Summen av tallene på terningene er 10 C: egge terningene viser samme tall. A og er disjunkte. A og C er disjunkte. og C er ikke disjunkte, fordi ogc=(5, 5) De tre hendelsene er dermed ikke parvis disjunkte (selv om alle tre ikke kan inntreffe samtidig). 7 Den spesielle addisjonsregelen Illustrasjon av den spesielle addisjonsregelen: For disjunkte hendelser A og gjelder P(A eller ) =P(A)+P() Denne regelen kan generaliseres: For parvis disjunkte hendelser A,, C... E gjelder P(A eller eller C eller... eller E) =P(A)+P()+P(C)+...+P(E) er er A og disjunkte, og vi har: P(A eller ) =P(A)+P()

3 Eksempel: Kast to terninger. va er sannsynligheten for at summen er 7 (hendelse A) eller at terningene er like (hendelse )? endelse A (grønn) og (blå) er disjunkte (inntreffer A kan ikke inntreffe og motsatt, se figur under). egelen over gir da P(A eller ) =P(A)+P() = = Uavhengige hendelser (4.6) Oppgave: Et par terninger blir kastet. endelsene er A=summen er 7, C=to like, E=summen er 8. a) vilke par av hendelser er disjunkte? b) Finn sannsynlighetene P(A eller C), P(A eller E), og P(C eller E) To hendelser A og er uavhengige hendelser hvis det at A har inntruffet (eller ikke har inntruffet) ikke påvirker sannsynligheten for at skal inntreffe, dvs. eller P(A) =P(A ) =P(A ) P() =P( A) =P( Ā) der er komplementet til, dvs. hendelsen at ikke inntreffer. Dersom den ene av linjene er oppfylt vil alltid den andre være det også. endelser som ikke er uavhengige, kalles avhengige.

4 usk den generell multiplikasjonsregel: P(A og)=p(a)p( A) Dersom A og er uavhengige, har vi P( A) =P(), så vi får: Den spesielle multiplikasjonsregel: P(A og)=p(a)p() Dette kan generaliseres til tilfellet med mer enn to uavhengige hendelser: For uavhengige hendelser A,, C... E gjelder P(A ogogcog... og E) =P(A) P() P(C)... P(E) 14 Eksempler på uavhengighet Kast en terning og en mynt. A er at terningen gir en 6er, er at mynten lander på Kron (). vorfor er P( A) =P()? va blir P(A og)? Kast en mynt to ganger. A er at mynten lander på i første kast, er at mynten lander på i andre kast. vorfor er P( A) =P()? va blir P(A og)? Trekk to kort fra en kortstokk, der kortet legges tilbake og det stokkes og trekkes et nytt. A er at det er en spar i første trekning, er at det er en hjerter i andre trekning. va er nå P(A), P( A) og P()? va blir P(A og)? Ville disse hendelsene være uavhengige dersom du ikke la tilbake det første kortet før du trakk det andre? 15 Trekking med tilbakelegging En bolle inneholder 7 kuler, 5 gule (Y) og to røde (). To kuler trekkes med tilbakelegging, dvs. at det først trekkes en kule, så legges denne tilbake, og det trekkes en kule til. La A = den første kulen er gul (Y) = den andre kulen er gul (Y) 16 Example 4.25 i boka En student blir trukket tilfeldig fra en populasjon bestående av 200 studenter hvorav 140 studerer fulltid (80 kvinner og 60 menn) og 60 studerer deltid (40 kvinner og 20 menn). La hendelse A være at studenten studerer fulltid og hendelse C at studenten er kvinne. a) Er hendelsene A og C uavhengige? b) Finn P(A og C) ved multiplikasjonsregelen Da er P(begge kulene er gule) =P(Aog)=P(A) P( A) = = siden vi nå har at: P( A) = 5 7 = P() er altså A og uavhengige.

5 A=fulltid C=kvinne P(A C) = P(A) = n(a) n(s) = = 0.7 P(C) = n(c) n(s) = = 0.6 n(a ogc) n(c) = = 0.67 A og C er avhengige siden P(A C) P(C). P(A ogc)=p(c)p(a C) = = = 0.4 P(A og C) kan også finnes direkte ved P(A ogc)= n(a ogc) n(s) = = Formel for betinget sannsynlighet Ved å stokke om på generell multiplikasjonsregel, P(A og)=p(a) P( A) får vi et uttrykk for sannsynligheten for hendelsen A gitt at hendelsen har inntruffet: P(A og) P( A) = P(A) Oppgave (eksamen høst 2005): va er sannsynligheten for at summen av to terninger er større enn eller lik 10 gitt at minst en av terningene er 6? A) 1/4 ) C) 5/11 D) 6/11 E)

6 21 Uavhengighet og disjunkthet (4.7) Uavhengighet og disjunkthet er begreper som ofte blandes. La A og være to hendelser med positive sannsynligheter P(A) og P(). AtAog er disjunkte, betyr at de ikke kan inntreffe samtidig, dvs. at P(A og)=0 AtA og er uavhengige betyr at sannsynligheten for ikke endrer seg dersom vi vet om A har inntruffet, dvs. at vi har Oppgave: Dersom P(A)=0.3 og P()=0.4 og A og er uavhengige hendelser. va er sannsynlighetene a) P(A og ) b) P( A) c) P(A ) P(A og)=p(a)p( A) =P(A)P() Men dette kan ikke være 0 da både P(A) og P() er positive. To hendelser kan defor ikke både være disjunkte og uavhengige. Oppgave: Trekk et kort fra en standard kortstokk. Definer tre hendelser A=kortet er knekt,dame eller konge =kortet er rødt C=kortet er hjerter Er følgende par av hendelser uavhengige? a)aog b)aogc c) og C Oppgave: Trekk et kort fra en standard kortstokk bortsett fra at kløver 2 mangler. Definer tre hendelser A=kortet er knekt,dame eller konge =kortet er rødt C=kortet er hjerter Er følgende par av hendelser uavhengige? a)aog b)aogc c) og C

