Kap. 12: Variansanalyse

Transkript

1 2 Kap. 12: Variansanalyse Situasjon: c populasjoner, hver med sitt populasjonsgjennomsnitt μ i. Vi tester ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag H 0 : Alle populasjonene har samme gjennomsnitt, dvs. μ 1 = μ 2 =...= μ c H a : Ikke alle populasjonsgjennomsnittene er like. Tilfellet med to populasjoner ble behandlet i kap. 10. Eksempel 12.1: Effekt av temperatur på produsert antall. Temperaturnivå 68 o F 72 o F 76 o F Populasjon nr. i = 1 i = 2 i = 3 Utvalg Populasjons- μ 1 μ 2 μ 3 gjennomsnitt Vil teste: H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 Fra kapittel 10: Testet H 0 : μ 1 = μ 2 mot μ 1 μ 2 t = x 1 x 2 μ 1 μ 2 s 2 1 n 1 + s2 2 n 2 Med flere enn to populasjoner, dvs. H 0 : μ 1 = μ 2 =...= μ c kunne man teste to og to μ-er, men det ville bli mange tester å utføre. Isteden testes ved såkalt variansanalyse ANOVA, der det regnes ut én testobservator som kombinerer informasjon fra alle utvalgene.

2 5 ANOVA Antagelser: c populasjoner skal sammenlignes populasjonsgjennomsnittene er μ 1,μ 2,...,μ c populasjonsvariansene σ 2 er de samme for alle populasjonene populasjonene antas normalfordelte populasjonene svarer ofte til ulike nivåer av en faktor, f.eks. temperatur vi har tilfeldige og uavhengige utvalg fra hver populasjon, av størrelse henholdsvis k 1, k 2,...,k c Eksempel 12.1: Effekt av temperatur på produsert antall. Temperaturnivå 68 o F 72 o F 76 o F Utvalg nr. i = 1 i = 2 i = Utvalgsstørrelse k 1 = 4 k 2 = 5 k 3 = 4 Kolonnesum C 1 = 41 C 2 = 35 C 3 = 15 Utvalgs- x 1 = x 2 = 7.0 x 3 = 3.75 observatorer s1 2 = s2 2 = s2 3 = Populasjons- μ 1 μ 2 μ 3 parametre σ σ σ Intuitivt: Forkast H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 dersom x 1, x 2, x 3 er tilstrekkelig forskjellige. 7 Kvadratsummer Sums of Squares Total Sum of Squares SStotal = x x 2 = x 2 x 2 n der n er det totale antall observasjoner i alle utvalgene x er gjennomsnittet av alle observasjonene grand mean det summeres over alle de n observasjonene Merk: Hvis dette divideres med n 1 får vi den vanlige s 2. Sum of Squares Due to Factor SSfactor = k 1 x 1 x 2 + k 2 x 2 x 2 + k 3 x 3 x 2 + der k i er antall i utvalg nr. i, x i er gjennomsnitt i utvalg nr. i og x er grand mean. Fortolkning: SSfactor blir stor hvis det er stor forskjell mellom populasjonsgjennomsnittene, dvs. stor SSfactor tyder på at H 0 skal forkastes. SSfactor fortolkes som variasjon mellom populasjoner. Regneformel fra boka: SSfactor = 2 + C2 2 + x 2 k 1 k 2 k 3 n der C i er kolonnesummer, og n og x gjelder observasjonene i alle utvalgene.

3 Sum of Squares Due to Error SSerror =k 1 1 s 2 1 +k 2 1 s 2 2 +k 3 1 s der k i er antall i utvalg nr. i, s 2 i er utvalgsvarians i utvalg nr. i. Fortolkning: SSerror fortolkes som variasjon innen populasjoner. Hvis den divideres med n c er den et punktestimat for populasjonsvariansen σ 2. Regneformel fra boka: SSerror = x C2 2 + k 1 k 2 k 3 der C i er kolonnesummer, og x 2 gjelder observasjonene i alle utvalgene. Frihetsgrader for kvadratsummene: Generelle sammenhenger: Mean Squares: dftotal = n 1 dffactor = c 1 dferror = n c SStotal = SSfactor + SSerror dftotal = dffactor + dferror MSfactor = SSfactor dffactor MSerror = SSerror dferror Merk at MSerror er et punktestimat for σ 2. Mean Square for Factor Mean Square for Error 11 Testobservator for ANOVA F = MSfactor MSerror Hvis H 0 gjelder har F en F -fordeling med df 1 = c 1og df 2 = n c frihetsgrader. ANOVA-tabell: Kilde df SS MS F P Factor dffactor SSfactor MSfactor F p-value Error dferror SSerror MSerror Total dftotal SStotal Eksempel 12.1 forts: Effekt av temperatur på produsert antall. Her er x 2 = = 731 og x = = 91 slik at SStotal = x 2 x 2 = = = 94 n 13 2 SSfactor = + C2 2 + x 2 k 1 k 2 k 3 n = = 84.5 SSerror = SStotal SSfactor = = 9.5 eller bruk egen formel

