TMA4240 Statistikk H2010

Transkript

1 TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 9.6: Prediksjonsintervall 9.8: To utvalg, differanse µ 1 µ 2 Mette Langaas Foreleses mandag 18.oktober, 2010

2 2 Prediksjonsintervall for fremtidig observasjon, normalfordeling For en normalfordeling med ukjent forventningsverdi µ, og ukjent varians σ 2, er et (1-α)100% prediksjonsintervall for en fremtidig observasjon x 0 gitt som x t α 2,(n 1) s n < x 0 < x + t α 2,(n 1) s n hvor t α 2,(n 1) er verdien i t-fordelingen med n 1 frihetsgrader som har areal α 2 til høyre, dvs. P(T > t α 2,(n 1) ) = α 2, og s 2 = 1 n n 1 i=1 (x i x) 2

3 3 Prediksjonsintervall for fremtidig observasjon, normalfordeling For en normalfordeling med ukjent forventningsverdi µ, men kjent varians σ 2, er et (1-α)100% prediksjonsintervall for en fremtidig observasjon x 0 gitt som x z α 2 σ n < x 0 < x + z α 2 σ n hvor z α er verdien i normal-fordelingen som har areal α 2 2 til høyre, dvs. P(Z > z α ) = α 2 2.

4 4 To utvalg: eksempler Betong: to ulike oppskrifter, A og B, skal sammenlignes. Hvor stor forskjell er det i styrken ( crushing strength ) for betong fra oppskrift A og fra oppskrift B? Algoritmer: to ulike sorteringsalgoritmer skal sammenlignes. Hvilken algoritme har kortest kjøretid for en spesiell problemstilling? Sykdom: tester ut ny blodtrykksmedisin. Hvor mye bedre er den enn nåværende markedsledende blodtrykksmedisin? Kosthold: hvor stor vektreduksjon vil man oppleve ved å følge Dr Fedon Lindbergs kostråd i et halvt år? (balanse i blodsukker, lav glykemisk indeks) Bildekk: to typer dekk, A og B, skal sammenlignes mhp slitasje. Kan enten sette både A og B-dekk på hver bil eller noen biler med A og noen biler med B.

5 5 To utvalg: statistisk situasjon Ønsker å sammenligne to populasjoner basert på et u.i.f. utvalg fra hver populasjon. Studerer en egenskap som kan sies å være normalfordelt i hver populasjon, og ønsker å anslå differansen mellom forveningsverdien i de to populasjonene og et intervall der vi har stor tillit til at den sanne differansen i forventningsverdiene ligger. Sammenligningene kan være parvise eller ikke parvise.

6 6 To utvalg: Bensinforbruk Problemstilling: Vil sammenligne to biltyper A og B mhp bensinforbruk. Utvalg 1: X A i :#km/liter for bil nummer i, type A. Utvalg 2: X B j :#km/liter for bil nummer j, type B. Anta at X A i Anta at X B i Observasjoner: er normalfordelt med ukjent µ A og kjent σ A = 2km/liter. er normalfordelt med ukjent µ B og kjent σ B = 3 km/liter. n A = 12 målinger på bil A, med gjennomsnitt x A = 10 km/liter. = 10 målinger på bil B, med gjennomsnitt x B = 8 km/liter.

7 7 To utvalg: estimatorer X A 1, X A 2,..., X A n A er et tilfeldig utvalg fra en populasjon som beskrives av en normalfordeling med forventning µ A og varians σ 2 A. X B 1, X B 2,..., X B er et tilfeldig utvalg fra en populasjon som beskrives av en normalfordeling med forventning µ B og varians σ 2 B. Estimator for µ A µ B : ˆµ A ˆµ B = X A X B = 1 na n A i=1 X i A 1 nb j=1 X j B (intuitiv og SME). X A X B er normalfordelt med E(X A X B ) = µ A µ B Var(X A X B ) = σ2 A n A + σ2 B Hvis σ A og σ B er kjente så er Z standard normalfordelt. Z = (X A X B ) (µ A µ B ) s σ A 2 + σ2 B n A

8 8 To utvalg: konfidensintervall for µ A µ B når σa 2 og σ2 B er kjente Hvis X A og X B er gjennomsnittene til to tilfeldig utvalg av størrelse n A og fra populasjoner med kjent varians σa 2 og σ2 B, så er et (1-α)100% konfidensintervall for µ A µ B σa 2 (x A x B ) z α 2 (x A x B ) + z α 2 + σ2 B < (µ A µ B ) < n A σa 2 + σ2 B n A hvor z α er verdien i standard normalfordelingen som har areal α 2 2 til høyre, dvs. P(Z > z α ) = α 2 2.

9 9 To utvalg: Bensinforbruk 95% konfidensintervall for µ A µ B. Punktestimator: ˆµ A ˆµ B = X A X B. Punktestimat: x A x B = 2 km/liter. 95% konfidensintervall: α = 0.05, z α = z = 1.96, 2 [ , ] = [0.66, 3.34] 10

10 10 To utvalg: σa 2 σ2 B, og ukjente Hvis σa 2 σ2 B lager vi S 2 A = 1 n A 1 n A i=1 (Xi A X A ) 2 og SB 2 = 1 1 (1 α)100% konfidensintervall for µ A µ B : s 2 [(x A x B ) ± t α 2,ν A + s2 B ] n A j=1 (X B j X B ) 2 der (sa 2 ν = /n A + sb 2 /) 2 [(s A 2 /n A) 2 /(n A 1)] + [(s B 2 /) 2 /( 1)] Dette er et tilnærmet resultat.

11 11 To utvalg: σa 2 = σ2 B, men ukjente Definer: S 2 A = 1 n A 1 n A i=1 (Xi A X A ) 2 og SB 2 = 1 1 j=1 (X B j X B ) 2 Hvis vi vet at σ 2 A = σ2 B = σ2 så kan vi lage en estimator S 2 p (pooled) basert på summen av kvadratavvikene i de to utvalgene: S 2 p = na 1 n A + 2 [ (Xi A X A ) 2 + i=1 j=1 (X B j X B ) 2 ] = (n A 1)S 2 A + ( 1)S 2 B n A + 2 der X A = 1 n A na i=1 X A i og X B = 1 nb j=1 X B j.

12 12 To utvalg: konfidensintervall (1 α)100% konfidensintervall for µ A µ B : når σa 2 og σ2 B er kjent: [(x A x B ) ± z α 2 når σ 2 A = σ2 B = σ2, men ukjente: [(x A x B ) ± t α 2,(n A+ 2)s p når σa 2 og σ2 B er ukjente (ikke like): der [(x A x B ) ± t α 2,ν σ 2 A n A + σ2 B ] 1 n A + 1 ] s 2 A n A + s2 B ] (sa 2 ν = /n A + sb 2 /) 2 [(s A 2 /n A) 2 /(n A 1)] + [(s B 2 /) 2 /( 1)]