Testobservator for kjikvadrattester

Transkript

1 ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 11: Anvendelser av kjikvadratfordelingen: Kjikvadrattester Situasjon: t tilfeldig utvalg av n individer er trukket fra en populasjon. Hvert individ kan klassifiseres ifølge en kategorisk variabel med k mulige verdier, og det telles opp hvor mange (O) som faller i hver kategori (observerte frekvenser). Disse skal så sammenlignes med forventede frekvenser () ifølge den teori som skal testes. Kategorier kalles ofte celler i tabeller som den nedenfor. k kategorier k Totalt Observerte frekvenser O 1 O 2 O 3 O k n Forventede frekvenser k n 3 Testobservator for kjikvadrattester k celler k Totalt Observerte frekvenser O 1 O 2 O 3 O k n Forventede frekvenser k n Hvis (null)hypotesen som svarer til de forventede frekvenser er sann, vil χ 2 være kjikvadratfordelt med df frihetsgrader, som avhenger av situasjonen. Hvis χ 2 blir for stor vil vi forkaste nullhypotesen. ksempel med terningkast: Kast en terning 60 ganger, observer antall 1 ere, 2 ere... osv. Vi vil teste nullhypotesen at terningen er korrekt, dvs. at sannsynlighetene er 1/6 for hvert antall øyne. Forventede frekvenser under denne hypotesen er Antall øyne Observerte frekvenser Forventede frekvenser

2 Beregning av testobservator: Øyne O O- (O ) 2 (O ) 2 / Totalt n60 n dvs. at χ r dette et stort tall? Vi kommer tilbake til dette, siden vi her har et spesialtilfelle av multinomiske eksperimenter - se neste side: 6 ultinomiske eksperimenter (11.3) 1. n identiske uavhengige forsøk. 2. Utfallet av hvert forsøk havner i en av k mulige kategorier (celler) 3. Sannsynlighetene for å havne i hver kategori er konstante i hele forsøket. p 1 er sannsynligheten for å falle i kategori 1, osv. Vi må ha at p 1 + p p k 1 4. ksperimentet resulterer i et sett av observerte frekvenser O 1, O 2,, O k ( med sum lik n) Vi sier at (O 1, O 2,...,O k ) er multinomisk fordelt med n forsøk og sannsynligheter p 1, p 2,, p k Vi tester nullhypoteser av formen H 0 : p 1, p 2,...,p k har gitte verdier mot alternativet H a at minst en p-ene har en annen verdi. De forventede frekvenser når H 0 gjelder er: 1 np 1, 2 np 2,..., k np k ( med sum lik n) Det grunnleggende fordelingsresultat er nå at hvis H 0 gjelder, er testobservatoren kjikvadratfordelt med df k 1 frihetsgrader. Analyse av terningeksemplet I terningeksemplet hadde vi n 60, k 6, og testet nullhypotesen at alle p ene er lik 1/6, dvs. at alle -ene er lik 60 1/6 10. Hypotestetest ved bruk av p-verdi: p verdi P(χ 2 >χ 2 )P(χ 2 > 2.2) der χ 2 er kjikvadratfordelt med frihetsgrader. p-verdien er større enn signifikansnivå α0.05, og nullhypotesen forkastes ikke.

3 & $ " ' " ( # ) # * % $ ( " " $ T g h i b o V ` \ ` ^ U e e U a X _ U V p a a U V U a H I F ; A : ; ; > q Z [ ` a ` e \ W n Z [ [ U c X V [ ` W \ U j r m X \ U W U a X Y ` \ ^ ` V a J k L s O P 9 O R [ _ Z a a U V X ] Y U a a ] n V e Z [ U Y r U \ Z e c ` W \ e U ] U a k Analyse av terningeksemplet Hypotetsetest ved bruk av kritisk verdi: H 0 forkastes med signifikansnivå α hvis χ 2 >χ 2 (k 1,α). Vihar χ 2 (5, 0.05) 11.1 og siden χ < 11.1 kan vi ikke forkaste nullhypotesen. Oppgave: n produsent av poleringsmiddel for gulv utførte et eksperiment for å finne ut hvilket av 5 poleringsmidler som hadde det beste resultatet. t utvalg med 100 konsumenter betraktet fem overflater behandlet med de ulike poleringsmidlene. Hver konsument indikerte hvilken av de 5 overflatene som var finest. Svarene fordelte seg slik: poleringsmiddel A B C D frekvens a) Sett opp nullhypotesen for konsumentene har ingen spesiell preferanse b) Hvilken testobservator vil du bruke for å teste nullhypotesen? c) Fullfør hypotesetesten med α 0.1 Løsning Fra eksamen 9. desember H 0 : p barn 375/1500,p kvinne 607/1500,p mann 522/1500 H A 9 : : ; < > : A B C C D : > F G :? p I ; ;! " # # K L L N O Q S R Q L O L Q * $ + " ' " H 0 U V V Z [ \ Z ] U V \ U W \ X ^ W U V _ ` \ X V U a U V W X Y, & " $ - " - ". " " $ $. - / 0 1 χ 2 (O i i ) 2 i χ 2b c X V d U e \ Y U d f c V Z j U \ W ] V ` d U V l [ W U m \ X Y V n d U ^ e Z V (0,χ 2 (2, 0.05)) (0, 5.99)k χ 2 (O i i ) 2 i 3.26 H 0 k W X Y U V Z ` [ W U m \ X Y V n d U \ X ] U a ^ U j X e d U V

4 13 Inferens i kontingenstabeller (krysstabeller) (11.4) Individene klassifiseres nå etter to faktorer (kjennetegn). Ønsker å undersøke om faktorene er uavhengige. 14 Uavhengighetstesten Hypoteser i uavhengighetstesten: H 0 : Fagpreferanse (S, SS eller H) er uavhengig av kjønn. H a : Fagpreferanse er avhengig av kjønn. Bruker igjen kjikvadratobservatoren med forventede frekvenser beregnet for hver celle ved: radsum kolonnesum totalt antall i utvalg Begrunnelse for forventede responser: Ved uavhengighet skulle vi forvente at sannsynligheten for at en uttrukket er ale med område S er lik sannsyligheten for ale multiplisert med sannsynligheten for S, dvs Forventet antall uttrukne med denne kombinasjonen ville i så fall være

5 18 Frihetsgrader ved kontingenstabeller: df (r 1) (c 1) der r er antall rader og c er antall kolonner i tabellen. I eksempel: df (2 1) (3 1) Klassisk metode med signifikansnivå 5%: Forkast H 0 hvis χ 2 >χ 2 (2, 0.05) 5.99, dvs. ikke forkast. Homogenitetstesten Tilfeldige utvalg fra r 3 populasjoner, klassifisert i c 2 kategorier. H 0 : Andelen stemmeberettigede som er for lovforslaget er den samme i alle de tre bostedsgruppene H a :... er ikke den samme i alle de tre bostedsgruppene etode med p-verdi: p-verdi P(χ 2 > 4.61) 0.10 i Tabell 8, så p-verdi er ca Beregner forventede frekvenser som for uavhengighetstesten, f.eks. for øverste venstre celle: Antall frihetsgrader er som for uavhengighetstesten, dvs. df (r 1) (c 1) (3 1) (2 1) 2 p-value P(χ 2 > 91.72) ,såH 0 forkastes klart med alle tenkelige signifikansnivå!