4 ANOVA-tabell: Kilde df SS MS F P Temperatur Error Total F = MSfactor MSerror = = Hvis H 0 gjelder har F en F -fordeling med df 1 = 3 1 = 2og df 2 = 13 3 = 10 frihetsgrader. Tabell 9A: Med α = 0.05 forkastes H 0 hvis F > F 2, 10, 0.05 =4.10, dvs. klar forkastning. p-verdi: PF > = fra CD. Eksempel: Sammenligning av slaglengde for ulike typer golfballer. Type Utvalg Sum C i Gj. snitt x i Populasjons- μ 1 μ 2 μ 3 μ 4 μ 5 gjennomsnitt Vil teste: H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4 = μ 5 Idé bak ANOVA 12.3 MSfactor er et mål for variasjonen mellom populasjonene MSerror er et mål for variasjonen innen populasjonene F er forholdet mellom disse, og vi forkaster H 0 hvis dette blir for stort. x 2 = = x = = 5575 SStotal = x 2 x 2 = = n 20 2 SSfactor = + C2 2 + C2 4 + C2 5 x 2 k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 n = = SSerror = SStotal SSfactor = =

5 ANOVA-tabell: Kilde df SS MS F P Balltype Error Total F = MSfactor MSerror = = 2.47 Hvis H 0 gjelder har F en F -fordeling med df 1 = 5 1 = 4og df 2 = 20 5 = 15 frihetsgrader. Oppgave: Gitt følgende utvalg fra tre populasjoner: Populasjon x Beregn en komplett ANOVA-tabell! Tabell 9A: Med α = 0.05 forkastes H 0 hvis F > F 4, 15, 0.05 =3.06, dvs. vi forkaster ikke H 0. p-verdi: PF > 2.47 = fra CD. Fra eksamen 16. desember 2006 Oppgave 3 Rottegift blir vanligvis laget ved å blande gift med havremel. I byområer kan imidlertid rottene ofte nne mat som de foretrekker før havremel, slik at giften forblir urørt. En løsning er å tilsette mat som smør eller kjøtt. Dette er eektivt, men kostnaden er høy og maten skjemmes fort. Hensikten med eksperimentet beskrevet her er å nne ut om kunstige smakstilsetninger har lignende eekt. Det ble lagt ut lokkemat med re smaker: smakløs, vanilje, kjøtt og brød. Alle typer lokkemat ble lagt i nærheten av hverandre slik at en rotte ville ha lik tilgang til alle re. Dette ble gjort i 5 ulike områder, og to uker etter at lokkematen ble lagt ut ble det registrert hvor stor andel av lokkematen som hadde blitt spist. Resultatene i prosent er oppsummert under. område smakløs vanilje kjøtt brød Løsning: Oppgave 3 a H 0 :Forventningen er den samme for de 4 populasjonene. H 1 : Minst en populasjon har forskjellig forventning. F = MSfactor MSerror, dvs ikke grunnlag for å forkaste H 0. SSfactor/4 1 = =0.757 <F3, 16, 0.05 = 3.24 SSerror/20 4 Det er oppgitt at SSfactor= og SSerror = a Utfør en variansanalyse for å teste om det er forskjell mellom ulike smakstilsetninger med hensyn på andel lokkemat som er spist. Bruk signikansnivå 5%.

6 Løsning forts.: b For alle smakstilsetningene er det spist klart mest i område 3. Dette tyder på at de re utvalgene ikke er uavhengige, men at de har et felles områdespesikt tilfeldig element. Fra eksamen 16. desember 2006 forts. Oppgave 3 b Hva er det med andelene som tyder på at ikke alle antagelsene gjort i variansanalysen over er oppfylt? c Betrakt utvalget for smakløs lokkemat og utvalget for lokkemat med vaniljesmak. Er de to utvalgene uavhengige? Test om forventningene er like for de to utvalgene ved 5% signikansnivå. d Kommenter resultatet i c i forhold til resultatet i a. Basert på analysen over, hvilke slutninger vil du trekke? c Utvalgene er avhengige siden de har felles områdespesikt tilfeldig element. H 0 : Forventet spist andel er den samme for smakløs lokkemat og lokkemat med vaniljesmak. H 1 : Forventningene er ikke like. Betrakt parvise dieranser: område smakløs vanilje d t = d s D / n = / =4.93 >t4, = Så vi forkaster H 0. d I a klarer vi ikke å påvise forskjell i forventning for smakstilsetningene. I c nner vi signikant forskjell mellom smakløs og vaniljesmak. I den parvise t-testen kontrolleres eekten av område og forskjellen i gjennomsnitt mellom de to populasjonene blir signikante. Vi kan trekke slutningen at det er forskjell mellom smakstilsetningene, og at vi ved å tilsette smak f.eks vaniljesmak kan øke andelen lokkemat som blir spist.