7 25 ruk av sannsynlighetsregning La oss bruke reglene vi har vært igjennom. Eksempel: En boks inneholder en rød, en blå og en hvit kule. Trekk to kuler uten tilbakelegging. Utfallene og deres sannsynligheter kan finnes ved hjelp av et sannsynlighetstre. Sannsynligheten for et utfall finnes ved å multiplisere (betingede) sannsynligheter langs grenene: P(,)=P()P( ) osv. Sannsynligheten for en hendelse finnes ved å summere sannsynlighetene for de utfall som hører til hendelsen. Gren Utfall P (,) 1/6 (,) 1/6 (,) 1/6 (,) 1/6 (,) 1/6 (,) 1/6 Sannsynligheten for gren 1: P(, ) =P()P( ) = = 1/6 Sannsynligheten for hendelsen en rød og en blå kule : Gren 1 og gren 3 gir en rød og en blå kule, så addisjonsregelen gir: P(en rød og en blå kule) =1/6 + 1/6 = Gren Utfall P (,) 1/6 (,) 1/6 (,) 1/6 (,) 1/6 (,) 1/6 (,) 1/6 28 Eksempel: Kvalitetskontroll En produsent produserer en artikkel. I gjennomsnitt er 20% av artiklene defekte. ver artikkel blir kontrollert før den sendes ut. Kontrolløren feilklassifiserer artikkelen 10% av gangene. vilken andel av artiklene blir klassifisert som feilfrie? Definer følgende hendelser: G: Artikkelen er feilfri D: Artikkelen er defekt CG: Artikkelen er klassisfisert feilfri av kontrollør CD: Artikkelen er klassifisert defekt av kontrollør Tegn et trediagram.

8 G D Gren Utfall P CG 1 (G,CG) 0.72 CD CG CD (G,CD) 0.08 (D,CG) 0.02 (D,CD) 0.18 Artikkelen blir klassisfisert feilfri for gren 1 og gren 3. Dermed summeres sannsynligheten for gren 1 og gren 3: P(CG) = = Eksempel (forts.) Anta at bare artikler som blir klassifisert som feilfrie blir utsendt. va er andelen av feilfrie artikler blant de utsendte artiklene? P(G CG) = P(G ogcg) P(CG) = = Så kvalitetskontrollen øker andelen av feilfrie artikler fra 80% til 97.3%. 31 Loven om total sannsynlighet La A og Ā være komplementære hendelser, mens er en annen hendelse. Da er: P() =P( oga)+p( ogā) = P( A)P(A)+P( Ā)P(Ā) 32 ayes formel P(A og) P(A ) = = P() P(A)P( A) = P(A)P( A)+P(Ā)P( Ā) ved generell multiplikasjonsregel i teller og loven om total sannsynlighet i nevner.

9 33 Testing for sykdom En person testes for en bestemt sykdom. S= personen har sykdommen T= testen er positiv For medisinske tester kjenner man: P(T S): sannsynligheten for at testen slår ut positivt, gitt at personen er syk (sensitiviteten til testen). Ønskes høyest mulig. P( T S): sannsynligheten for at testen slår ut negativt, gitt at personen er frisk (spesifisitet). Ønskes høyest mulig Interessant for pasienten: P(S T ): sannsynligheten for at du er syk, gitt at du har fått en positiv test. P( S T ): sannsynligheten for at du er frisk, gitt at du har fått en negativ test. 34 Eksempel: IV-test va er sannsynligheten for at en person med positiv IV-test virkelig er IV-smittet? Anta Sensitivitet av testen: P(T S)= 0.98 Spesifisitet av testen: P( T S)= P(S T ) finnes ved P(S ogt) P(T S)P(S) P(S T )= = P(T ) P(T S)P(S)+P(T S)P( S) P(T S)P(S) = P(T S)P(S)+(1 P( T S))(1 P(S)) Svaret er avhengig av forekomsten av IV i populasjonen, P(S): P(S) P(S T) P(S) = = (Dagbladet febr 2003, 1900 smittet av IV i Norge (av ), dvs ca 0.5 promille.) Dette gir et problem ved masseunderskelser. De fleste av personene med positiv prøve kan faktisk være friske. 36 Eksempel: Dopingtesting En viss type doping forekommer i 1% av populasjonen. Testen kan påvise dette i 95% av tilfellene hvor personen er dopet, men påviser det også feilaktig i 2% av tilfelllene hvor personen ikke er dopet. va er sannsynlighenten for at personen er dopet om testen er positiv? La D=personen er dopet A=testen er positiv

10 P(D)=0.01 P(D )=0.99 D D P(A D)=0.95 P(A D)=0.05 P(A D )=0.02 P(A D )=0.98 Gren Utfall P A 1 (D,A) A A A (D,A ) (D,A) (D,A ) P(D oga) P(D A) = = P(A) P(D)P(A D) = P(D)P(A D)+P(D )P(A D ) = p = p 1 + p = 0.32